伊夫·梅耶 小波和运算符。一: 小波。(Ondeletes et opérateurs.I:Ondeletes.) (法语) 兹伯利0694.41037 现实数学。巴黎:赫尔曼,科学与艺术编辑。xii,215页,《法语》。186.00 (1990). 这本书是关于缩聚(小波)的基本理论,它在定位给定函数的不连续性或奇异性方面很有用,在力学和工程中很重要。该理论目前正在发展中,这本书对它是一个很好的介绍。在第一章中,给出了一个定理,证明了一个函数(f)的傅里叶变换有一个包含在([-T,T]\)中的支撑,该函数是否可以通过其采样(f(k\delta)\),(k\In\mathbb Z\)来决定。其次,证明了离散Hilbert变换在\(\ell^p(\mathbb Z)\)中的有界性。本章的最后一部分是安德勒理论的简史。A.Grossmann和J.Morlet的研究描述了空间(mathbb H^2(mathbbR))中函数的表达式,该空间是所有函数的集合,使得(f(x+iy)在半平面(y>0)中是全纯的,并且(f(cdot+iy,\)\(a>0\),\(b\ in \mathbb R\),其中\(\psi(t)=(t+i)^{-2}\)。在第二章中,给出了(L^2(mathbb R^n))的多分辨率分析的定义,它是满足条件的闭子空间的递增序列(V_j),(j-In-mathbb Z\)(1) \(\cap^{\infty}_{j=-\infty}V_j=\{0\}\),\(\cup^{\infty}_{j=-\infty}V_ j\)在\(L^2(\mathbb R^n)\)中稠密,(2) \(\ for all f\ in L^2(\mathbb R^n)\),\(\ for all j\ in \mathbb Z\)\(f(x)\ in V_ j\ Left-rightarrow f(2x)\ in V_{j+1}\),(3) (对于L^2中的所有f(mathbb R^n),(对于V_0中的所有k),(4) 在V_0中存在一个函数\(g\),使得\(g(x-k)\),\(k\ in mathbb Z^n\)是\(V_0)的Riesz基。如果我们可以选择(4)中的函数\(g(x)\),那么对于任何多指标\(\alpha\),例如\(|\alpha|\leqr \)和任何\(m\in\mathbbN \),多分辨率分析称为\(r \)-regular。给出了几个例子。其中一个是(n=1)的阶样条空间,其中(V_0)是类(C^{r-1})的所有函数的集合,其对([k,k+1[\),(k\in\mathbbZ\)的限制是阶多项式(leqr)。在本例中,(4)中的函数(g\)是(chi*\dots*\chi\)((r\)-次),其中(chi\)是区间\([0,1]\)的特征函数。证明了存在一个函数,使得(φ(x-k)),(k在mathbb Z^n中)形成了(V_0)的正交基。设\(E_j)为\(V_j)上的正交投影\(E_j)有一个内核(E_j(x,y)=2^{nj}东(2^jx,2^jy))其中,(E(x,y)=sum\phi(x-k){\bar\phi}(y-k),)和(E_jf(x))可以被视为格点(Gamma_j=2^{-j}\mathbb Z^n)处的(f)的采样。根据L^2(mathbb R^n)中的定义(E_jf到f\),对于L^2中的定义。将\(L^2(\mathbb R^n)\)替换为Sobolev空间\(H^s(\mathbb R^n)\)也是如此。在从(V_j)开始适当定义(V_j(p))的(L^p(mathbb R^n)中,也考虑了多分辨率分析。建立了Bernstein(部分^{alpha}f\|_p\leq C2 ^{|alpha|j}f\| _p)的不等式(f\in V_j(p)),(|\alpha|\leqr)。证明了下列显著不等式:(|\alpha|\leqr)的(int^{\infty}_{-\infty}E(x,y)y^{\alpha}\,dy=x^{\alpha}\)。还证明了\(E_j)是一个伪微分算子,其符号用\(\phi\)进行了显式表示。第三章。一个实变量的函数(psi(x))被称为类(m)的ondelette,如果(A)(psi)及其阶导数(m)属于(L^{infty}(mathbb R),(b)(A)中的函数在无穷远处迅速减少,(c)其阶矩直到(m)消失,(d)(2^{j/2}psi(2^jx-k),\(k\in\mathbb Z\)是\(L^2(\mathbbR)\)的正交基。通过(d),可以将(L^2(\mathbb R))中的函数展开为一系列(\psi_I=2^{j/2}\psi(2^jx-k),\)\(I=[k2^{-j},(k+1)2^{-j}[\)。然而,这种展开对于(L^1(\mathbb R)\)或(L^{infty}(\mat血红蛋白R)\中的函数不起作用。为了避免这个困难,另一个函数\(\phi\)介绍了被称为“安德勒之父”(即安德勒的母亲)。函数\(\phi\)具有上面的属性(a)、(b)、\(int^{infty}_{-\infty{\phi(x),dx=1\)、\。由\(2^{j/2}\phi(2^jx-k)\)跨越的闭子空间是\(V_j),由\(2 ^{j/2}\psi(2 ^jx-k)\)、\(k \ in\mathbbZ\)跨越,是\(V{j+1}\)中\(V _j)的正交补。这种情况在多维情况下也是一样的。在第三章中,提出了一种为给定的\(\phi\)构造\(\psi\)的方法。详细描述了几个示例。第四章设(psi)是(L^1(mathbb R)中的一个函数,其在(mathbbR)上的积分为零。给出了(2^{j/2}(2^jx-k)),(j-in-mathbb Z),(k-in-mathbb Z)是(L^2(mathbb R))的斜结构((=A)框架)的一个充分条件。据说,对于\(psi(x)=(x+i)^{-2}\),这组函数构成\(mathbb H^2(mathbbR)\)的框架。在第五章中,哈代空间(H^1(mathbb R^n))被定义为函数集(L^1(mathbb R*n)中的f),使得ondelettes序列(sum(f,psi{lambda})\psi{lambda}\)无条件收敛到(f\)。这里使用的Ondeletes是常规的,具有紧凑的支持。事实证明,该定义与ondelettes的选择无关。本章的一个主要定理是,有界平均振荡函数的空间是(H^1(mathbb R^n)的对偶空间在第六章中,我们说明了一个给定的函数或分布是否属于各种函数空间,如L^p空间、Sobolev空间、Hardy空间、Hölder连续函数空间、Beurling代数、Wiener代数、Besov空间等。审核人:H.Tanabe(丰田章男) 引用于19评论引用于337文件 MSC公司: 42立方厘米 涉及小波和其他特殊系统的非三角调和分析 42-02 关于欧氏空间调和分析的研究综述(专著、调查文章) 41A58型 级数展开(例如泰勒级数、利德斯通级数,但不是傅里叶级数) 94甲12 信号理论(表征、重建、滤波等) 关键词:缩水甘油酯;小波;傅里叶变换;离散希尔伯特变换的有界性;Bernstein不等式;斜向构造;框架;哈迪空间 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Meyer},Ondeletes等人。一: Ondeletes(删除)。巴黎:赫尔曼,《科学与艺术编辑》(1990;Zbl 0694.41037)