蒂齐安,Z。;托蒂克,V。 平滑模量。 (英语) Zbl 0666.41001号 计算数学中的Springer级数, 9. 纽约等地:施普林格-维拉格。九、 227页。;108.00马克(1987年)。 Nicht nur bei der Frage,wie gut eine vorgegebene Funktion f durch ein trigometriches Polynom order aber durch in algebraisches Polynov vorgegepenen Maximalgrades approximerbar ist,spielt der klassische Stetigkeits module \(\omega^r(f,t)\)eine große Rolle。我是Laufe der letzten Jahre aber zeigten sich gewisse Unzulänglichkeiten dieses klassischen Stetigkeits modules,und deshalb wurden in jüngster Zeit verschidentlich andere Stetigkiits modular vorgeschlagen。在vorliegenden Buch stellen die beiden Autoren ihren neuen Stetigkeits module vor,und sie verwenden ihn,um eine ganze Reihe wichtiger und schöner Resultate herzuleiten。Dabei hängt dieser Stetigkeits module noch von einer Hilfsfunktion\(\phi\)(x)ab und kann deshalb dem jeweiligen Problem angepaßt werden。Es bezeichne D ein(beschränktes order unbeschránktes)间隔。Auf D sei eine positive Funktion(φ)(x)erklärt,welche gewissen weiteren Bedingungen genügt。Für jede auf D erklärte relelvertige Funktion F setzen die Autoren(Für festes natürliches r und alle)\[\增量^r_{h\phi}f(x)=\sum^{右}_{k=0}(-1)^k\左(\开始{矩阵}r\\k\结束{矩阵{右)f(x+\{(r/2)-k\}h\phi(x))\]\[下降\quad[x-(rh/2)\phi(x),\quad x+(rh/2;\四重奏0\四重奏\]和erklären(für jede fest \(1\leq p\leq\infty)\)ihren Stetigkeitsmodul \(\omega^r_{\phi}(f,t)_p\)durch \(\omega^r_{\phi}(f,t)_p=\sup_{0<h\leq t}\|\Delta^r_{h\phi}f\|_{L_p(D)}。\)Für eine genauere Beschreibung des Buchinhaltes wollen wir im folgenden einzelne Kapitelüberschriften angeben und dazu jeweils zentrale Begriffe und Resultate.(法国总领事馆)。细纱1。Der Stetigkeits模块。1.恩莱顿。Es wird angegeben,welchen Eigenschaften die Hilfsfunktion genügen muß。Beispielsweise genügt\(φ(x)=\sqrt{1-x^2}\)auf\(D=(-1,1)\)diesen Bedingungen。2.Das K-Funktional和der Stetigkeits模块。维伦·斯特伦·哈本(vielen Stellen haben sich die von Peetre eingeführten K-Funktionale als wichtiges Hilfsmittel herausgestellt)。Im vorliegenden Fall wird das Funktional\(K_{r,\phi}(f,t^r)_p=\inf_{g}\{\|f-g\|_p+t^r\|\phi^rg^{(r)}\|_p\}\)betrachet,wobei güber alle Funktionen läuft,deren(r-1)-te Ableitung auf jedem kompakten Teiliintervall von D absolut stetig ist。Alsein Hauptresultat des ganzen Buches wird gezeigt,und zwar für festes r,p,\(\phi\):Satz:Es gibt konstante M,\(t_0>0\)derart,daßr alle\φ}(f,t^r)_p\leq M\omega^r_{\phi}(f,t)_p.)3。Andere Formen des K-Funktionals under Stetigkeits模块。Es zeigt sich,daßdie näherungsweise Berechnung des Stetigkeits modules \(\omega^r_{\phi}(f,t)_p\)häufig Schwierigkeiten贝雷特。Deshalb führen die Autoren einen neuen Hauptteilstetigkeits模块ein。Dessen näherungsweise Berechnung在vielen Fällen zeigen,daßer sich nur unvestenlich vom Stetigkeits module \(omega^r_{\phi}(F,t)_p\)unterscheidet中是leichter und man kann。Für einige Beispielsfunktionen在Grßenordnung vin(ω^r_{\phi}(F,t)_p)中进行了解释。4.Eigenschaften von(ω^r_{φ}(f,t)_p)。Bei der Herleitung dieser Eigenschaften spielt der im 2。Kapitel hergeleitete a a quivalenzsatz zwischen(ωr_{φ}(f,t)_p)und(K_{r,φ}。细纱2。安文敦根。7代数多项式逼近。在voller u bereinstimmung mit dem trigometrichen Fall wird für feste \(在{mathbb{N}}\)und\(1\leq p\leq\infty\)gezeigt(mit\(\phi(x)=\sqrt{1-x^2}):\)Satz:Es gibt eine Konstante \(M>0\)derart,daßr alle \(N>r\)gilt:\[\压裂{1}{M} E类_n(f)\leq\omega^r_{\phi}(f,1/n)_p\leq-Mn^r\cdot\sum^{n-1}_{k=0}E_k(f)_p\cdot(k+1)^{r-1}。\]Dabei steht\(E_n(f)_p\)für den in der \(L_p\)-范数gemessen Abstrand zwischen f und der Menge aller algebraischen Polynome vom Grade höchstens n.Des weiteren werden Ungleichungen hergeleitet zwischen\ n)das zugehörige(L_p)-bezeichnet的Proximum von f bezeichnet。Weitere Anwendungen behandeln die gewichtte Polynom-Approximation auf[-1,1]oder auf\({\mathbb{R}}\),Operatoren vom Exponentialtyp oder vom Bernstein'schen Typ sowie die Polynom-approxization in mehreren Variablen。审核人:H.菲德勒 引用于34评论引用于635文件 MSC公司: 41-02 与近似和展开有关的研究说明(专著、调查文章) 41A10号 多项式逼近 42A10号 三角近似 41A25型 收敛速度,近似度 关键词:三角多项式;连续性模数;平滑模数;K-功能;代数多项式应用 PDF格式BibTeX公司 XML格式