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4流形的连接、上同调和交集形式。 (英语) Zbl 0635.57007号

除了弗里德曼的结果之外,作者的以下众所周知的基本定理开创了4流形理论的革命。定理A。如果(X^4)是光滑的、紧的、单连通的,并且对于所有的(H_2中的alpha)都具有负交集形式((alpha\cdot\alpha\leq 0),那么该形式在整数上等价于标准形式((-1)\oplus\cdot\cdot\ cdot\oplus(-1)本文讨论了具有某些不定交形式的光滑单连通四流形的存在性。定理B。如果(X^4)是一个光滑的、单连通的自旋4-流形,其交集形式有一个正部分,那么该形式在整数上等价于(开始{pmatrix}0&1 \\1&0结束{pmatricx}。)
定理C。如果这样一个流形的交集形式有两个正部分,那么它在整数上等价于\(\ begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\otimes\ begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)。推论。经典的Kummer K3曲面K是光滑不可分解的。在定理A的早期证明中,作者使用集中连接或类粒子连接构造了反自对偶规范场的模空间。这个模空间在定义流形(X^4)和若干副本(P^2(C))之间提供了一个协边,该定理是从签名的协边不变性推导出来的。定理B、C的证明从协同论转移到同调论。如果(.,.)是秩r的格L上的一个偶数、单模形式,那么可以将它与\(L\otimes{\mathbb{Z}}/2\)形式\(L^*\otimes{\mathbb{Z{}/2)\,\(\omega(\alpha_1,\alpha_2)=\alpha_1\cdot\alpha_2\)mod 2上的模2约简联系起来。r必须是偶数,并且(r=2p\)和(Lambda^r(L^*\otimes{\mathbb{Z}/2)中的ω^p\)非零\(ω^d=0)impies\(d>p)。定义\(Q_4(\alpha_1,\alpha_2,\alfa_3,\alpha_4)=(\alfa_1\cdot\alpha_2)(\alba_3\cdot\ alpha_4α{i2})(α{i3}\cdot\alpha_{i_6})\)mod 2 one得到\(r\leq 2\Leftrightarrow Q_4=0\)和\(r\ leq 4\Leftright arrow Q _6=0.\)
现在,作者考虑了由Taubes引入的多瞬子解空间,并将其与该空间中的上同调类中的每个同调类联系起来。考虑到这些上同调类的杯积,表达式(Q_{2d})显示为多瞬子解的边界分量数。假设分别为(b^+_ 2(X^4)=1)\(=2),作者推导出定理B,C。作为与先前考虑的集中连接的主要区别,现在出现了额外的参数,这些参数由使用Dirac族指数的挠率类检测。
审核人:J.艾奇霍恩

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