雷蒙德·佩利（Raymond E.A.C.Paley）。;诺伯特·维纳 复域中的傅里叶变换。 （英语） 兹宝利0011.01601 学术讨论会出版物。美国数学学会19.纽约：上午数学。Soc.viii，184 S.（1934年）。 正如序言中所说，这本书涵盖了各种各样的主题，但统一了傅立叶变换在复域中应用的中心思想。品种真的很棒。我们将列举本书中讨论的主要特征定理，其中大多数是作者以前以某种形式发表的，或者是具有新证明的已知定理，并以新的联系出现。（1） 拟分析函数Carleman定理的一个新证明，利用了一个显著定理，即（infty<x<infty）中的类（L_2）函数在半线上消失当且仅当其Plancherel变换（varphi（x））使积分\[ \int_{-\infty}^\infty \ frac{\vert\log\vert\varphi（x）\vert\vert}{1+x^2}\，dx\] 有限的。（2） SzáSz定理的一个新证明：函数集（{x^{lambda_n}），（operatorname{Re}（\lambda_n）>-\tfrac12），在且仅当，\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1+2\operatorname{Re}（\lambda_n）}{1+\vert\lambda_n\vert^2}\]分歧。（3） 方程的求解\[ f（x）=\int_0^\infty K（x-y）f（y）\，dy\] （积分0的下限，而不是\（-\infty\）！）。（4） 指数型整函数（F（z））的零点分布定理，如果具体应用于形式为（F（z）=int_b^a e^{ix}F（x），dx）的函数，则给出了（4）关于函数集（e^{i \lambda_nx}}}）和（e ^{pmi \lampda_nx{}}}}{}）在有限区间上的闭包的精细定理。例如，如果\（\vert\lambda_n-n\vert\leL<\frac1{\pi^2}\），\（n=0，\pm1，\ldots\），那么函数集\（\{e^{i\lambda_nx}\}\）在\（-\pi，\pi）\上是闭的\（L_2），并且允许具有有趣属性的闭正规双正交集\（{h_n（x）\}\）。（5） 关于几乎周期函数的一种新的间隙理论，最后（6） 维纳微分空间。由于目前对这一主题的阐述与以往有所不同，我们将对其进行简要的阐述。让每个变量\（\alpha_n\），\（n=0，\pm1，\pm2，\ldots\）用通常的Lebesgue测度表示区间\（0\le\alpha_n\le1\），让点的空间\（\alpha=（\ldots，\alpha_{-n}，\ldot，\alba_0，\aldots，\alda_n，\ldots）具有无穷维环面的现代测度，并让\（a_n\）是\（（-\log\alpha{2n-1}）^{1/2}e^{2\pii\alpha}}\）。然后是系列\[ \psi（x，α）\sim xa_0+\sum_1^\infty\frac{a_ne^{2\pi inx}}{in}+\sum_1^\intty\frac{a_ne ^{-2\pi inx}}{-in}\] 几乎所有（α）都是（x）中连续函数的傅里叶级数。事实上，对于几乎所有\（\alpha\）\[ \varlimsup_{\varepsilon\到0}\vert\psi（x+s，\alpha）-\psi（x，\alfa）\vert\varepsiron^{-\lambda}\] 在所有\（x）中一致为0，whenwhere（\lambda<\frac12）（；但是，对于几乎所有\（\alpha\），whenWhere（\ lambda>\frac12\）对所有\（x\）是无限的。设（F（x）=sum_{-\infty}^\infty F_ne^{2\pi-inx}）是（L_2）的函数。对于几乎所有的（α），积分（int_0^1 F（x），d\psi（x，α））都是作为复变量（z_1，ldots，z_k）的和（{sum'}{-\infty}^ infty F_n）存在的，如果（F_1，\ldots F_k，\[ \int_0^1\Phi\left\{\int_0^1 F_1（x）\，d\psi（x，alpha），\ldots，\int_0 ^1 F_k（x），d\psi（x，alpha）\right\}\，d\\alpha=\frac1{\pi^{k/2}}\int_{-\infty}^\infty \cdots\int\Phi（z_1，\ldot，z_k）e^{-\vert z_1\vert^2-\cdots-\vert}\，dz.\标签{*}\]此外，如果\（T^T\），\（-\infty<T<\infty\）是\（L_2）中的一个连续幺正变换组，其中\[ \lim_{t\to\infty}\int_0^1\上划线{F_p（x）}t^tF_q（x）\，dx=0，\]然后，对于几乎所有\（\alpha\），\[ \lim_｛A\to\infty｝\frac1｛A｝\int_0^A\Phi\left\｛\int_0^1 T^T F_1（x）\，d\psi（x，\alpha），\ldots，\int_0^1 T^T F_k（x）\，d\psi（x，\alpha）\ right\｝\，dt\]等于（*）的共同值；（Birkhoff的遍历定理）。特殊应用于情况\（T^tF（x）=F（x+T）\）。审核人：Salomon Bochner（普林斯顿） 页码：24/35−5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 显示扫描页面 引用于12评论引用于431文件 MSC公司： 42-01 关于欧几里德空间调和分析的介绍性说明（教科书、教程论文等） 关键词：傅里叶变换;复数域 PDF格式BibTeX公司 XML格式