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Galois上同调中的上同调不变量。 (英语) Zbl 1159.12311号

大学讲座系列28.普罗维登斯,RI:美国数学学会(AMS)(ISBN 0-8218-3287-5/pbk)。vii,168页。(2003).
在AMS大学系列讲座的当前卷中,作者系统地描述了当代数学几个分支的边界区域中出现的某些代数不变量,特别是在数论、算术代数几何和线性代数群理论中。这些不变量主要类似于代数拓扑中已建立的特征类的Galois上同调,希望它们在进一步研究各种代数结构时同样有用。历史上,这里讨论的一些不变量的早期版本出现在给定域上二次型的分类理论中,从经典的Hasse-Witt不变量(1937年)到后来由J.Kr.Arason先生[J.代数36,448–491(1975;兹伯利0314.12104)和数学。Z.145139-143(1975年;Zbl 0297.13021号)]和依据M.罗斯[C.R.科学院,巴黎,SéR.I 313,No.12,823–827(1991;Zbl 0756.17014号)]. 在这方面J.-P.塞雷[法国高等学院,1962-196年,《数学笔记》,柏林斯普林格大学,第5版(1964年;Zbl 0128.26303号)和第5版(1994年;Zbl 0812.12002年)]和依据M.-A.克努斯,A.S.Merkurjev公司,M.罗斯J.-P.蒂诺尔[《对合书》,由J.Tits撰写序言。学术讨论会出版物。美国数学学会(AMS)。44。普罗维登斯,RI:美国数学学会(AMS)(1998;Zbl 0955.16001号)]除了此后发表的大量有关该主题的研究论文外,还应被视为近期研究工作的直接先驱。事实上,本卷中的工作进一步推动了伽罗瓦上同调理论中的上同调不变量理论,这是大多数材料首次在印刷品中出现。
就本研究专著的内容而言,正文由两个基本独立的部分组成。
第一部分占据了全书近三分之二的篇幅,标题为“上同调不变量、Witt不变量和迹形式”。这是J.-P.Serre于2001年在加利福尼亚州洛杉矶的加州大学洛杉矶分校(UCLA)发表的一系列演讲的扩展版,作为吉尔杰出演讲系列的一部分,第一作者(S.Garibaldi)在该系列演讲中对笔记进行了记录和阐述。这些注释现在出现在一个丰富和更新的版本中,包括九章,其中分别构造和分类了二次型不变量和具有Galois上同调模2或域的Witt环值的etale代数不变量。作为一种主要的方法论工具,这里出现了泛矩的概念,它可以被视为代数拓扑特征类理论中的泛束的类似物。第1章介绍了定义某些不变量的各种函子。大多数具体例子都用(G)-torsors来解释,其中(G)是地面上的光滑线性代数群。第2章和第3章提供了Galois上同调框架的相关基础,而第4章讨论了上同调不变量的几个特化性质,其中主要是M.Rost的一个未发表的结果。第五章推导了这些不变量的限制和共限制的基本性质,与群上同调中的相应结构完全相似。第6章将上述结果应用于确定二次型、八元数、Albert代数和其他相关结构的新不变量。第6章至第9章接着讨论了étale代数的情况,并对J.P.Serre早先在巴黎法兰西学院1993/1994年的演讲中宣布的主要结果进行了完整的证明(参见。E.拜耳-福金格Galois上同调和迹形式Jahresber。德国。数学-维莱因。96,35-55(1994)]。这包括:étale代数的所有上同调不变量和Witt不变量都可以从迹形式导出,对所有可能的迹形式的显式描述,以及Noether问题(关于不变量域的合理性)的证明对\(mathbb{Q}\)上的某些线性代数群有否定答案。
在这些讲座的三个附录中,J.-P.Serre与M.罗斯(1991),S.加里波第(2002)和B.托塔罗(2002)出版,从而阐明了本书中所展示理论的起源。
该书的第二部分以“连通代数群的Rost不变量”为题,由A.Merkurjev撰写,最后一部分由S.Garibaldi贡献。在这一部分的十六节中,全面介绍了半单单连通线性代数群(G)的三阶上同调不变量(系数为(mathbb{Q}/mathbb}Z}(2))的描述,并首次以系统、详细和完整的方式进行了描述。这里提供的大多数结果都来源于M.罗斯他的开创性方法[Doc.Math.,J.DMV 1,319–393(1996;Zbl 0864.14002号)]它们已经在前面的专著《进化论》中陈述过(没有证据)[Zbl 0955.16001号]如上所述。特别地,给出了a(G)-torsor的Rost不变量(R_G)在H^3(mathbb{Q}/mathbb{Z}(2))中的存在性和函数性质的详细证明,以及B.卡恩[数学博士,J.DMV 1,395–416(1996;兹比尔0883.19002)]在此背景下,将(K)-上同调和维数为三的Galois上同调联系起来,并与某些类型线性代数群的Dynkin指数的完全确定联系起来。总的来说,这本书对研究生和代数数论、算术代数几何和代数群论的研究人员来说是一个非常有价值的来源。

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