博尔扬斯基，V。;H·马提尼。;彼得鲁·索尔坦。 组合几何的探索。 （英语） Zbl 0877.52001 Universitext（通用文本）柏林：施普林格。xii，420页（1997年）。 作者的书是对组合几何的全面介绍，结合了入门级以外的几个主题。它可以与经典著作《凸体理论》（1987；兹比尔0628.52001)由T.邦尼森和W.芬切尔最初出版于（1934年；Zbl 0008.07701号)（德语），自那时起，作为一本手册服务于几代凸几何学家。在这方面可以提到另一本具有百科全书性质的近期优秀书籍。这是《凸几何手册》，A卷和B卷（1993年；Zbl 0777.52001和Zbl 0777.52002号)编辑人P.M.格鲁伯和J·M·威尔斯并于1993年出版。然而，后一本书和正在审查的书并不重复。格鲁伯和威尔斯的书范围更广，但那里收集的大多数文章都不包括证据。相比之下，这本被评论过的书几乎包含了所有的证据，因此揭示了所涉及的方法。例外是一些简单的语句，如定理1.1到1.8。他们的证明当然可以留给读者（尽管清楚地表明这样的读者的参与会有所帮助）。当然，这本书远远超出了博内森和芬切尔在1934年不得不停下来的那一点，并对正在考虑的每个主题进行了最先进的描述。第一章讨论了与n维欧几里德空间中的凸集有关的基本概念，如支承面、极点、凸壳、极体等。这一章对于被视为读者库的一部分的“高级本科生”来说可能是最有价值的。另外两章，第五章和第六章，讨论了传统的主题，如Borsuk的分割问题、恒定宽度、同义覆盖和照明。它们包含了这些领域最全面的事态说明、详尽的参考书目和非常有用的练习。这本书并没有涵盖所有经典话题。例如，在第5页和第6页的几个练习中，仅简要介绍了Minkowski加法（未提及该术语）。因此，既没有混合卷，也没有其他相关主题。本书的其余部分致力于讨论（d）-凸性、（H）-凸、Szökefalvi-Nagy问题和带体。这些主题显然对作者或其中一些作者以及越来越多的凸几何学家特别感兴趣。带体是最近引入的一类新的凸体。它们是带状体的推广，带状体的许多结果可以推广到带状体。这本书的一个重要特点是，它以统一的方式，以通用的定义系统，以自己的定义和符号，呈现了分散在许多文章中的结果。有时，参考其他正在使用的定义会有所帮助。例如，作者在第282页介绍了紧凸体（K）的边界点（x）的圆锥壳，并用（text{con}（K，x）表示。如果（C）是从（x）发出并与（K）的内点相交的所有射线的并，那么根据定义，（text{con}（K，x）=C\backslash\{x\}）。这里应该提到切线锥的概念，如在[于。D.布拉戈和V.A.Zalgaller公司、俄罗斯数学。Surv公司。32，编号3，1-57（1977年）；来自Usp的翻译。Mat.Nauk 32，No.3（195），3-55（1977年；Zbl 0397.53031号)第4.3节]。这个切锥就是上面的集合。最后一章包含了组合几何中开放问题的广泛列表。这个列表对于那些打算在这个领域工作的人来说无疑是有用的。另一个方便之处是，书中各章节之间的相互依赖关系有一个详细的图表，读者可以从中选择一条合适的路径到达自己感兴趣的地方。这本书还包括主题索引、作者索引和一系列符号，这些符号使这本书“对读者友好”。介绍生动明了。然而，也有一些语言上的错误。因此，在第269页，从底部开始的第16行，作者使用“soonly”代替“soon”。但这种不准确不会引起混淆。书中的数字也很清楚（尽管可能质量更高）总之，这是一本对每一个凸几何学家都很有用的书。审核人：B.德克斯特（萨克维尔） 引用于4评论引用于106文件 MSC公司： 52-01 关于凸几何和离散几何的介绍性说明（教科书、教程论文等） 52A30型 凸集的变体（星形，（m，n））-凸等） 52-02 关于凸几何和离散几何的研究综述（专著、调查文章） 52A35型 Helly型定理与几何断面理论 52A37型 组合凸性的其他问题 52C17号 包装和覆盖尺寸（离散几何方面） 关键词：组合几何;凸性;Borsuk隔断;覆盖;照明;皮带本体;\（d）-凸性;\（H\）-凸性 引文：Zbl 0628.52001号;兹比尔0008.07701;Zbl 0777.52001;Zbl 0777.52002号;Zbl 0397.53031号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{V.Boltyanski}等人，《组合几何探索》。柏林：施普林格出版社（1997；Zbl 0877.52001）