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彼得·艾尔；阿明·科贾·奥格伦；高、浦；穆勒，诺拉

随机线性方程的可满足性阈值。 （英语） Zbl 1463.05507号

组合数学 40，第2期，179-235（2020年）.
本文研究任意有限域上随机线性系统的可满足阈值{F} （_q）\)通过一个透明的组合论证建立了。其核心思想是从编码理论的角度来处理这个问题。精确地说，设（q>1）为素数幂，设（k\geq3）为整数，设（mathbb{F} （_q）^\ast）是（q）级的有限域，不包括零元素。设（P）为（mathbb）上的概率分布{F} （_q）^{\ast k}\），使得对于任何\（\sigma_1，\ldots，\sigma k\in\mathbb），（P\）在意义上是置换不变的{F} （_q）^\ast）和第一个（k）正整数的任何置换（lambda）。对于（d>0）和整数（n\geqk），设（m=m（d，n））是平均值为（dn/k）的泊松变量。（mathbb上的随机矩阵{F} （_q）\)如下获得。对于每个（i=1，\ldots，m\）独立地随机一致地选择一个整数序列（1\leq\alpha_{i，1}<\cdots<\alpha_{i，h}\leqn），并独立地从分布（P\）中选择一个（k \）元组（a{i，1}，\ldots，a{i、k}）。然后，（A\）的第（i^\prime）行在位置\（alpha_{i，h}\）中有个条目\（A{i，1}\），而所有其他条目都为零。让\（y\in\mathbb{F} （_q）^{m} 为均匀随机向量，与给定的（a）无关。主要结果解决了随机线性系统（Ax=y\）可能有什么解的问题。以下是证明。设（k\geq3），设（q>1）为素数幂，设（P）为（mathbb）上的置换变分布{F} （_q）^{\ast k}\）。对于\（d>0\），设置\（\rho_｛k，d｝=\sup\｛x\in[0,1]：x=1-\exp（-dx^｛k-1｝）\｝\），并定义\（d_k=\inf\｛d>0:\rho_｛k，d｝-d\rho_｛k，d｝^｛k-1｝+（1-1/k）d\rho_｛k，d｝^｛k｝<0\｝\）。那么\[lim_{n\to\infty}\mathbb{P}[\exists x\in\mathbb{F} （_q）^n：A x=y]=1；{\text{if}}\；d<d_k，\；\；0 \; {\text{if}}\；d>d_k，并且对于（d<d_k），它认为\（\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}[\mathrm{rk}（A）=m]=1.）
审核人：高伟立（台北）

引用于5文件

MSC公司：

05C80号 随机图（图形理论方面）
05元50分 图和线性代数（矩阵、特征值等）

关键词：

随机线性系统；编码理论；有限域；可满足性阈值
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.Ayre}等人，Combinatorica 40，No.2，179--235（2020；Zbl 1463.05507）
全文： 内政部 arXiv公司

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