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贾库布·克拉森斯克；帕夫洛·亚齐纳

关于全实数域中的二次Waring问题。 （英语） Zbl 1515.11027号

程序。美国数学。Soc公司。 151，第4期，1471-1485（2023）.
根据经典Waring关于将整数表示为n次幂和的问题的精神，L.J.莫德尔开始研究将任何可接受的二次型表示为线性形式的平方和需要多少平方的问题[Q.J.Math.，Oxf.Ser.1276-288（1930；JFM 56.0883.06号)]. 在本文中，作者获得了将该问题自然推广到更一般环的结果，并给出了代数数域整数环中的g不变量和毕达哥拉斯级数的一些有趣应用。
为了更详细地描述本文的结果，需要一些定义。对于具有单位和正整数的交换环（R\），定义（g\）-不变量（g_R（R））为最小的自然数，使得变量（R\）中的每一个二次形式都可以表示为线性形式的平方和，实际上是这些平方的和，如果不存在这样的自然数，则为无穷大。也就是说，如果\（\Sigma_R（R）\）表示\（R\）上的二次形式集，它可以写成\（R）上线性形式的平方和，那么\[g_R（R）=\min\{n:X_1^2+\cdots+X_n^2\text{表示}\Sigma_R（R）\}中的所有形式。\]对于积分域（R），考虑格型不变量也是很自然的，定义如下。让\（Sigma'_R（R）\）表示在\（R）上用\（I_n）表示的所有二次（R）-格的集合，其中\（I_n）表示具有二次形式\（Q（x）=x^tx \）的自由格。然后\[G_R（R）=\min\{n:I_n\text{表示}\Sigma'_R（R）\}中的所有晶格。\]如果不存在这样的\（n\），则放入\（G_R（R）=\ infty\）。要比较这些不变量，很明显\[g_R（R）=\min\{n:I_n\text{表示}\Sigma'_R（R）\}中的所有自由格。\]所以，一般来说，当\（R\）是主理想域时，\（g_R（R）\leq g_R（R）\）相等。
本文的主要结果，定理4.1，提供了环及其子环的（g）-不变量和（g）-不变式之间的不等式。设（R\supset S\）是具有单位的交换环。然后：
(1)
如果\（R\）由\（d\）元素生成为\（S\）-模块，则\（g_R（R）\leq g_S（rd）\）；
(2)
如果\（R\），\（S\）是Dedekind域，\（R~）是秩为\（d\）的无扭\（S~）模，则\（G_R（R）\leq G_S（rd）\）；
(3)
如果\（S\）是一个Dedekind域，\（R\）是秩为\（d\）的无扭\（S\）-模，则\（g_R（R）\leq g_S（rd）\）。
当这个结果应用于\（R\）是整数环\（\mathcal）的情况时{O} K（_K）\)在（mathbb{Q}）上度为（d）的全实数域（K）中，得到（g{mathcal{O} K（_K）}（r） \leq g_{\mathbb{Z}}（rd）\）。加上最近的结果C.N.贝利等。关于（g{mathbb{Z}}（r）的增长（2019；Zbl 1455.11062号)]，这个不等式给出了\（g{mathcal）的次指数上界{O} K（_K）}（r） \），即使\（K\）的类号大于1。
还指出，由于毕达哥拉斯数（mathcal{P}（R））等于（g_R（1）），这个定理也为环（R）的毕达哥拉数产生了一个相当普遍的上界。另一个直接的结果是，对于数字字段中包含的任何顺序，所有（g）-不变量都是有限的。最后，证明了（G_{mathcal{O} K（_K）}（2） =7\）对于除\（\ mathbb{Q}（\ sqrt{2}）\）、\（\ mathbb{Q}（\sqrt{3}）或\（\ mathbb{Q}（\sqrt}））\）之外的任何实二次域\（K\）。作者提出了这样一个问题：（g_{mathcal）{O} K（_K）}（r） \neq G_{\mathcal{O} K（_K）}（r） 对于某些完全实数字段\（K\）和正整数\（r\）。
审核人：安德鲁·厄内斯特（卡本代尔）

MSC公司：

第11页第25页 平方和和其他特殊二次形式的表示
11日85 表示问题
11E12号机组 全局环和域上的二次型
11第05页 Waring的问题和变体

关键词：

二次Waring问题；平方和；毕达哥拉斯数；\（g\）-不变量；完全实数字段

引文：

Zbl 1455.11062号；JFM 56.0883.06号

软件：

岩浆
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Krásensk}和\textit{P.Yatsyna}，Proc。美国数学。Soc.151，No.4，1471--1485（2023；Zbl 1515.11027）
全文： 内政部 arXiv公司

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