Jan Goedgebeur;芭芭拉·密尔斯曼;卡萝·T·赞菲列斯库。 具有很少哈密顿圈的图。 （英语） Zbl 1429.05114号 数学。计算。 89，第322号，965-991（2020）. 摘要：我们描述了具有给定数量的哈密顿圈的非同构图的穷举生成算法，该算法对于小的哈密尔顿圈特别有效。我们的主要发现，将该算法和现有算法的应用与新的理论结果相结合，围绕着正好包含一个哈密顿圈（1H）或正好包含三个哈密尔顿圈（3H）的图展开。受Smith的经典结果激励[参见[W.T.塔特，J.Lond。数学。《社会学杂志》21、98–101（1946年；Zbl 0061.41306号)])以及Royle最近的工作，我们证明了存在几乎三次1H阶图，即（n）iff（n）ge18是偶数。这给出了定理的最强形式R.C.恩林格和H.斯瓦特[J.Comb.Theory，序列B 29303-309（1980；Zbl 0387.05017号)]，并阐明了一个问题H.弗莱什纳[J.图论75，No.2，167-177（2014；Zbl 1280.05074号)]最初结算人B.Seamone公司[讨论.数学，图论35，第2期，207-214（2015；Zbl 1311.05104号)]. 我们证明了猜想的等价公式J.A.邦迪和B.杰克逊[J.Comb.Theory，Ser.B 74，No.2，265-275（1998；Zbl 1026.05071号)]每个平面1H图都包含两个2次顶点，验证它直到16阶，并表明它的复曲面模拟不成立。我们讨论了Thomassen的猜想，即每个最小度的哈密顿图至少（3）都包含一条边，使得它的删除和收缩都会产生哈密尔顿图。我们还验证了直到21阶的猜想J.希恩[J.图论1，37–43（1977；Zbl 0359.05026号)]不存在4-正则1H图。扩展的工作A.J.Schwenk先生[J.Comb.Theory，Ser.B 47，No.1，53-59（1989；Zbl 0626.05038号)]，我们描述了三次3H无三角图存在的所有阶。我们验证了高阶Cantoni的猜想，即每个平面三次3H图都包含一个三角形，并证明了存在无穷多个正四个哈密顿圈的平面循环四边连通三次图，从而回答了广义Petersen图的一个问题G.L.恰和C.托马森[Ars Comb.104、307–320（2012年；Zbl 1274.05254号)]. 最后，补充J.Sheehan[loc.cit.]关于最大尺寸1H图的工作，我们确定了恰好包含一条哈密顿路径的图的最大尺寸，并给出了每阶（n）顶点上和最大尺寸上此类图的确切数量。 引用于7文件 数学溢出问题： 最小度至少为3的最小唯一哈密顿图是什么？ MSC公司： 05C45号 欧拉图和哈密顿图 05年10月 平面图；图论的几何和拓扑方面 05C85号 图形算法（图形理论方面） 05C38号 路径和循环 关键词：哈密顿循环;唯一哈密顿量;唯一可追踪的;Bondy-Jackson猜想;三次图;周长;穷举生成 引文：Zbl 0061.41306号;Zbl 0387.05017号;Zbl 1280.05074号;Zbl 1311.05104号;Zbl 1026.05071号;Zbl 0359.05026号;Zbl 0626.05038号;Zbl 1274.05254号 软件：组织环境信息系统;踪迹;图表之家;GENREG公司;植物;鹦鹉螺;斯伦克亨特;生成UHG;数学溢出 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Goedgebeur}等人，《数学》。计算。89，编号322，965--991（2020；Zbl 1429.05114） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 具有2n个节点的三次哈密顿图的数目。 具有n个节点的哈密顿图的数量。 具有n个节点的连通非哈密顿图的数目。 2n个节点上的单连通三次非哈密顿图的个数。 具有n个节点的非哈密顿图的数量。 恰好有一个哈密顿圈的n阶图的数目。 恰好有一个哈密顿圈的n阶平面图的个数。 参考文献： [1] 阿巴斯，萨尔马德；Jamshed，Asif，唯一哈密顿图的度约束，图组合，22，4，433-442（2006）·Zbl 1118.05055号 ·doi:10.1007/s00373-006-0666-z [2] 柯蒂斯·A·赤脚。；Entringer，R.C.，《最大唯一哈密顿图的普查》，《图论》，5，3，315-321（1981）·Zbl 0462.05045号 ·doi:10.1002/jgt.3190050313 [3] 克劳德·伯奇（Claude Berge），《图和超图》（Graphs and Hypergraphs），第xiv+528页（1973年），北荷兰德出版公司，阿姆斯特丹-隆登出版社；美国爱思唯尔出版有限公司，纽约·Zbl 0254.05101号 [4] 邦迪，J.A。；Jackson，Bill，《唯一哈密顿图中的小度顶点》，J.Combin。B、 74、2、265-275（1998）·Zbl 1026.05071号 ·doi:10.1006/jctb.1998.1845 [5] 约翰·博伊尔（John M.Boyer）。；Myrvold，Wendy J.，《关于切割边：通过边加法简化（O（n））平面度》，《图形算法应用》。，8, 3, 241-273 (2004) ·Zbl 1086.05067号 ·doi:10.7155/jgaa.00091 [6] 冈纳·布林克曼；克里斯·库萨特（Kris Coolsaet）；Goedgebeur，Jan；M\'{e} 地段哈德里安，《图形之家：有趣图形的数据库》，《离散应用》。数学。，161, 1-2, 311-314 (2013) ·Zbl 1292.05254号 ·doi:10.1016/j.dam.2012.07.018 [7] 冈纳·布林克曼；Goedgebeur，Jan，《大围长三次图和陷阱的生成》，《图论》，86，2，255-272（2017）·Zbl 1370.05198号 ·doi:10.1002/jgt.22125 [8] 冈纳·布林克曼；Goedgebeur，Jan；McKay，Brendan D.，立体图的生成，离散数学。西奥。计算。科学。，13, 2, 69-79 (2011) ·Zbl 1283.05256号 [9] 冈纳·布林克曼；Brendan D.McKay，平面图的快速生成，MATCH Commun。数学。计算。化学。，58, 2, 323-357 (2007) ·Zbl 1164.68025号 [10] Chia，Gek L。；Thomassen，Carsten，《关于三次图中最长和几乎最长的圈数》，Ars Combin.，104，307-320（2012）·Zbl 1274.05254号 [11] Chia，G.L。；于庆林，关于三次图的Hamilton圈数，丛。数字。。第二十六届东南部组合数学、图论和计算国际会议论文集（佛罗里达州博卡拉顿，1995年），110，13-32（1995年）·Zbl 0904.05043号 [12] 恩林格，R.C。；Swart，Henda，《几乎三次图的生成圈》，J.Combin。B、 29、3、303-309（1980）·Zbl 0387.05017号 ·doi:10.1016/0095-8956（80）90087-8 [13] Fleischner，Herbert，最小度为4的唯一哈密顿图，图论，75，2，167-177（2014）·Zbl 1280.05074号 ·doi:10.1002/jgt.21729 [14] 托马斯·乔治·福勒，《平面图的独特着色》，191页（1998年），ProQuest LLC，密歇根州安阿伯 [15] genUHG网站J.Goedgebeur、B.Meersman和C.T.Zamfirescu，genhypohamiltonian主页：http://caagt.ugent.be/uhg/。 [16] grinberg1986three E.Grinberg，《恰好有一个哈密顿圈的三连通图》（俄语），共和党算法与程序基金会。苏联里加P.Stutschka大学计算中心，1986年。 [17] 佩妮·哈塞尔；Seamone，Ben；Verstraete，Jacques，《独立支配集与哈密顿圈》，《图论》，54，3，233-244（2007）·Zbl 1112.05077号 ·doi:10.1002/jgt.20205 [18] Haythorpe，M.，关于正则图中哈密顿圈的最小个数，实验数学。，27, 4, 426-430 (2018) ·Zbl 1403.05082号 ·doi:10.1080/10586458.2017.1306813 [19] 德里克·霍尔顿（Derek Holton）；Aldred，Robert E.L.，平面图，正则图，二部图和哈密顿性，澳大利亚。《联合杂志》，20，111-131（1999）·Zbl 0931.05046号 [20] nauty网站B.D.McKay，nauty用户指南（2.5版）。技术报告TR-CS-90-02，澳大利亚国立大学计算机科学系。最新版本的软件位于http://cs.anu.edu.au/bdm/nauty。 [21] McKay，Brendan D.，无同构穷举生成，J.算法，26，2，306-324（1998）·Zbl 0894.68107号 ·doi:10.1006/jagm.1997.0898 [22] Brendan D.McKay。；佩佩诺，阿道夫，实用图同构，II，J.符号计算。，6094-112（2014）·Zbl 1394.05079号 ·doi:10.1016/j.jsc.2013.09003 [23] 梅林格，马库斯，正则图的快速生成和笼的构造，图论，30，2，137-146（1999）·Zbl 0918.05062号 ·doi:10.1002/（SICI）1097-0118（199902）30:\（2 [24] 朱利叶斯·彼得森，《统治理论》{a} 任图表，数学学报。，15, 1, 193-220 (1891) ·doi:10.1007/BF02392606 [25] Pivotto 2019 I.Pivotto和G.Royle，具有很少或很多Hamilton圈的高连通平面三次图，https://arxiv.org/abs/1901.10683。 ·Zbl 1422.05059号 [26] Ro17 G.F.Royle，最小度至少为3的最小唯一哈密顿图，https://mathoverflow.net/questions/255784/what-is-the-smallest-uniquely-hamiltonian-graph-with-minimu-degee-at-least-3/, 2017. 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