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多边形体积计算。 (英语) Zbl 0734.52009号

作者发展了一个有趣的公式来计算({mathbb{R}}^n)中简单凸多面体的体积。设P是这样一个多面体,设(c\in{mathbb{R}}^n)是一个与P的任何边都不正交的向量\[N_v=<c,v>^N/(N!\delta_v\gamma_1…\gamma_N),\]其中,\(delta_v)是P在v处相交的面的外法向量跨越的平行六面体的体积,例如\(u_1,…,u_n),数字\(gamma_i)由\(c=\gamma_1u_1+…+\gamma_nu定义。然后P的体积等于\(\Sigma n_v),其中和延伸到P的顶点。该证明使用了组合形式的Gram定理。根据他的公式,作者描述了一种算法,其中包括线性规划技术,用于计算以形式给出的简单多面体的体积\[P={x\在{mathbb{R}}^n:\<a_i,x>\leqb_i\text{表示}1\geqi\leqm\},\]在{\mathbb{R}}^n中使用\(a_i\),在{\mathbb{R}}中使用\“b_i\”。他还表明,当\(a_i)和\(b_i)是有理数时,P的(有理)体积分母中的二进制位数不能由\(a_ i)和_(b_i\)项的分子和分母中总位数的多项式限定。这回答了由M.E.戴尔A.M.弗里兹[SIAM J.计算17,第5号,967-974(1988;兹伯利0668.68049)].

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52B55号 与凸性相关的计算方面
52号B11 \(n)维多面体
52A38型 长度、面积、体积和凸集(凸几何方面)
90C05(二氧化碳) 线性规划
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全文: 内政部