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布鲁斯·雷兹尼克

从算术几何不等式导出的形式。 （英语） Zbl 0637.10015号

数学。安。 283，No.3，431-464（1989）.
实齐次多项式（A形式）被称为半正定（或psd），如果（p（x）geq 0）对所有（x在mathbb R^n中）；如果它是形式的平方和，则称为sos。对于（x\in\mathbbR^n）和（u\in\MathbbZ^+_n），设（x^u=prodx_j^{u_j}）。设（mathcal U={U_i}）是满足（sum）的偶数元组集_{j} u个_{ij}=2d\）对于每个\（i）（\（x^{u_i}\geq0）都有度（2d\。对于C（mathcal U）中的（w=sum\lambda_iu_i\），（lambda_ i\geq 0），（sum\lambda_i=1），（f（mathcal-U，lambda，w）（x）：=sum\ lambda_aix^{U_i}-x^w），通过算术几何不等式（AGI）得到psd。（f）的正倍数称为agiform。希尔伯特证明了并非每个psd形式都是sos。Motzkin于1967年提出的第一个明确例子是agiform（M（x，y，z）=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y ^2z^2）。Choi、Lam和作者还发现了其他非食盐调味品。Hurwitz证明了每一个agiform^{2d}-2d\prodxi^{ci}）是sos。
本文定义了（mathcal U^*），它是（C（mathcal-U））的一个可计算子集，具有这样的性质：如果agiform（f=f（mathcal U，lambda，w））是sos，那么（w\In\mathcal-U^*）。相反，如果\（mathcal U\）是单纯形（“网格”）和\（w\ in mathcal U ^*\）的顶点集，则\（f\）是sos；这个证明是一个将（f）表示为平方和的算法。因此，如果\（f\）是agiform并且\（k\geq\max（2，n-2）\），那么\（f（x_1^k，\ldots，x_n^k）\）是sos。
如果（p=sumh_i\），（h_i \）psd表示（h_i=alpha_ip\），则psd形式\（p\）称为极值。Choi和Lam证明了\（M（x，y，z）\）和他们引入的另外两个敏捷形式\（S（x，y，z））和\（Q（x，yz，w）\）是极值的。（大多数其他已知的极值形式都是不定形式的正方形。）如果\（f（\mathcal U，\lambda，w）\）是极值，那么\（\ mathcal U\）是网格。我们得到了一个代数为极值的充要条件，涉及到（w）和（C（mathcal U）的同余性质（mod 2）。极值代数（M）、（S）和（Q）推广到多变量的极值代数族；这些建筑是在莫茨金、崔和林的基础上建造的。
审核人：B.雷兹尼克

引用于5评论
引用于33文件

MSC公司：

11E10型 实际字段上的表单
13J30型 实代数
第12天15 与平方和相关的字段（形式上为实数字段、毕达哥拉斯字段等）

关键词：

实齐次多项式；正半定；索斯；形式平方和；算术几何不等式；敏捷的；psd形式；极值形式；格子；极值敏捷
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Reznick}，数学。Ann.283，No.3，431--464（1989；Zbl 0637.10015）
全文： 内政部 欧洲DML

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