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偏微分方程的反问题。 (英语) 兹伯利0908.35134

应用数学科学. 127. 纽约州纽约:施普林格。xi,284页(1998年)。
科学、技术和医学中的大多数数学问题都是反问题。在自然界中,动物或人类的感官必须解释电磁波、声波和化学产品。解释是通过使用物理和化学过程的特殊系统实现的。如果想用测量仪器代替感觉器官,就需要一个数学模型,并且必须研究反问题,以优化测量数据的使用。必要的高级模型需要深刻的数学知识。只有高素质和经验丰富的科学家才能进行同样深入和广泛的调查。数学是所有解释科学的基础,特别是对于使用机器和测量仪器的医学诊断。30-40年前,物理学家和医学研究人员习惯于进行以下论证。自然界是存在的,因此它可以完全由一个只有很少经验参数的数学模型来描述。这导致了地球物理学、医学、远距离天体物理学等方面的错误。因此,在解释科学中,实践与理论的原理是成立的。
研究反问题是全面分析实验结果的唯一途径。这本书描述了理论的当代状态和特定微分方程中反问题的一些数值方面。这个话题对许多科学家、工程师和医生来说是一个重大且越来越感兴趣的话题。从数学上讲,由于缺乏常规稳定性以及非线性和非凸性,这些问题相对较新,也颇具挑战性。V.Isakov对俄罗斯、美国等国发表的关于反问题的论文了如指掌。目前,已有数百种出版物载有新的有趣结果。这本书的目的是收集并以可读且信息丰富的形式呈现其中的许多内容。
第一章包含反问题的一些特殊例子:重力反问题、电导率反问题、散射反问题、层析成像和地震反问题、谱反问题等等具有非常好的数学性质(紧致运算符)。继F.Riesz(1918)之后,Banach空间上一对一映射的逆算子是不连续的。因此,反问题是一个所谓的不适定问题。
第二章讨论不适定问题及其正则化。为了获得反问题的有用结果,这些方法是必要的。在第三章中,我们可以找到研究反问题所必需的直接问题的基本结果:柯西问题的唯一性和稳定性。第四章讨论了利用单边界测量的椭圆方程反问题,例如在无损评价中。如果想要唯一地确定方程(text{div}(-a\nabla u)=0)中的电导率系数(a)(第5章),则需要进行多次边界测量。这可以通过使用定义在边界上的所谓Dirichlet-to-Neumann映射来实现,该边界通过(Lambda(u)=a{\partial u/\partial\nu})对Dirichlet数据(u)进行充分平滑。如果所有的\(u)都知道\(\Lambda(u)\),那么电导率\(a)是唯一确定的,在更一般的情况下也是如此。
有一些关于散射问题(第6章)、积分几何和层析成像的重要结果。计算机层析成像和逆地震问题包括以下内容:未知函数(f)是通过使用流形族({gamma})上的积分(int_gamma-fd\gamma)来确定的(第7章)。在应用中,许多问题都是由双曲方程控制的。通过使用附加信息(第8章)确定几个系数或方程式右侧。第9章讨论反抛物问题,第10章讨论反问题的一些数值结果。
这本书是对反问题理论的重要贡献。然而,未来我们还需要包含解释科学原则的教科书,而不仅仅是使用数学的(深层次的)结果。写这样的书是可能的,但很难实现。
以下关于反问题的书籍独立于本书出版:M.M.Lavrent’ev先生亚利桑那州。Savel’ev公司《线性算子和不适定问题》(咨询局,Plenum出版社,纽约,1995年;Zbl 0849.35143号)、和V.G.罗曼诺夫S.L.Kubanikhin公司《麦克斯韦方程的反问题》(VSP,乌得勒支,1994;Zbl 0853.35001号).

MSC公司:

35兰特 PDE的反问题
35-02 关于偏微分方程的研究综述(专著、调查文章)
35J15型 二阶椭圆方程
35公里30 高阶抛物方程的初值问题
第35页第25页 偏微分方程的散射理论
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