约瑟夫·霍尔珀（Joseph Y.Halpern）。 概率的一阶逻辑分析。 （英语） Zbl 0723.03007号 Artif公司。智力。 46，第3号，311-350（1990）. 本文主要分为三个部分：第一部分涉及“域上的概率”，对应于概率的频率概念；第二个涉及命题的概率，被解释为可能世界的集合，对应于概率的主观观点；第三次尝试将这两种概率观结合起来。该方法与F.巴赫斯[用概率知识表示和推理（麻省理工学院出版社，1990年）]。域上的概率：这些是在一个二分类逻辑中给出的，其中对象的类别是域中的普通对象，对象域中的对象表示概率值。这种逻辑的模型是三元组，（D，（\pi），（\mu）），其中D是一个域，（\π）是对语言谓词和操作的标准解释，以及（\mu\）是对域D中个体的度量。为什么不统一计算域的成员数？作者给出了两个原因。首先，在可数域上不可能有可数加性概率测度。更重要的（因为在现实生活中，我们可以处理有限域）是这样一个论点，即两阶段概率：一个选择一个瓮，然后从瓮中选择一个球，不能用给每个球相等重量的度量来表示。虽然这是真的，但应该指出，处理这些问题的方法还有其他，也许更简单，而不是对个人领域施加一个衡量标准，大概每个问题都有不同的衡量标准。我们可以通过对个体进行均匀分布并结合条件化来达到相同的目的，如下所示：将个体作为有序对，由一个瓮和一个球组成。取2-black来表征第二个对象为黑色的有序对。当然，属于2黑人的个体比例正好是黑球的比例。但是，如果我们从瓮中取出一个瓮，然后从瓮里取出一个球，那么我们应该根据这个信息进行条件化：我们所谈论的个体（对）来自我们领域的一个子集，也就是说，\（{<x，y>：\）y是从\（x\}\）中选择的，而这个领域中的一组2-黑色对象正是我们所期望的。这种方法具有双重优点，即消除了对\（\mu\）的需要，并允许对许多这种形式的问题进行一般的、同时的处理。此外，如果我们不需要像作者那样对待骨灰盒和水桶，那么不清楚一项针对领域中个人的措施起到了什么作用。谈论一个人的概率似乎有点不自然，人们怀疑是否不能通过谈论一个相对化的度量来实现自己的所有目的：一个集合在另一个集合中的度量，就像作者在讨论域上的概率的最后所做的那样。为了给出该度量的语义，例如根据基数的比率，人们可能会假设引用集是有限的，但其确切的基数是不相关的。把这些观点放在一边，对一个域上概率的描述是明确而有价值的。特别是，即使我们谈论的是相对基数或测度，而不是个体概率的总和，引理2.3仍然是正确的：如果（φ）是一个封闭公式，它的概率将是0或1。可能世界的概率。封闭公式的概率正是我们形成期望和指导选择所需要的；领域概率给我们0或1，我们通常不知道是哪个。作者将一个封闭公式与一组可能世界联系起来，并利用可能世界集合S上的离散概率函数给出了一个解释。2型概率结构的形式是（D，S，（\pi\），\（\mu\）），其中D是一个域，S是一组可能世界，\（\ pi\）是一个解释函数，以及\（\ mu\）S上的一个测度。然后我们有一个主观概率或逻辑概率的模型。显然，挑战在于将这两个概率概念联系在一起。类型3结构的形式为\（（D，S，\pi，\mu_D，\mu_S）\），其中我们在域和可能世界集上都有一个测度。本节只包含一个定理（定理4.5）：如果M是一个3型结构，那么除了常量符号之外，（φ）中的所有谓词和函数符号都是刚性的，那么\[M\quad\vDash\quad（[w（\phi（{\mathfrak a}））=w_x（\phi（x））]\quad_equiv\quad_对于所有r[w（\ phi（}\mathfrak a}，））|（w_ x（\fi（x），=r））=r]）。\]本文的其余部分涉及完备性和不可判定性，以及一些公理系统的表示，这些公理系统为这些结构提供了合理（但不完整）的公理化。本文特别值得注意的是，它以清晰明确的方式为对象语言中各种形式的概率推理提供了语义。审核人：H.E.Kyburg（罗切斯特） 引用于1审查引用于93文件 MSC公司： 03B48号 概率和归纳逻辑 03B30型 经典理论基础（包括逆向数学） 60A05型 公理；概率论中的其他一般问题 关键词：对象语言中概率推理的语义;概率逻辑;概率模型;域上的概率;概率的频率概念;命题的概率;可能的世界;主观概率观;二分类逻辑;2型概率结构;3型结构;完整性;不可判定性;公理化 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Y.Halpern}，阿蒂夫。智力。46，编号311-350（1990年；兹bl 0723.03007） 全文： 内政部 参考文献： [1] M.阿巴迪。；Halpern，J.Y.，概率一阶逻辑的可判定性和表达性，（IEEE计算机科学基础研讨会论文集第30期（1989年）），148-153 [2] Bacchus，F.，《关于可能世界上的概率分布》（人工智能不确定性第四次研讨会论文集（1988）），15-21 [3] 技术报告。CS-88-31（1988），安大略省滑铁卢。 [4] Carnap，R.，（概率的逻辑基础（1950），芝加哥大学出版社：芝加哥大学出版社，伊利诺伊州芝加哥）·Zbl 0040.07001号 [5] Carnap，R.（统计和归纳概率（1955），加洛瓦数学与艺术研究所） [6] 德雷本，B。；Goldfarb，W.D.，（决策问题：量化公式的可解类（1979），Addison-Wesley：Addison-Whesley Reading，MA）·Zbl 0457.03005号 [7] Enderton，H.B.，（《逻辑数学导论》（1972年），学术出版社：纽约学术出版社）·Zbl 0298.0202号 [8] Feldman，Y.A.，概率编程逻辑（博士论文（1984），魏茨曼科学研究所：以色列雷诺沃特魏茨曼研究所） [9] Feldman，Y.A。；Harel，D.，《概率动态逻辑》，J.Compute。系统。科学。，28, 193-215 (1984) ·Zbl 0537.68036号 [10] Fenstad，J.E.，在一阶语言上定义的概率表示，（Crossley，J.N.，集，模型和递归理论：数学逻辑和第十次逻辑学术讨论会暑期学校会议记录（1967）），156-172·Zbl 0207.29501号 [11] 费金，R。；Halpern，J.Y.，《关于知识和概率的推理：初步报告》，（Vardi，M.Y.《关于知识推理理论方面的第二次会议论文集》（1988），Morgan Kaufmann:Morgan Koufmann Los Altos，CA），277-293·Zbl 0699.03010号 [12] IBM研究报告。RJ 6191（1988） [13] Inf.计算。(1990) [14] Gaifman，H.，关于一阶计算中的措施，以色列J.Math。，2, 1-18 (1964) ·Zbl 0192.03302号 [15] Garson，J.W.，《模态逻辑中的量化》（Gabbay，D.；Guenthner，F.，《哲学逻辑手册》，第二卷（1977年），里德尔：里德尔·多德雷赫特，荷兰），249-307·Zbl 0875.03050号 [16] Hacking，I.（统计推断逻辑（1965），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社）·Zbl 0133.41604号 [17] Halmos，P.（测量理论（1950），Van Nostrand：Van Nostrand纽约）·Zbl 0040.16802号 [18] IBM研究报告。RJ 6765（1989） [19] Keisler，H.J.，概率量词（Barwise，J.；Feferman，S.，《模型理论逻辑》（1985），Springer:Springer New York），509-556 [20] Kyburg，H.E.，《高阶概率和区间》，《国际近似推理》，2195-209（1988）·兹比尔0647.68080 [21] Lo希西，J.，《关于概率基础的评论》（1962年国际数学家大会论文集（1963年）），225-229·Zbl 0137.11201号 [22] Miller，D.，《信息悖论》，英国J.Philos出版社。科学。，17 (1966) [23] Nilsson，N.，概率逻辑，Artif。智力。，28, 71-87 (1986) ·Zbl 0589.03007号 [24] 斯科特·D。；克劳斯，P.，《为逻辑公式赋值概率》（Hintikka，J.；Suppes，P.《归纳逻辑方面》（1966），北荷兰：北荷兰阿姆斯特丹）·Zbl 0202.29905号 [25] 肖恩菲尔德，J.R.（数理逻辑（1967年），艾迪森·韦斯利：艾迪森·韦斯利·雷丁，马萨诸塞州）·Zbl 0155.01102号 [26] Skyrms，B.，（因果必要性（1980），耶鲁大学出版社：耶鲁大学出版，康涅狄格州纽黑文） [27] Skyrms，B.，《更高阶的信仰度》，（Mellor，D.H.，《实用主义的前景：纪念F.P.拉姆齐的散文》（1980年），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社 [28] Tarski，A.（《初等代数和几何的决策方法》（1951），加利福尼亚大学出版社：加利福尼亚大学伯克利分校）·Zbl 0044.25102号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。