沃索，沃尔夫冈 关于参数具有奇点的线性常微分方程理论的主题。 （英语） Zbl 0549.34053号 斯特拉斯堡：路易斯·巴斯德大学，数学研究所，高等数学研究所。第164页（1979年）。 作者讨论了三个主题：矩阵值函数的相似性、扩张域的外解和线性微分方程的绝热不变量。第一个主题包含关于矩阵相似变换的非常有趣和重要的主题，这些主题在微分方程组理论中非常丰富。作者提出了三个问题：（1 ^0）。设F是从（C^m）中的域D到C的矩阵值全纯函数族。如果对于F中的两个矩阵a（x）和B（x），存在一个可逆矩阵m（x）使得^{-1}甲（x） M（x）=B（x））对于所有（D中的x），何时可以在族中选择这样一个矩阵M（x）及其逆矩阵\(2^ 0\). 通过使用F的矩阵M（x），找到F的一个子族（F_0），使得F的每个矩阵a（x）都类似于（F_0\）的一个且只有一个矩阵B（x）\(3^ 0\). 对于F的任何矩阵A（x），何时可以在F中实现块对角化？为了解决这些问题，作者以自己的方式解释了Arnol’d关于在（F_0）中通过相似变换找到规范子族（F_0\）的理论。这个理论包含了对第二个问题的部分回答。然后他给出了第一个问题的部分答案：当（x\在C\中），如果映射（L（M）=MA（x）-a（x）M\的零空间的维数d（x）在\（x=0\）的邻域内是常数，则每个全纯矩阵B（x），其中\（B（0）=a（0。第三个问题在最后一个主题中起着至关重要的作用。设D是实x轴的区间。然后，Hermite全纯矩阵A（x）可以通过与D中的酉矩阵值函数全纯的相似变换对角化。他还证明了一些美丽的定理：在一些额外的假设下，（D\子集R\）中的无穷可微Hermite矩阵A（x）或实Hamilton矩阵A（×）可以分块对角化，这样，每个块都是厄米特或哈密顿。第二个主题是关于奇异点附近的形式为（epsilon^hdy/dx=A（x，epsilon）y）的线性微分方程。h是一个正整数，a（x，（epsilon）是一个（n乘以n）的矩阵值函数（x在C中）和一个小参数，而y是一个n维列向量。假设A（x，（epsilon））可以渐近地由幂级数A（x）表示为（epsilen到0+）。当矩阵（A_0（x））在（x=0）附近有n个不同的特征值时，就像一个标量方程一样，很容易找到方程的基本矩阵解。然而，当（A_0（x））的Jordan形式在\（x=0\）附近发生变化时，情况并非如此，也就是说，继作者之后，\（x=0.）是一个转折点。当（x=0）是一个转折点时，构造基本矩阵解的过程非常复杂，需要冗长的推理。利用阿诺尔理论，将方程化简为一些正则方程的过程，这些正则方程的基本矩阵解很容易得到。作者使用了六种变换，即幂级数变换、参数共享变换、自变量共享变换、参数重新调整变换、自变数重新调整变换和特征值偏移变换。他的基本结果是：微分方程可以通过六种类型的有限次变换简化为具有相同形式的有限组系统，其中包括（n=1）（标量方程）或（h=0.）第三个主题是关于变长摆和含时薛定谔方程理论的推广。作者首先研究了形式为（epsilon-dy/dt=a（t，epsilon）y）的系统的绝热不变量，其中a（t）是二阶哈密顿矩阵。如果\（\lim_｛\epsilon\to0+｝I（y（t，\epsilon），t，\epsilon）\）存在并且对于某类解y（t，\（\epsilon）\）独立于t，则函数I（y，t，\（\epsilon）\）被称为“绝热不变量”。他展示了如何为任意阶线性哈密顿系统构造绝热不变量。解决这些问题的工具是在第二个主题中开发的块对角化技术。从应用程序的角度来看，最后一个主题非常有趣。审核人：伊瓦诺先生 引用于2文件 MSC公司： 第34页第20页 奇异摄动，转向点理论，常微分方程的WKB方法 34A30型 线性常微分方程组 2002年4月34日 关于常微分方程的研究综述（专著、调查文章） 34立方厘米20 常微分方程和系统的变换和归约，正规形式 关键词：矩阵值函数的相似性;外部解决方案;绝热不变量;相似变换;块二对角化;可变长度摆;含时薛定谔方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式