×
格尔芬德，I.M。;卡普兰诺夫，M.M。;Zelevinsky，A.V.公司。

歧视、结果和多维决定因素。 （英语） 兹伯利0827.14036

数学：理论与应用。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser。vii，523页（1994年）。
这本书是消去理论复兴的重要组成部分，消去理论为了支持更抽象的概念，已经从代数和几何中消去了几十年。它收集并扩展了作者的基本和高度原创的结果，呈现了经典数学与代数几何、同调代数和组合理论的最新发展的独特融合。
本书的第一部分是判别词和结果词的一般理论。第一章介绍了判别式。粗略地说，射影簇（X\subset\mathbb{P}（V^*））的判别式（Delta_X\）是对偶簇（X^\vee\subset\mathbb2{P}（V））的方程，前提是codim\（X^\ vee=1\），否则为1。对偶簇由与\（X\）相切的超平面组成。本章证明的一般结构结果是双性定理（X^{vee\vee}=X\）和Katz维数公式。详细研究了几个示例，尤其是平面曲线在第二章中，作者介绍了判别式的代数方法，即“Cayley方法”。在这种方法中，光滑（X）的对偶簇被描述为Koszul复形（{mathcal K}（f））（或其对偶）与（{mathcal O}_X（1））的射流束及其由（f）定义的截面不精确的向量簇。如果对于某个线束（{mathcal M}），\（{mathcal K}（f）\二元数{mathcalM}）稳定地扭曲，那么\（Delta_X）（原则上）可以计算为复数\（H^0（{matchcal K}；一般情况下，判别复数必须由谱序列代替。这种方法根据切线束或余切束的外幂的希尔伯特多项式得出余维和（X^vee）阶的公式。在Sylvester和Bezout公式的经典情况下，复数的行列式是矩阵的行列阵，可以有效地计算第三章中讨论的相关变体是定义一般结果所必需的。维（k）和度（d）的不可约子簇（X\子集\mathbb{P}^{n-1}）的关联簇（{\mathcal Z}（X））是（X\）满足的所有（n-k-1）维射影子空间的集合\（{mathcal Z}（X））是Grassmann簇（G（n-k，n））中度为（d）的超曲面。其定义方程Chow形式是（X）的结果（R_X）。“Cayley技巧”通过引入辅助变量，将（R_X）解释为一个变种（widetilde X）的判别式，即（widetelde X=X\times\mathbb{P}^{n-1}）。在经典情况下，考虑（k）变量中度（d）的（k）形式，（X）是（mathbb{P}^{k-1}）的（d）-第Veronese嵌入。结式的定义可以推广到一个混合情况，即一个结式同时作用于射影空间中的多个簇（X）嵌入。“Cayley方法”适用于结果，例如，得出两种二元形式的结果的Bezout公式和三种三元形式的结论的Sylvester公式第四章讨论Chow变种，它们通过Chow形式嵌入射影空间（Chow-van der Waerden定理），以及它们的定义方程。详细讨论了射影空间中0-圈的Chow变种，其中Chow-van der Waerden定理给出了一个可管理的方程组。对于正维旋回，存在一种可追溯到凯莱并由格林和莫里森开发的微分几何方法。
这本书的第二部分具有更多的组合性质。它受“（A）哲学”的支配，即对（A）判别式和（A）结果的研究。这里，（A\）是（Laurent-）单项式的有限集，感兴趣的对象是它们所跨越的多项式的向量空间（mathbb{C}^A\）。一个重要的例子是所有次数固定的单项式的集合。第五章从（a）定义的投射复曲面簇（X_a）出发，对复曲面簇进行了简短而严格的介绍，并进一步讨论了最一般的情况牛顿多面体是第六章的主题。在讨论了Koushnirenko（带证明）和Bernstein的定理后，引入了Chow多面体。大致来说，代数循环的Chow多面体是其Chow形式的“牛顿多面体”（然而，它是格拉斯曼齐次坐标环的一个元素）第七章讨论了用于研究（A）-判别式和（A）–结果的主要组合概念，即由（A）跨越的带顶点的多面体的相干三角剖分。相干三角剖分通过其特征函数对应于次级多面体（Sigma（A））的顶点。本章提供了大量“有趣”配置（A）的二级多面体示例作为经典概念的直接推广，\（k-1\）变量中的一组\（a\）单项式的\（a\）-结果给出了具有公共零点的元组\（（f_1，\ldots，f_k）\），\（f_i\in\mathbb｛C｝^a\）的轨迹。第八章专门介绍了结式的一般理论和（A）-结式的理论，并用复曲面簇（X_A）描述了（A）–结式。一个主要结果是，（X）的Chow多面体和次级多面体（Sigma（A））重合第九章讨论了（A）-判别式（Delta_A），它可以被选为（mathbb{Z}）上的多项式。本章的核心是对“判别复数”的明确描述，该复数的行列式根据（X_A）上的微分形式产生（Delta_A）。这个复合体也有一个组合描述，可以通过多胞体（text{conv}（a））及其面的体积来表示（Delta_a）的度数在第十章和第十一章中，研究了（A）-判别式的牛顿多面体；用作者的话来说，正是“魔法水晶”给鉴别力的概念带来了光明。为此，引入了辅助对象主行列式。它将因子分解为\（a'）-判别式，其中\（a'\）扩展到\（a\）的“面”上，其牛顿多胞形为\（Sigma（a）\）。这些定理的证明基本上占据了第十章。第十一章介绍了另一个辅助对象，正则行列式。如果\（X_A\）是平滑的，则\（\Delta_A=D_A\）。通常，（D_A）是一个有理函数，可以分解为（A）的“面”的主（A）-行列式。如果\（X_A\）只是拟光滑的，那么\（D_A\）是多项式。这个结果的证明是基于半群和锥的牛顿数。在光滑情况下，牛顿多面体\（Delta_A\）的顶点对应于\（text{conv}（A）\）与\（A\）中顶点的相干三角剖分的所谓\（D\）等价类。最后一小节讨论了与实代数几何和希尔伯特第十六问题的关系，包括维罗定理的证明。
这本书的第三部分专门讨论经典的判别式和结果式。第十二章讨论一个变量中的多项式。它概述了经典公式（如果可能的话，用独立于一般理论的证明），并包含了经典判别式和结式的牛顿多面体的组合描述若干变量形式的判别式和结果是第十三章的主题。凯利的行列式公式被导出为合成络合物的行列列式，并且（在某些情况下）从韦曼络合物中获得了合成物作为单个矩阵行列式的公式。本章最后将该理论推广到多重齐次情形最后，第十四章发展了超行列式理论，从Cayley的想法开始，Cayley将（k_1+1）times\cdots\times（k_r+1）（广义）矩阵的超行列阵定义为判别式，即变种的判别式通过Segre映射嵌入射影空间\（\mathbb{P}（V^*）\），\（V=K^{K_1+1}\times\cdots\timesK^{K_r+1}\）。取超行列式的矩阵是（V）的元素。（超行列式还有其他定义。）当且仅当每个（k_i）至多是其他行列式的和时，超行列列式与1不同。在讨论了超行列式的基本代数性质之后，从判别复数计算了超行列的次数。虽然它通常是一个复杂的表达式，但在“边界格式”的情况下，它采用了一种相当简单的形式，其中每个\（k_i\）等于其他\（k_i\）的总和。与经典行列式类似，边界格式的超行列式也可以描述为一个结果。本章最后讨论了超行列式显式已知的某些低维情况，例如Schläfli方法的应用。
附录讨论了复数和谱序列的行列式，并复制了Cayley的经典论文，其中已经包含了作为Koszul复数行列式的判别式的描述。
审核人：W.Bruns公司

引用于47评论
引用于920文件

MSC公司：

14米25 托里变体、牛顿多面体、奥昆科夫体
14-02 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章）
14个M12 决定性品种
13日第25天 综合体（MSC2000）
13-01 关于交换代数的介绍性说明（教科书、教程论文等）
14-01 与代数几何有关的介绍性说明（教科书、教程论文等）
13立方厘米 联动、完全交叉和确定性理想
15甲15 行列式、恒量、迹、其他特殊矩阵函数
13层20 多项式环与理想；整值多项式环
52B20型 凸几何中的格多面体（包括与交换代数和代数几何的关系）

关键词：

凯莱法;行列式;消去理论;判别式;结果;炒菜品种;复曲面品种;牛顿多边形;实代数几何;超行列式;判别式作为Koszul复数的行列式
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{I.M.Gelfand}等人，《鉴别符、结果和多维决定因素》。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser（1994；Zbl 0827.14036）