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Householder矩阵乘积的WY表示。 (英语) Zbl 0628.65033号

作者提出了一种块Householder算法,用于获得实矩阵a的QR分解。他们的程序适用于具有支持矩阵-矩阵乘法的体系结构的计算机,如作者使用的FPS-164/MAX(FPS代表浮点系统)。算法给出了获得QR分解的标准Householder正交化
对于\(k=1\)到n
对于\(j=1\)到k-1
\(a_k:=a_k+(u^T_ja_k)v_j\)
j的结束
计算\(v_k\),使\(\|v_k\|=1\)和\(P_k=I+(-2v_k)v^T_k=I+u_kv^T_k)
是Householder矩阵,它将
列\(a_k\)
k结束。
该算法包含丰富的内积((u^T_ja_k)和运算(y:=\alpha x+y),但不包含矩阵乘法。作者设计的新方法取决于这样一个事实,即Householder乘积(Q_k=P_1…P_k)可以写成\[(1) \quad Q_k=I+W_kY^T_k=I+[W_{k-1},Q_{k-1}u_k][Y_{k-1},v_k]\]其中\(W_1=u_1\),\(Y_1=v_1.\)
设\(A(r:s,t:u)\)是由行r到s和列t到u定义的A的块。将A划分为列块\(A=[A_1,…,A_n]\),其中\(A_i\)有p列,但\(A_n\)的列可能少于p列,p是由计算机体系结构决定的整数。作者使用以下算法用R覆盖A
对于\(k=1\)到n
\(s:=(k-1)p+1)
计算[使用下面概述的程序]W和Y,以便
\(I+WY^T\)是正交的,而\((I+WY^T)A(I:m\),\(s:s+p-1)\)是上三角形
\(A(s:m,s:n):=(I+WY^T)A(s:m,s:n)\)
k结束。
在步骤k的开头,A被\(\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}&R_{13}\\0&A_k&B\end{pmartrix}\)覆盖。块\([A_kB]\)有\(m-(k-1)p\)行,\(A_k\)有p列,B有\(1+(k-1”p\)列。修改\([A_kB]\)的步骤如下:
1) 使用(1)中给出的WY过程计算\(A_ k\)的QR因子分解,
2) 计算\(Z^T=W^TB\),3)用\(B+YZ^T\)覆盖B。
审核人:一、伊玛目

MSC公司:

65层25 数值线性代数中的正交化
65平方英尺 线性系统和矩阵反演的直接数值方法
15年23日 矩阵的因式分解
2005年5月 并行数值计算
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