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非线性可积方程的代数几何方法。 (英语) Zbl 0809.35001号

非线性动力学中的Springer级数。柏林:Springer-Verlag。xii,337页(1994年)。
数学物理中的某些微分方程与阿贝尔函数理论之间的联系可以追溯到19世纪最后几十年,当时K.Neumann,S.Kowalevskaya,和其他人发现,经典力学中的一些现象可以用雅可比-黎曼θ函数可积的非线性系统来描述。在续集中,这个显著的联系被忽视了。许多年后,在1922年至1928年间,Burchnall、Chaundy和Baker发表了一系列(三)篇论文,其中讨论了交换常微分算子与与其相关的代数曲线上的函数理论之间的明显深层联系。然而,这一发现也没有被采纳。大约半个世纪后,即1974年左右,Burchnall-Chaundy-Baker理论被重新发现,这基本上与著名的Korteweg-de-Vries方程(KdV)的解的构造以及P.Lax通过微分算子的换位子关系解释某些非线性偏微分方程的方法的惊人成功有关。在随后的几年里,所谓的孤子方程有限间隙解理论得到了迅速发展。一方面,交换微分算子代数与代数曲线(或紧致黎曼曲面)上的数据之间的实际古老联系已经扩展到一个系统的深入理论,另一方面,它有效地用于构造具有(拟)周期系数的非线性算子逆谱问题的显式解,以及利用代数曲线雅可比数上的高阶θ函数构造几个KdV-like方程的解。
在过去20年中,这一丰富的理论由几位分析家和几何学家同时发展而来,尤其是克里切弗、诺维科夫、杜布罗文、拉克斯、麦肯恩、阿德勒、范莫贝克、芒福德、阿基塞、盖尔凡、迪基、马尔琴科,以及本专著的作者和许多其他人。除了对数学物理中各种类型的非线性方程进行积分有用外,可积系统和代数曲线之间的联系还为紧致黎曼曲面和复杂阿贝尔变种分类理论中长期存在的问题提供了引人注目的解决方案。事实上,用θ常数方程刻画所有黎曼矩阵中黎曼曲面周期矩阵的经典黎曼-肖特基问题的解析解(Arbarello-De-Concini,Welters(1983)),以及对更一般的Novikov猜想的肯定回答,即重要的Kadomtsev-Petviashvili方程(KP)Riemann曲面的θ函数的特征(Shiota(1985))基本上基于这种所谓的Krichever对应。
本专著由这一相当新的领域的一些先驱者和主要贡献者撰写,可能是对非线性可积系统的代数几何方法的第一次连贯、全面和完备的阐述。内容由八章组成,每章分为几个章节和小节。第一章,导言,概述了寻找KdV方程解的激动人心的历史,并详细概述了以下章节的内容,以及历史评论和参考原始文献。
第2章主要为非专业人士提供了紧致黎曼曲面理论的背景材料、它们的雅可比变量和θ函数。当然,这个纯粹的代数几何(或复杂分析)调查没有证据,但它安排得很好,完全足以用于非线性微分方程的以下应用。
第三章研究了Kadomtsev-Petviashvili方程和Korteweg-de-Vries方程的有限间隙解。作为Riemann曲面θ函数在可积系统中的首次应用,本文展示了曲线上所谓的Akhieser-Baker函数是如何导致这些方程的解的。在此基础上,还讨论了希尔方程、拉梅方程和布洛赫函数的解析性质。
第四章讨论了高维情形。利用黎曼曲面上的向量值Akhieser-Baker函数,描述了非线性薛定谔方程、sine-Gordon方程及其他相关系统的有限间隙解。
第5章解释了如何利用黎曼曲面的Schottky均匀化和Poincarétheta级数来构造类KdV方程的解。
第6章通过代数几何方法讨论了各种经典顶点,主要是通过这种方法将经典θ函数关系应用于具体的Lax方程及其相关的Akhieser-Baker函数。主要的显式结果涉及Kovalevskaya顶、Goryachev-Chaplygin顶、(XYZ)Landau-Lifschitz方程和其他著名的经典力学可积系统。
第七章讨论用代数几何结构和原理解释可积非线性方程有限间隙解的叠加问题。这是通过使用Riemann曲面的多层覆盖、Weierstrass约化理论以及覆盖的θ常数之间的关系来实现的。
最后的第8章描述了代数几何方法在非线性动力学中最显著的应用之一,即构造固态物理中Peierls-Fröhlich问题的精确解。
关于这些内容,可以公平地说,本专著除了对非线性动力学中的代数几何方法进行了详细介绍和富有启发性的说明之外,还包括作者自己取得的大量近期研究成果。本文提供了该主题当前状态的最新图片,因此应受到处理动力系统、量子物理和/或复杂代数几何的数学家和物理学家的高度欢迎。

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