帕斯卡·海德;托马斯·威勒。 变分问题的自适应局部极小极大Galerkin方法。 （英语） Zbl 1481.65225号 SIAM J.科学。计算。 43，编号2，A1108-A1133（2021）. 本文提出了一种求解具有多个鞍点解的非线性变分问题的迭代离散化方法。与在这种情况下通常会失败的传统数值近似方案相比，当前工作的关键思想是采用先前开发的局部极小极大方法和自适应Galerkin离散化同时相互作用。作者导出了一种自适应局部极小极大Galerkin方法，该方法将鞍点解的搜索及其在有限维空间中的逼近有效地结合起来。在一定的假设下，证明了生成的近似解序列收敛于变分问题的解集。将该通用框架应用于（奇摄动）半线性椭圆边值问题的有限元离散化的特定背景，并进行了一系列数值实验。审核人：维特·多莱西（普拉哈） 引用于2文件 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65牛顿50 涉及偏微分方程的边值问题的网格生成、精化和自适应方法 35甲15 偏微分方程的变分方法 35B38码 偏微分方程中泛函的临界点（例如，能量泛函） 35B25型 偏微分方程背景下的奇异摄动 35J91型 具有拉普拉斯、双拉普拉斯或多拉普拉斯的半线性椭圆方程 47J25型 涉及非线性算子的迭代程序 49J35型 极小极大问题解的存在性 49平方米25 最优控制中的离散逼近 58E05型 无穷维空间中的抽象临界点理论（莫尔斯理论、Lyusternik-Shnirel’man理论等） 58E30型 无穷维空间中的变分原理 65J15年 非线性算子方程的数值解 关键词：变分问题;临界点理论;山路算法;迭代伽辽金离散化;自适应网格细化;奇异摄动半线性椭圆偏微分方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛P.Heid｝和\textit｛T.P.Wihler｝，SIAM J.科学。计算。43，编号2，A1108--A1133（2021；Zbl 1481.65225） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] S.Agmon，Dirichlet问题的（L_p）方法。I.正则性定理，Ann.Scuola范数。主管比萨Cl.Sci。（3） ，13（1959），第405-448页·Zbl 0093.10601号 [2] A.Ambrosetti和P.H.Rabinowitz，临界点理论和应用中的对偶变分方法，J.Funct。分析。，14（1973），第349-381页·Zbl 0273.49063号 [3] M.Amrein和T.P.Wihler，基于动力系统方法的自适应牛顿法，Commun。非线性科学。数字。模拟。，19（2014），第2958-2973页·Zbl 1510.65104号 [4] M.Amrein和T.P.Wihler，半线性椭圆偏微分方程的完全自适应Newton-Galerkin方法，SIAM J.Sci。计算。，37（2015），第A1637-A1657页，https://doi.org/10.1137/10983537。 ·Zbl 1320.65165号 [5] G.Barles和J.Burdeau，半线性二阶退化椭圆方程的Dirichlet问题及其在随机退出时间控制问题中的应用，Comm.偏微分方程，20（1995），pp.129-178·Zbl 0826.35038号 [6] H.Berestycki和P.-L.狮子，非线性标量场方程。I.基态的存在，Arch。理性力学。分析。，82（1983年），第313-345页·Zbl 0533.35029号 [7] C.Bernardi、J.Dakroub、G.Mansour和T.Sayah，非线性问题迭代算法的后验分析，J.Sci。计算。，65（2015），第672-697页·兹比尔1331.65152 [8] B.Breuer、P.J.McKenna和M.Plum，半线性边值问题的多重解：计算多重性证明，《微分方程》，195（2003），第243-269页，https://doi.org/10.1016/S0022-0396(03)00186-4. ·Zbl 1156.35359号 [9] R.S.Cantrell和C.Cosner，《反应扩散方程的空间生态学》，Wiley Ser。数学。计算。《生物学》，约翰·威利父子公司，英国奇切斯特，2003年·Zbl 1059.92051号 [10] Y.S.Choi和P.J.McKenna，半线性椭圆问题数值解的山路方法，非线性分析。，20（1993），第417-437页，https://doi.org/10.1016/0362-546X（93）90147-K·Zbl 0779.35032号 [11] P.G.Ciarlet，椭圆问题的有限元方法，经典应用。数学。40，SIAM，费城，2002年，https://doi.org/10.1137/1.9780898719208。 ·Zbl 0999.65129号 [12] S.Congreve和T.P.Wihler，强单调问题的迭代Galerkin离散，J.Compute。申请。数学。，311（2017），第457-472页·Zbl 1352.65487号 [13] D.G.Costa、Z.Ding和J.M.Neuberger，对称域上超线性椭圆方程符号变换解的数值研究，J.Compute。申请。数学。，131（2001），第299-319页，https://doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00266-1. ·兹伯利0986.65112 [14] Z.Ding，D.Costa，and G.Chen，半线性椭圆方程符号变换解的高链接算法，非线性分析。，38（1999），第151-172页，https://doi.org/10.1016/S0362-546X(98)00086-8. ·兹伯利0941.35023 [15] W.Do¨rfler，泊松方程的收敛自适应算法，SIAM J.Numer。分析。，33（1996年），第1106-1124页·Zbl 0854.65090号 [16] L.Edelstein-Keshet，生物数学模型，经典应用。数学。46，SIAM，费城，2005年，https://doi.org/10.1137/1.9780898719147。 ·Zbl 1100.92001 [17] L.El Alaoui、A.Ern和M.Vohraliкk，单调非线性问题的保后验误差估计和平衡离散化和线性化误差，计算。方法应用。机械。工程，200（2011），第2782-2795页，https://doi.org/10.1016/j.cma.2010.03.024。 ·Zbl 1230.65118号 [18] A.Ern和M.Vohraliök，非线性扩散偏微分方程的自适应不精确牛顿方法（带后验停止准则），SIAM J.Sci。计算。，35（2013），第A1761-A1791页，https://doi.org/10.1137/120896918。 ·Zbl 1362.65056号 [19] A.Friedman主编，《数学生物科学教程》。四、 数学课堂笔记。1922年，柏林施普林格，2008年。 [20] G.Gantner、A.Haberl、D.Praetorius和B.Stiftner，非线性算子不精确解算器的速率最优自适应FEM，IMA J.Numer。分析。，38（2018），第1797-1831页·Zbl 1477.65212号 [21] E.M.Garau、P.Morin和C.Zuppa，拟线性问题自适应Kačanov有限元法的收敛性，应用。数字。数学。，61（2011），第512-529页·Zbl 1211.65154号 [22] P.Heid，B.Stamm和T.P.Wihler，Gross-Pitaevskii方程基于能量自适应的梯度流有限元离散化，预印本，https://arxiv.org/abs/1906.06954v1, 2019. 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