莱昂德罗·卡尼格里亚;安德烈·加里戈;乔斯·海因茨 任意特征场上Nullstellensatz中度的指数简单界。（出生于奎尔康克卡拉特斯克兵团，是一只简单的exponentielle pour les degrés dans le theéorème des zéros sur un corps de caractéristique quelconque。） （法语） 兹比尔0686.14001 C.R.学院。科学。，巴黎，Sér。我 307，第6号，255-258（1988）. 作者证明了以下定理：“设（P_i），（1\leqi\leqs）是域k上（n四元变量）的次多项式。如果（P_i\）的s生成单位理想，写下\（总和P_iQ_i=1\），并让\（N\）是\（P_iQ_i\）的最大次数的最小值，其中\（Q_i\的满足上述关系。设（F_i）是（P_i）的同质化。如果（部分）是（V（F_1，…，F_s））（in（{mathbb{P}}^n））和（P）深度（V（F1，…，F _s）[见下文：审阅者注释]）的余维，则（n）和（2s=（n+1-P）^2-\partial^2+（n+1-P）+\partial）通过以下方式获得了一个更简单的估计J.Kollár[美国数学学会第一卷第4期，963–975页（1988年；Zbl 0682.14001号)].审稿人很难理解论文中的论点。对其中一位作者的询问得到了以下答复：“……我承认我们的符号不明确，必须更改。然而，这一点必须更准确地解决”。修订后的审查(Zbl 0968.14002号)这篇发表于1988年5月的研究报告提供了作者更全面的论文“计算几何中的一些新的有效边界”中包含的主要结果之一的节略版本[卡尼利亚乳杆菌,A.加利戈和J.海因茨in：应用代数、代数算法和纠错代码，Proc。第六届国际会议AAECC-6，罗马，1988年，法律。注释计算。科学。357, 131–151 (1989;Zbl 0685.68044号)]. 另一方面，自1987年初以来，后一篇更为详尽的文章已作为预印本分发，并在同年晚些时候提交后被《会议记录》接受。被授予“最佳论文奖”的上述综合性文章随后出现在会议记录中鉴于这一历史背景，审查中的研究报告必须被视为上述会议文件的先兆，该文件之前已提交，但之后才发表。现在，就内容而言，作者对以下有关Hilbert的Nullstellensatz的经典问题作出了重大贡献：设（f_1，dots，fs）是代数闭域（K）上变量的多项式。然后，如果这些多项式在（K^n）中没有公共零点，Hilbert的Nullstellensatz声明存在多项式（g_1，dots，g_s），使得（sum^s_{i=1}f_i\cdot g_i=1）。然而，Hilbert的Nullstellensatz的通常证明并没有提供关于这些多项式的任何信息。特别是，它们没有给出此类多项式次数的任何有效界。1926年，格雷特·赫尔曼（Grete Hermann）首次解决了确定这样一个有效的、可能很尖锐的界限的经典问题[参见：G.赫尔曼“多项式理论中的Die Frage der endlich vielen Schritte”，数学。Ann.95，736–788（1926；格式52.0127.01)]. 利用消去理论，她获得了多项式次数（g_i）的一个界，即变量数（n）的双指数，她的结果是近六十年来最尖锐的。然后通过以下方式实现了决定性突破W.D.布朗纳威尔1987年[Ann.Math.（2）126577-592（1987；Zbl 0641.14001号)]，他证明了在复数域的情况下，有一个更简单的界\[\度（g_i）\leq n \ cdot \ min（s，n）\ cdot D^{\ min（s，n）}+\ min（秒，n）\cdot D，\；1 \leq i \leq s，\]无论何时（deg（f_i）\leq D\）和（sum^s_{i=1}f_i\cdot g_i=1\）。Brownawell的结果（特征零点）基于超越数论的方法和H.Skoda（1972）在这方面的深层结果。在Brownawell在特征零情况下取得突破后不久发表的本论文提供了又一个重大进展，这一次是在地面场任意特征的一般情况下。主要结果表明，如果（N）表示多项式次数（f_i\cdot g_i）、（1\leqi\leqs）的最大值的最小值，则（N\leqD^{N（N+3）/2}）。与Brownawell在特征零情况下的界（可以读作\（N\leq3n^2\cdotD^N\）相比，作者的界在变量数量上仍然是双指数的，但它只是在任意特征中有效，并且比当时发表的任何（精细的）Hermann型界都强一些。作者的新界是通过在齐次多项式环中专门使用初等理想理论获得的，即，除了新界的更高有效性之外，他们在一般情况下处理问题的方法的主要优点之一。此外，作者似乎推导出了用最基本的纯理想理论方法可以达到的最佳可能界限。大约在同一时间，1988年5月初，由J.Kollár【《美国数学学会杂志》第1卷第4期，963–975页（1988年；Zbl 0682.14001号)]已提交发布。在本文中，J.Kollár给出了多项式次数（g_i），（1）的另一个界，它甚至改进和推广了Brownawell的简单指数界到任意特征，本质上是通过从Brownawel的界中去掉因子（n，k）。在大多数情况下，J.Kollár的界确实给出了最佳的可能结果。Kollár的强结果也是通过“几乎基本的”方法获得的，其中唯一的非标准成分是由投影变种的一些基本局部（层）上同调给出的。总之，尽管J.Kollár的独立性更强，但作者在审查中的研究报告中提出的方法，以及在上述引用的其他论文中充分阐述的方法，本身仍然很有趣。也就是说，它不仅在这方面展示了初等计算代数方法的惊人威力，而且在代数几何复杂性理论这一经典学科的历史发展中也获得了相当的地位。审核人：N.穆罕·库马尔 引用于16文件 理学硕士： 14A05号 相关交换代数 13层20 多项式环和理想；整值多项式环 关键词：以Nullstellensatz的学位为准 引文：Zbl 0685.68044号;Zbl 0641.14001号;Zbl 0682.14001号;JFM 52.0127.01号文件;Zbl 0968.14002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Caniglia}等人，C.R.Acad。科学。，巴黎，Sér。I 307，编号6，255--258（1988；Zbl 0686.14001）