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李楠;亚伦·纳伯

Alexandrov空间奇异集的定量估计。 （英语） Zbl 1480.53059号

北京数学。J。 3，第2期，203-234（2020年）.
正在审查的文章回答了一个公开的问题V.卡波维奇等[J.Eur.Math.Soc.（JEMS）23，No.1，29-62（2021；Zbl 1493.53087号)]关于奇异集的Hausdorff测度估计和包装估计。
设（mathrm{Alex}^n（kappa））表示截面曲率由下面以（kappa\）为界的（n）维Alexandrov空间的集合。设\（Y\）是一个度量空间，并且\（k\in\mathbb｛N｝\），\（Y\）被称为\（k\）-分裂，如果\（Y\）对某些度量空间\（Z\）与\（\mathbb｛R｝^k\times Z\）等距。设（X）是一个度量空间，如果存在一个（k）-分裂空间（Y）和（Y），使得（d_{mathrm{GH}}（B_r（X），B_r。那么让\[\mathcal{S}^k_{\epsilon，r}（X）=\left\{X\ in X\，：\，B_r（X）\text{不是}（k+1，\epsilen）\text}-spliting}\right\}，\]和\[\数学{S}^k_\epsilon（X）=\bigcap_{r>0}S^k_{\epsilen，r}（X）。\]此外：\[\对于任何度量空间}\Sigma\right\}，在X\，：\，T_p（X）\text{中，mathcal{S}^k（X）=\left\{p\不是与}\mathbb{R}^{k+1}\次C（\Sigma）\text}等距的。\]
如下所示：
定理1.3（包装估计）。对于任何（n，p）和（epsilon>0），存在（C=C（n，epsilon）>0）和（beta=beta（n，ε）>0\），因此对于任何（X，p），下面的结果都成立；如果对于所有的（i in mathbb{i}），如果（x_i in mathcal{S}^k_{epsilon，Betar_i}（x）\cap B_1（p））和（{B_{r_i{（x_i）\}）与（r_i\leq 1）不相交，那么\[\sum_{i\in\mathbb{i}}r_i^k<C。\]特别是，如果\（x_i\ In \mathcal{S}^k_{epsilon，r}（x）\cap B_1（p）\）和\（\{B_r（x_i）\}\）与\（r\leq1\）不相交，则\（|\mathbb{i}|<Cr^{-k}\）。
据此，他们估计了豪斯多夫测度和体积：
推论1.4（Hausdorff测度估计）。对于任何（n in mathbb{n}）和（epsilon>0）都存在一个（C=C（n，epsilon）>0），因此对于任何（X in mathrm{Alex}^n（-1））和（p in X），我们都有Hausdorff测度估计\[\mathcal{H}^k\左（\mathcal{S}^k_\ε（X）\cap B_1（p）\右）<C（n，\epsilon）。\]
推论1.5（体积估算）。对于任何（n in mathbb{n}）和（epsilon>0）都存在一个（C=C（n，epsilon）>0），因此下面的估计对任何（X in mathrm{Alex}^n（-1））和（p in X）都成立。\[\mathcal{H}^n\left（B_r（\mathcal}S}^k_{epsilon，r}（X））\cap B_1（p）\right）\leq Cr^{n-k}。\]
此外，还表明
定理1.6（（k）-可校正性）。对于任意的（X）和（0），我们认为（X）是可纠正的。
定理1.7。对于任何闭子集（Tsubsetqmathbb{S}^1）和（epsilon>0），都存在一个带（mathrm）的（3）维流形序列{秒}_｛M_i｝\geq 0\）和\（M_i \ to Y\in\mathrm｛Alex｝^3（0）\），其中\（\mathcal｛S｝^1_\epsilon（Y）=\phi（T）\），其中\（\phi:\mathbb｛S｝^1 \ to Y\）是双Lipschitz嵌入。
审核人：Loreno Heer（苏黎世）

引用于10文件

MSC公司：

53立方厘米 全局几何和拓扑方法（a la Gromov）；度量空间的微分几何分析
53立方厘米21 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制
53C20美元 全球黎曼几何，包括收缩
53立方厘米 整体曲面理论（凸曲面A la A.D.Aleksandrov）
53摄氏度70 直接方法（\（G\）-Busemann的空格等）
97G10型 几何教育综合作品

关键词：

定量分析;奇异集;亚历山德罗夫空间;截面曲率;分裂

引文：

Zbl 1493.53087号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{N.Li}和\textit{A.Naber}，北京数学。J.3，No.2，203--234（2020；Zbl 1480.53059）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

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