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达布变换和孤子。 (英语) Zbl 0744.35045

非线性动力学中的Springer级数。柏林等:斯普林格·韦拉格。第八章,第120页(1991年)。
1967年,一种特殊的非线性偏微分方程的求解技术的发现,为数学物理的一个新领域——孤子理论奠定了基础。在过去的25年里,它已经发展成为非线性科学的主要理论之一。同时,我们发现大量的非线性方程组存在于“可积系统”中,可以找到具有奇异孤子特性的精确解。这些非线性方程具有由线性方程组的相容条件给出的共同性质。
在早期,人们发现Darboux关于一维薛定谔方程变换性质的经典结果导致了这些系统之一Korteweg de Vries(KdV)方程的简单构造。该方法的基本思想是确定描述非线性孤子系统的线性散射问题的不变性。所以,线性系统的变换将产生非线性方程组的解。在各种线性散射问题中都发现了这种不变性。相应的薛定谔算子Darboux变换的推广是获得线性方程组非平凡解的有效工具。这反过来又为与这些散射方程相关的大量非线性系统提供了一类精确解。
作者首先建立了一类标量线性问题的广义Darboux变换。它们包括普通微分算子、偏微分算子和微分差分算子。通过对一般Darboux定理的迭代应用,得到了一般的“Wronskian型”解公式。指出了与因式分解方法和超对称量子力学的关系。然后将这些结果应用于Kadomtsev-Petviashvili体系及其约化,如KdV方程、Boussinesq方程、柱面KdV方程等,构造并讨论了孤子和块解。说明了如何从Darboux方法得到孤子相互作用中的相移或稳定性。然后考虑矩阵值线性散射问题,建立了广义Zakharov-Shabat线性问题相应的Darboux定理。针对一类非线性孤子系统,构造了用这种散射方程描述的孤子解。利用线性微分差分方程的Darboux结果,讨论了一类可积格方程。在其它系统中,考虑了交换和非交换的Toda格方程、离散的KdV方程和Burgers方程,导出了包含Cazorati行列式的解公式。指出了与sine-Gordon方程及其多孤子的联系。本文详细讨论了2+1维非线性方程的局部化孤子解。特别讨论了Davey-Stewartson方程和Veselov-Novikov方程。最后,对Darboux变换的各个方面作了一些评论。指出了它的哈密顿解释及其与扎哈罗夫-沙巴特修整方法的关系。最后一章简要讨论了多孤子解的长时间渐近行为。
集中在达布方法,基本上忽略了孤子领域的其他技术,这本书提供了一个非常简单和直接的方法,孤子和其他各种非线性系统的精确解。因此,Darboux变换被证明是研究孤子及其相互作用的一个简单但有效且强大的工具。其他方法,如涉及更多的逆散射变换只是简单的评论,从这些非常技术性的方法获得的结构结果不需要理解达布方法。因此,这本书提供了一个自我包含和易于消化的孤独介绍,也适合高年级学生或有更多实验兴趣的读者。这本书代表了一个什么达布定理可以做什么研究可积方程,各种新的结果包括在内。因此,这本书也将对孤子理论的专家感兴趣。文中有一小段对文献进行了评论,并与孤子理论其他领域的相关发展和结果进行了联系。

理学硕士:

35问51 孤子方程
37J35型 完全可积有限维哈密顿系统,积分方法,可积性检验
37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统,积分方法,可积性检验,可积层次(KdV,KP,Toda等)
35-01年 关于偏微分方程的介绍性说明(教科书、教程等)
35问53 KdV方程(Korteweg de Vries方程)
58J72型 流形上偏微分方程的对应和其他变换方法(如Lie-Bäcklund)
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