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单价基金项目

同伦类型理论。数学的单价基础。 (英语) Zbl 1298.03002号

新泽西州普林斯顿:高等研究院;北卡罗来纳州罗利:卢鲁出版社。ix,468页。(2013).
这本书是普林斯顿高等研究院同伦类型理论特别年的成果。HoTT是作为数学的基础提出的,它既是一种能够描述整个数学的形式理论,也是一种构思和研究数学思想的新范式。因此,本书的第一部分全面介绍了HoTT的所有基本方面,而第二部分描述了迄今为止开发的一些应用程序,所有这些应用程序都以不同的方式与基本目标相关。
一个重要的方面是,这本书介绍了HoTT的理论和风格,形成了一个严谨但不严格的文本:虽然数学家可以轻松填补空白,但需要付出一些努力才能习惯HoTT背后的推理方式。
这本书的另一个困难是所需的背景:尽管作者做出了努力,但它并不是自成体系的。理解内容至少需要一些从属类型理论的先前知识,高等范畴理论的基础,同伦理论的一些但坚实的概念,以及一些构造数学的知识。此外,HoTT仍在开发中,因此阅读文本时应将内容视为该主题当前知识的快照,其形式几乎(但并非完全)稳定。
另一方面,HoTT融合了来自不同领域的许多观点,这是Voevodsky最近发现的同伦理论和类型理论之间的联系。这本书试图对这一主题进行系统的阐述。总的印象是它在这个目标上取得了成功:这本书相当完整,它很好地描述了HoTT的真实面貌。
作为一种类型理论,HoTT继承了Martin-Löf类型理论的内涵版本,并扩展了宇宙和一些原则:路径感应单价因此,HoTT继承了命题作为类型的解释,产生了本质上是直觉主义的内部逻辑。另一方面,等式类型的存在,即(a)的形式(a=b\)的类型,相同类型(C)的(b\)项,是以不同于马丁·洛夫类型理论的方式呈现的:在后一种理论中,根据命题as-types解释,术语(t:a=b)是等式的“证明”;在HoTT中,(t)既是(a=b)真理的见证,也是空间(C)中从(a)到(b)的路径。事实上,HoTT的第一个基本思想是,任何术语(t:A\)都是用\(A\)表示的空间中的点。类型构造器允许形成产品空间、协同产品空间、功能空间,而类型理论的依赖性允许识别纤维和截面。因此,\(t:a=b\)成为“证明”之间的映射,即点,从而成为路径,因此类型\(a=b\)表示从\(a\)到\(b\)的路径空间。
第一章介绍了HoTT作为一种类型理论,并强调了上述的空间解释。最后几节专门介绍路径感应这是HoTT的一个基本特征。简而言之,它指出身份类型族是由形式\(\ mathsf的元素自由生成的{回流}_x:x=x\),\(\mathsf{回流}_x\)是反身性的术语。在空间解释中,基于路径的归纳表达了这样一个事实,即从某个给定点出发的路径空间可以收缩为该点上的常回路。很明显,同源论在空间解释中起着至关重要的作用,因为它们是连接路径的自然方式:因此,该理论的名称。
第二章介绍了HoTT的核心新思想:在同伦理论中,类型可以看作是空间,在范畴理论中可以看作是群胚。事实上,用(infty)-群胚对HoTT的抽象描述是对相当直观的空间解释的精确而正式的呈现。核心思想很简单:广群是一个类别,其箭头都是同构的。但同构是一个过于严格的概念,无法比较路径,因为我们需要识别可能会不断转换为另一个路径的路径。因此,通过允许箭头之间的箭头(称为(2)-箭头)来放松群体结构,并要求它们都是同构的,我们得到了一个更容易模拟空间解释的范畴结构。然而,同伦是路径之间的路径,因此比较它们会引发相同的问题:我们真的想识别同伦,我们可以不断地将其转换为另一个同伦。因此,迭代抽象过程,我们得到每个\(k)的\(k \)-箭头,其中对象是\(0 \)-箭,每个\(k\)-arrow是到\(k+1)-箭的同构,即到同伦。这种范畴结构被称为(infty)-群群。
第2章精确地说明了类型和空间之间的对应关系,并详细描述了由它们的术语产生的标识类型。尽管在技术上涉及,但这些类型自然会按照人们所期望的方式被描述为\(\ infty \)-群胚。事实上,有一点HoTT是不令人满意的,还需要一个额外的因素:宇宙的行为并不自然,因为对于宇宙中的任何\(A,B:\mathcal{U}\)类型\(\mathcal{U}\),都有一个函数\(A=_{\mathcal{U}}}B\ to A\simeq B\)映射空间\(\mathcal{U}\)中从\(A\)到\(B\)的路径转化为等价物;不幸的是,逆命题不成立,因此需要一个额外的公理,它准确地说明逆命题的存在。这是沃沃德斯基的单价公理.
很明显,迄今为止奠定的基础与这位职业数学家的现实相去甚远。然而,它提供了足够的力量以简单有效的方式重建集合理论数学和经典逻辑的世界。在第3章中,通过将集合定义为那些类型\(A\),对于这些类型,对于\(x,y:A\)和所有\(p,q:x=y\),它保持为\(p=q\)。该定义的含义是设置是一种没有更高同伦信息的类型设置可以很容易地概括为只承认几个级别的同伦信息:例如,这允许构造群胚。相反,可以进一步限制同伦信息的数量:类型\(P\)是纯粹命题如果,对于所有\(x,y:P\),\(x=y\)。有趣的事实是,纯粹命题相对于类型构造函数表现出经典的行为。通过以适当的方式将命题作为类型的解释扁平化,每种类型都可以转化为一个纯粹的命题。有趣的是,后者可以向下扩展一步,只在命题下面:类型\(a\)是可收缩的如果存在\(a:a\),那么\(a=x\)代表所有\(x:a\。或者,在拓扑术语中,类型可以连续减少为一个点。
事实上,在HoTT中引入集合、纯粹命题和可收缩类型有一个内在动机:因为每种类型本身都有一个更高的同伦结构,当这种结构是非平凡的时,它很重要。这在类型等价的情况下尤其重要。事实上,将等价物定义为准逆的明显方式并不令人满意,因为说(f)是准逆的谓词不仅仅是一个命题。第4章对这个问题进行了分析,并提出了一些解决方案。这里的关键点是,(g)与(f)哪个是准逆的很重要,而当目的是说(f)是等价的时候,就不应该这样了:等价的类型仅仅是一个命题,确保关于(f)作为等价的信息都包含在(f)中。然而,尽管在逻辑上等价于拟逆,但也有其他等价定义(半伴随等价、双不可逆映射、可压缩映射),它们只构成命题。这些替代定义的一个结果是,单价意味着函数扩展性。
第5章讨论归纳类型。类型理论的标准方法,即使用提供归纳原理和递归规则的W类型来执行实际计算,在HoTT中仍然有效,但出现了一种新的可能性:同伦归纳类型,其中所有计算规则都表示为一条路径。本章的新颖之处在于,身份类型可以被视为归纳,它们的归纳原理正是路径归纳。
归纳类型只是HoTT中可以生成的最简单的类型:它们的构造函数生成点。但有可能构想出更高的归纳定义,其中点是与它们之间的路径一起生成的,甚至还有更高的同伦结构。例如,表示\(1)-球体的类型\(\mathbb{S}^1)由基点\(b:\mathbb{S}^1)和循环\(l:b=b\)生成。更高的归纳类型是第6章的主题。区间、悬浮、圆和球体、细胞复合体和其他拓扑对象是按照高等归纳法的一般模式定义的。有趣的是,这些类型中的许多可以表示为同伦推出,这表明更高的归纳类型是HoTT分类呈现的内在副产品。事实证明了这一点截断事实上,将任何类型扁平化为纯粹命题的基本操作是更高的归纳定义。反过来,截断的广义版本会产生商。将这些构造应用到代数中,很明显可以在HoTT中完全重建通常代数理论的构造版本。因此,较高的归纳类型大大加强了建构集理论。将更高的归纳类型与单价结合起来会产生许多惊人的结果:第一个是“平坦引理”。给定宇宙中的一个类型\(X\)(\mathcal{U}\)和一个等价的\(e:X\simeqX\),可以通过将基点映射到\(X~),将循环映射到\。因此,展平引理表示空间(sum_{x:mathbb{S}^1}P(x))等价于展平的更高归纳类型,其构造器可以从(mathbb}S}^1)的构造器和(P)的定义中推导出来。它也适用于除\(mathbb{S}^1)之外的一般归纳类型。
HoTT的基本介绍在第7章中结束,其中,精确定义和分析了(n)类型,即在维(n)上不包含有趣的同伦结构的空间,以及它们的对偶概念,(n)连通空间,即在维度(n)下不包含重要的同伦结构的空间。通过将这些概念扩展到映射,也就是说,通过要求映射中所有光纤的属性都保持不变,一个正交因子分解系统出现了:每个映射因子都是唯一的,分别作为一个连通映射和一个截断映射。当\(n=-1\)时,这可以简化为说集合之间的每个映射都可以分解为一个surpjection,然后再进行注入。通过使用模式可以取得更普遍的结果。
毫不奇怪,HoTT的第一个应用是同伦理论(第8章),它是代数拓扑的一个分支。HoTT允许采用综合方法,因为空间、点、路径和同伦是基本概念。作者声称HoTT为同伦理论的研究提供了许多优势:该方法既具体又抽象,自然地将基本拓扑概念与(infty)-群胚的抽象理论结合起来;新的类型论方法变得可用,如路径归纳和更高归纳类型的普遍性质;这些定理及其证明非常适合计算机形式化和检查。
这些主张得到了一系列广泛的结果的支持:通过Hopf fibration和长精确序列计算球面的一些同伦群,即(pi_k(mathbb{S}^1),(pi_k(mathbb{S}^n)for(k<n),(\pi_2(mathbb2),和(\pi_3(mathba{S}2)),和悬挂定理;范坎彭定理和怀特海原理的地位;Blakers-Massey定理;艾伦伯格-Mac车道空间的建设;计算(n\geq3)的\(\pi_{n+1}(\mathbb{S}^n)\)。
HoTT的第二个应用是范畴理论,如第9章所示。其思想是将一个前类别定义为对象的类型\(a_0),并为每个\(x,y:a_0\)定义一个类型\(mathsf{角}_A(x,y)\)以及遵循通常约束的恒等式和合成。通过强制执行\(\mathsf{角}_A(x,y)是一个集合,在HoTT的技术意义上,注意力仅限于(1)个类别;通过要求\(A0\)也是一个集合,严格范畴的概念得以实施;最后,通过用前范畴中从(x)到(y)的同构类型来标识类型(x={A0}y),构造了一个常见范畴的类型理论版本。值得注意的是,一个前范畴成为一个范畴的条件是如何成为一个广义单价原则的实例。
本章说明了如何利用这些概念在HoTT中构建范畴理论:定义并分析了函子、自然变换、附加词和等价词;证明了Yoneda引理成立;最后,提出了所谓的Rezk补全,它提供了一种通用的方法来用一个类别替换一个前类别-Rezk补全对应于更高拓扑模型中的堆栈补全。
第10章说明了集合论是如何在HoTT内部呈现的。如前所述,集合是一种除了点之外没有同伦结构的类型:在某些固定宇宙中的集合形成了一个范畴,在HoTT意义上,其箭头是它们之间的映射。实际上,这样一个范畴是拓扑的表语概念a(\Pi W\)-preptopos;假设命题重设,它成为一个基本拓扑;此外,假设选择公理和排除中间律,它成为Lawvere关于集合范畴的初等理论的一个模型,从而确保HoTT中的集合与大多数数学家使用的集合相似。
在集合的类别中,本书介绍了基数和序数,并用单价构造它们,而不是使用全局隶属关系。事实证明,假设选择公理和排除中间,基数和序数等同于它们的经典对应项,但具有更“结构化”的观点。
最后,将给定宇宙中所有集合的累积层次结构构造为更高的归纳类型,这样该层次结构又是更大宇宙中的集合,并且对于较小宇宙中的所有集合都存在全局隶属关系,这符合集合论的通常定律。
本书的最后一章定义了HoTT中的实数。在构造数学的传统中,实数要么通过完成柯西序列,要么通过在Dedekind割下要求闭包来形式化。在HoTT中,作为这一传统的一部分,这两种可能性都是可用的:事实上,这一章展示了如何使用HoTT执行这两种构造。特别有趣的是Cauchy reals的构造,因为它们被定义为一种更高的归纳类型,既不需要幂集也不需要可数选择。
在HoTT中,Dedekind实域被描述为最终的阿基米德有序域,而Cauchy实域是初始的Cauchy-complete阿基米德有序域。比较reals的两种结构,可以得出Cauchy reals包含在Dedekind reals中,如果排除中间选择或可数选择成立,则它们是一致的。
没有假设排除中间值或选择公理(或变体),HoTT中的实数理论在计算上具有重要意义。在这个框架中,分析了区间([0,1]\)的紧性:证明了([0,1])是度量紧的;但每个序列都有一个收敛子序列的Bolzano-Weierstrass性质需要全知的有限原则,即排除中间的一个例子;天真的Heine-Borel紧性不成立,但归纳覆盖的证明相关概念成立。本章以康威的超现实数字作为一种更高的归纳类型的建构结束。
读者可以从书中对主要创新之处的上述总结中看到,HoTT是一个丰富的基础理论,是学习数学的精良工具。书中的大量新思想以及随后从不同角度重新审视众所周知的结果表明,这本书最终将成为那些对这种方法感兴趣的人的参考。
令人好奇的是,值得注意的是,这本书的出版是由露露出版社(Lulu press)完成的,这是一个自我出版系统,超出了通常的学术出版物的范围:可能是为了让大多数读者可以免费获得电子版,而印刷版的成本也可以承受。

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