克里斯汀·劳特;Jean-Pierre爵士 有限域上亏格三曲线上有理点的最大或最小个数。 （英文） Zbl 1031.11038号 作曲。数学。 134，第1期，第87-111页（2002年）. 设（C）是在（q）元的有限域（F{q}）上定义的亏格（g）的光滑投影代数曲线。然后，由Serre改进的Weil定界表示其有理点的数量（N（C））由\[N（C）\leq q+1+g地板{2\sqrt q}地板。\]如果我们用\（N_q（g）\）（分别为\（M_q（g）\））表示\（N（C）\）的最大值（分别为最小值）为\（C\），则一个自然的问题是：对于\（g\）的哪些值，Serre Weil上界和\（N_q（g）\）有界为\（q\）变化时的差值？本文回答了当（g=3）和任意（q）时的这个问题。对于\（g=1\）和任何\（q\），in[W.C.Waterhouse公司，《科学年鉴》。埃及。标准。上级。，四、 Sér。2, 521-560 (1969;Zbl 0188.53001号)]，表明上述差异是\（0\）或\（1\）。对于\（g=2\）和所有\（q\），in[J.-P.塞雷，C.R.学院。科学。，巴黎，Sér。I 296397-402（1983年；Zbl 0538.14015号)]证明了这种情况下的差异小于或等于\（3）。在这项工作中，作者表明，对于（g=3）和所有（q），最大值或最小值都在Serre-Weil界的（3）之内。主要定理的证明使用了Serre的厄米模理论，该理论在Serre的附录中有详细说明。该理论给出了\（F_q\）上的阿贝尔变异范畴与有限型无扭模范畴之间的等价性，其中\（R_d=Z[\pi]\），\（F_q\）是\（E\）的副本的乘积（其中\（E\）是在\（F_q\）上定义的普通椭圆曲线），和（d）与（E）的有理点的个数有关。首先，他们列出一条曲线的可能zeta函数，该曲线的有理点数量接近Weil界。作用于曲线雅可比数（zeta函数的分子）上的Frobenius的特征多项式通过Tate定理确定了阿贝尔簇的等代类型。对于每个zeta函数，使用前面提到的类别等价性来研究相应的同系类型。由于某些曲线的雅可比矩阵与唯一椭圆曲线副本的乘积不相等，作者还考虑了不同同系类型的阿贝尔变种上极化的粘合。在无法粘合的情况下，作者获得了上界的改进。根据给定行列式的某些环上不可分解Hermitian形式的存在与否，将证明分为不同的情况。在附录中，阿贝尔变种的极化被转化为R模上的正定厄米特形式，并指出极化是主的当且仅当厄米特类型具有判别式时。对于绝对不可约曲线，正则极化对应于判别模的不可分解厄米模。这种对应关系在证明中用于两个方向，以确定某一类型的曲线是否存在，取决于判别式的不可分解厄米特模的存在与否。审核人：米里亚姆·阿卜杜恩（里约热内卢） 引用于三评论引用于18文件 MSC公司： 11G20峰会 有限域和局部域上的曲线 14G05年 理性点 14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Deyer猜想） 14国集团15 代数几何中的有限地面场 关键词：有理点;zeta函数;Serre绑定 引文：Zbl 0538.14015号;Zbl 0188.53001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛K.Lauter｝和\textit｛J.-P.Serre｝，复合物。数学。134，第1号，87--111（2002；Zbl 1031.11038） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 有限域GF（q）上亏格3的（光滑的，几何不可约的）曲线可以具有的最大有理点数，其中q是n阶素数幂>=2。