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Randall J.LeVeque。

守恒定律的数值方法。 （英语） Zbl 0723.65067号

数学讲座，苏黎世理工学院。巴塞尔等：Birkhäuser Verlag。214 p.sFr 38.00；44.00德国马克；$24.50 (1990).
这些讲稿来源于为研究生和研究生开设的守恒定律数值解课程。重点不是提供本主题的全部细节，而是解释开发、分析和成功使用非线性守恒定律系统数值方法所必需的工具，特别是涉及激波的问题。为此，有必要了解这些方程及其解的数学结构。因此，这本书分为两个相等的部分，一个是处理数学理论，另一个是发展和分析数值方法。本书不是从最一般的情况出发，而是试图解释物理示例的事实和技术，例如等温流、欧拉流、激波管问题，。。。因此，在介绍性章节中已经强调了上述应用以及更多应用（磁流体动力学、气象学和天气预报、天体物理建模、机翼上方的流动、多孔介质中的多相流）。第一章简要解释了数学和数值困难。
理论部分I真正从第2章和第3章开始，在这两章中导出了标量守恒定律，并介绍了简单的概念和现象，如通量函数、扩散、依赖域、冲击的发展、弱解、冲击速度、熵函数和熵条件。在第4章中，描述了两个简单的标量示例，如流量和两相流。数学第一部分的其余部分则专门讨论系统。它从理想气体的欧拉方程和等熵流和等温流的简单情况开始。简要介绍了浅水方程。第6章至第9章用于推导一般黎曼问题的解。再次从简单的线性双曲线系统开始。然后，利用2*2等温流动系统，通过Hugoniot轨迹和积分曲线展示了如何在相平面内工作。然后引入真非线性、线性简并性和Lax熵条件的概念，得出一般Riemann问题的解，至少对于小的初始数据。在第9章中，仅在解释接触不连续性的新现象时，才涉及欧拉方程的黎曼问题。
第二部分专门讨论数值方法。第十章讨论了求解线性常系数微分方程方法的经典理论，即简要介绍了差分格式、收敛性、局部截断误差和稳定性的概念。文中给出了Lax等价定理的详细例子，并给出了部分证明，这些证明后来扩展到了非线性问题。解释了依赖域的概念以及CFL条件和上卷的概念。在简短的一章中，通过将一个数值格式与一个比原始方程更接近的修改方程相关联，展示了计算不连续性的问题。通过这样做，作者可以很好地解释由于扩散和弥散引起的数值解的典型行为。还可以看出，L_1范数是自然范数。在解中有不连续性的一个简单例子中，显示了可以预期的收敛类型。在第12章中，讨论了收敛到弱解和粘性解的问题。因此引入了保守方法和数值熵条件。在接下来的两章中，通过使用近似黎曼解算器对Godunov方法进行了解释和推广。第15章讨论非线性稳定性概念。重点是用于证明收敛结果的全变分稳定性。还讨论了格式的单调性保持、（l_1）-压缩性和单调性等其他概念。在一章中，介绍了一些所谓的“高分辨率”方案。这里介绍了人工粘度、助熔剂限制器和坡度限制器的概念。第17章和第18章简要介绍了半离散化和多维问题的数值处理。
这本书是一本非常好的、易于阅读的介绍，介绍了守恒定律数值方法这一非常活跃的领域。它没有百科全书的特点，但试图在简单的例子上发展思想和概念。对于大多数证明，都可以参考原始文献。
审核人：R.Jeltsch（苏黎世）

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关键词：

研究博览会;冲击;弱解;兰金·胡戈尼奥特;熵;特点;声速;非线性;欧拉方程;等熵流;稀疏波;接触不连续性;局部误差;Lax等价定理;迎风法;数值色散;数值耗散;保护形式;近似黎曼解算器;修正守恒定律;声熵修正;全变差稳定性;电视显示器;保持单调性;单调方法;分裂;多维问题;非线性系统;冲击波;等温流动;欧拉流;激波管问题;MHD公司;气象学;天气预报;天体物理模型;机翼上方的气流;多孔介质中的多相流动;浅水方程;黎曼问题;差分格式;汇聚;局部截断误差;CFL条件;向上卷绕;保守方法;数值熵条件;戈杜诺夫方法;黎曼解算器;单调性保持;\（l_1）-收缩性;人工粘度;通量指示器;坡度限制器;半离散化
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\textit{R.J.LeVeque}，守恒定律的数值方法。巴塞尔等：Birkhäuser Verlag（1990；Zbl 0723.65067）