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第二类积分方程的数值解。 (英语) Zbl 0899.65077号

剑桥应用数学和计算数学专著4.剑桥:剑桥大学出版社。xvi,552页(1997年)。
这本杰出的专著全面介绍了第二类Fredholm积分方程的数值解以及由(mathbb{R}^2)和(mathbb{R}^3)中Laplace方程的重新公式化产生的边界积分方程。根据前言,它面向所有从事积分方程数值求解的数值分析人员;面向对积分方程和通过边界积分技术解决椭圆边值问题都感兴趣的应用数学家;以及“需要解决涉及积分方程的问题的庞大工程师群体”。
其内容揭示了自作者的早期著作《求解第二类Fredholm积分方程的数值方法综述》(1976;Zbl 0353.65069号)]; 它也反映了作者本人在过去二十年中对(mathbb{R}^3)中Fredholm积分方程和边界积分方程的数值分析的主要贡献。
以下是这本书内容的简要概述。
第1章(约20页)介绍了书中处理的各种类型的积分方程(第一类和第二类Volterra和Fredholm方程;Wiener-Hopf方程;Cauchy奇异积分方程;边界积分方程)以及函数分析环境中相应积分算子的基础理论。本书末尾的一个简短附录总结了功能分析的一些关键结果。
第2章(24页)讨论求解第二类Fredholm积分方程的退化核方法。对泰勒级数和插值退化核近似、正交展开以及由此产生的线性系统的条件处理和近似计算的讨论补充了一般理论。
第3章(50页)介绍了第二类Fredholm积分方程的投影法理论(配置法和Galerkin法;迭代投影法)。人们非常关注由这些方法产生的线性代数方程组的条件数的性质和其他性质。
第4章(55页)致力于彻底分析第二类Fredholm积分方程的Nyström方法。在这里,首先对误差分析进行了初步讨论,然后介绍了集合紧算子逼近的一般理论。将Nyström方法推广到具有非连续核的方程组,得到了乘积积分方法;详细描述了它们在渐变网格上的应用,以及它们与配置方法的关系。本章以关于离散配置和离散Galerkin方法的两个部分结束。
在第5章(85页)中,作者将前几章的内容扩展到多变量积分方程。主要关注于在(mathbb{R}^3)中定义的曲面上的积分方程,这为后面(在第9章)讨论此类曲面上的边界积分方程奠定了基础。以清晰的方式介绍了分析这些方程的数值方法(三角形上的插值和数值积分;球面多项式和球面上的数值积分)的必要工具。
第6章(65页)专门讨论求解第二类Fredholm积分方程离散化过程中产生的(通常是大型)线性方程组的迭代方法。这些方法包括Nyström方法和配置方法的双网格方法,以及配置方法的多重网格迭代。本章最后详细讨论了共轭梯度法。
最后三章用大约210页的篇幅,全面介绍了由(mathbb{R}^2)和(mathbb{R}^3)中的拉普拉斯方程重新公式化而产生的边界积分方程(BIE)的理论和数值处理。本说明从第7章开始,讨论光滑平面边界上的第一类和第二类BIE理论(包括伪微分方程和算子的简要介绍)。核心部分详细讨论了有限元法和边界元法的抽象框架。在第8章中,这被扩展到分段平面边界上的BIE:在描述了相关理论的元素之后,重点是Galerkin、配置和Nyström方法。
第九章中关于边界积分方程的最后一章(mathbb{R}^3)包括对光滑曲面上边界元配置和Galerkin方法的深入分析。这是作者近年来作出重大贡献的领域之一。
每一章都包括数字插图,并以相关文献的简短讨论结束,引导读者阅读近600项的综合书目。
这本制作精良的书代表了积分方程数值解书籍列表中的一个重要里程碑;它不仅要成为图书馆的一部分,而且要成为任何对椭圆边值问题数值解感兴趣的研究人员和研究生的工具。

MSC公司:

65兰特 积分方程的数值方法
35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程(约化波动方程)、泊松方程
65-02 与数值分析有关的研究论述(专著、调查文章)
45埃克斯 奇异积分方程
65号38 偏微分方程边值问题的边界元方法
35立方厘米 偏微分方程解的积分表示
45英镑 弗雷德霍姆积分方程
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全文: 内政部