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Hecke算子(T_p\)本征值的渐近分布。(Répartition渐近线des valeurs propres de l'opérateur de Hecke(T_p)) (法语) Zbl 0871.11032号

素数(p)的Hecke算子(T_p)的特征值在模形式的固定空间上的分布是一个难题。作者处理了一个类似但更容易理解的问题:设一个素数(p)是固定的,并考虑一组偶数权(k)和水平(N)的尖形式的空间(S(N,k),其中(k+N)趋于无穷大。(T_p'=p^{-(k-1)/2}T_p\)的特征值是区间中的点。在(Omega)上是否有一个度量\(\mu\),使得这些点相对于\(\ mu\)均匀分布?在变化(p)的情况下,人们会期望Sato-Tate度量(mu_\infty=\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}dx)。
论文的主要结果表明,确实存在这样一种度量,但它取决于(p),并由以下公式给出\[\mu_p=fp(x)\mu_\infty,\quad fp(x)=\frac{p+1}{(\sqrt{p}+1/\sqrt}p})^2-x^2}。\]证明是Eichler-Selberg迹公式的应用。结果表明,与“明显项”相比,该公式中的“有趣项”可以忽略不计。这给出了估计值\[|\文本{Tr}T_n(n,k,\chi)-\frac{k-1}{12}\chi(\sqrt{n})n^{(1/2)k-1}\psi(n)|\lln^{(1/2)k}\sqrt{N} d日(N)\]对于任何正整数\(n\),在\(\ll\)中有一个常数,该常数仅依赖于\(n\)。在这里,Hecke运算符(T_n)作用于权重(k)、字符(chi)和级别(n)的尖点形式,相对质数为(n),(psi(n)表示(text)中的(Gamma_0(n))的索引{SL}_2(mathbb{Z}),(d(N))是(N)的除数,如果(N)不是正方形,则(chi(sqrt{N})=0)的除法数。主要结果的一个推论是,(T_p’)的特征值在(Omega)中是稠密的。如果用新形式替换尖形式,该定理仍然成立。
一个应用涉及(S(n,k)上的(T_n)的特征值的合理性域,这些特征值是完全实代数整数。设(f_1,\dots,f_s),其中\(s=s(N,k)\)是\(s(N,k)\)的Hecke特征形的基础。对于固定的(i)和变量的(n),设(K_i)是由(f_i)上的(T_n)的特征值生成的场,设(s(n,K)_r)表示(K_i)的度数(r)超过(mathbb{Q})的\(i)的个数。然后,对于任何固定的\(r \),它显示为\[\lim_{k+N\to\infty}s(N,k)_r/s(N、k)=0。\]松散地说:大多数字段\(K_i \)都有很大的程度。这对模曲线(X_0(N))的雅可比变量(J_0(N))产生了影响:最大简单因子的维数随着(N)趋于无穷大。特别是,只有有限多个(N)使得(J_0(N))与椭圆曲线的乘积是同胚的。
在最后两章中,作者表明关于\(\mu_p\)的等分布也发生在其他一些对象中。第一个涉及有限域上代数曲线族的“Frobenius角”{F} (_q)\)以及它们在\(F_q\)扩展上的点数。第二个问题涉及正则图的关联矩阵的特征值。

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11楼 积分权的全纯模形式
11层25 Hecke-Petersson算子,微分算子(一个变量)
11楼72 谱理论;跟踪公式(例如,塞尔伯格的公式)
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