×

兹马思-数学第一资源

非线性系统。(英语) Zbl 0753.34001
剑桥应用数学教材. 剑桥:剑桥大学出版社,。十三,317页。(1992年)。
这是一本从应用数学家的角度对非线性系统理论的最新极好的介绍。在序言中,作者陈述了他的目的如下:“除了线性代数和高等微积分外,我们将介绍分岔、缺陷、自由振荡、强迫振荡和混沌的理论。这种治疗方法适用于大四本科生或一年级研究生,无论他们是数学、物理、化学、工程、气象、海洋等专业如果他们已经掌握了线性代数和高等微积分,并且他们渴望学习,我的主要目的是简单地介绍非线性系统的数学性质,作为一个完整的理论,而不是提出孤立的时髦话题。第二个目的是给人一种多元化的印象在不减损主要目的的前提下,应用理论。方法是尽可能具体地讨论主题,用实例和问题来激励和说明一般原则。一般性结果很少得到证明,许多结果只是似是而非。”
全书共八章;第一章是对第二章、第三章、第五章和第六章的基本介绍和总结。第二章对平衡点的分岔进行了分类,包括对称性破坏、缺陷和R.Thom提出的“七大基本灾难”。第三章介绍了非线性自治差分方程(即映射)的理论。研究了不动点的稳定性,周期解,吸引子,保体积映射。本文广泛讨论了logistic方程作为一大类一维方程的原型,用它的不动点集引入了倍周期、Feigenbaum序列、奇异吸引子和混沌跃迁等概念。以二维映射为例,讨论了复杂平面的Smale马蹄形、baker变换、Hénon映射和迭代解析映射,并给出了计算Hénon映射、Julia集和Mandelbrot集的基本程序。第四章介绍了康托集、Hausdorff维数和分形、重整化群理论和Lyapunov指数的一些额外的理论背景。
第五章到第八章专门讨论常微分方程。第五章介绍了平衡点的稳定性,欧米茄极限集,吸引子,哈密顿系统,轨道几何,周期解的稳定性,Floquet指数。第六章讨论了二阶自治系统:线性系统的分类,Lyapunov直接法,Lindstedt-Poincaré方法,极限环,vanderpol方程,弛豫振荡。第七章研究非自治二阶方程的强迫振动:远离共振的弱非线性振动、正则摄动理论、共振附近的弱非线性振动、次谐波。第八章,以“混沌”为题,讨论了Lorenz系统,具有负刚度的Duffing方程,同宿轨道的混沌破裂,介绍了Mel'nikov方法,并对混沌的路径和时间序列的分析进行了评述。
每一章都由一小段“进一步阅读”来完成,给出了书目提示,并收集了一些非常有趣和刺激的“问题”。所选问题的答案和提示见附录。书目提供了一个完整的关键论文清单,与书中所处理的主题相关,因此它提供了大量的历史背景这一巨大的发展领域。每个条目后面都有一个数字,表示引用该条目的书的页码,这是对读者的一项服务,作者对此表示感谢。

理学硕士:
34-01号 关于常微分方程的介绍性说明(教科书、教程等)
58-01号 与全球分析有关的介绍性说明(教科书、教程论文等)
39-01年 关于差分方程和泛函方程的介绍性说明(教科书、教程等)
34C23型 常微分方程的分歧理论
34C05 常微分方程积分曲线、奇点、极限环的拓扑结构
37D45型 奇异吸引子,双曲型系统的混沌动力学
34立方厘米 常微分方程的非线性振动与耦合振动
37G99型 动力系统的局部与非局部分歧理论
39A10号 加性差分方程
34D20 常微分方程解的稳定性
PDF格式 BibTeX公司 XML 引用