保罗·杜普伊斯;理查德·S·埃利斯。 大偏差理论的弱收敛方法。 （英语） Zbl 0904.60001号 概率统计中的威利级数奇切斯特：John Wiley&Sons。第十八章，第479页（1997年）。 本书通过使用控制理论和弱收敛的思想和结果，提出了一种大偏差理论的新方法。基本设置是一个随机变量序列，其值位于波兰语空间（{mathcal X}）中。如果\[\开始{aligned}\liminf{1\over n}\log P[X^n\in G]\geq-I（G）\quad&\text{表示}{\mathcal X}的所有开放子集\。\结束{对齐}\]序列（X^n）满足拉普拉斯原理（LP）和速率函数（I），如果\[\lim_{n\to\infty}W^n:=lim__{n\to \infty}{1\over n}\log E[E^{-nh（X^n）}]=-\inf_{X\in{mathcal X}}（h（X）+I（X））\]（{mathcal X}）上的所有有界连续函数。第一个关键结果是，具有\（I\）的LDP等价于具有\（I\）的LP，因此可以研究\（（W^n）\）的渐近性，从而通过LP获得LDP。第二个成分是（{mathcal X}）上任何有界可测函数（k）和任何概率测度（vartheta）的下列经典变分公式：\[-\log\int_{mathcal X}e^{-k}d\vartheta=\inf\Biggl\{H（\gamma\mid\vartheta）+\int_{\mathcal X}kd\gamma\Biggl|\gamma\text{概率测度，\]其中，\（H（\gamma\mid\vartheta）\）表示\（\gama \）相对于\（\vartheta \）的相对熵。本书中提出的方法的思想如下：1）使用变分公式重写（W^n），并获得（W^n\）的表达式，例如（*）。2） 重写\（*）\）中下确界下的结果表达式，使\（*。这一步与问题有关，并在第4章中通过示例进行了更详细的解释。3） 从\（**）\）中读取相应的控制问题；则\（W^n\）可以看作这个控制问题的值函数。4） 为了获得关于（W^n）的渐近行为的信息，使用弱收敛技术分析步骤3）中的控制问题序列。在第二章和第三章中，通过考虑大偏差理论中两个常见的例子，详细说明了该程序：第二章中的萨诺夫定理和第三章中的莫古尔斯基定理。这里的目标不是提供新的结果，而是解释方法是如何工作的，以便在后面的章节中为更一般的情况做准备。本书的其余部分将介绍两大类示例，它们概括了上述两种情况。I类是一个形式为\（Y^n_{j+1}=Y^n_2+{1\over n}v_j（Y^n_j）\）的随机游动模型，其中\（v_j（x）\）for \（j=0,1,2，\dots\）and \（x\in\mathbb{R}^d\）是I.I.d.具有分布\（\mu（\cdot\mid x）\的随机\（\mathbb{R}^d）值函数\（X^n\）是\（Y^n_j）的\（[0,1]\）上的分段线性插值。如果\（\mu（\cdot\mid x）\）不依赖于\（x），那么这只是莫古尔斯基定理的基础模型。第5章至第7章证明了拉普拉斯原理适用于更一般的情况，其中\（\mu（\cdot\mid x）\）可以依赖于\（x）。第5章包含预备结果，第6章考虑了\（\mu（\cdot\mid x）\）在\（x）中连续的情况。第7章将其扩展到了这样一种情况，即\（\mu（\cdot\mid x）\）仅在\（\mathbb{R}^d \）的两个半空间中的每一个上连续；这为不连续介质中的随机运动模型提供了大偏差结果。最后，第10章给出了该模型的连续时间版本的LP。第二类示例从马尔可夫链（（Y_j））开始，其值位于某些波兰空间（{mathcal S}）和平稳转移概率。在这种情况下，（X^n）由经验测度给出（X^n:={1\overnn}\sum^{n-1}{j=0}\delta{Y_j}）。对于\（Y_j\）是i.i.d.的情况，这就是萨诺夫定理的情况。第8章和第9章证明了拉普拉斯原理适用于更一般的马尔科夫情形；第8章是在Feller转移概率函数的经典（Donsker/Varadhan）假设下进行的，第9章包含两个扩展（Feller性质的减弱；（{mathcal S}）上概率测度集上的强拓扑）。总的来说，这是一种有趣且有前途的证明大偏差结果的新方法。这本书技术性很强（共有五个附录，涵盖近100页），但写作和呈现都非常仔细，结果之间的评论有助于理解关键思想。看看这种方法在多大程度上可以扩展现有大偏差理论的范围，这将是一件有趣的事情。审核人：M.Schweizer（柏林） 引用于10评论引用于385文件 MSC公司： 60-02 概率论相关研究综述（专著、调查文章） 60F05型 中心极限和其他弱定理 60层10 大偏差 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Dupuis}和\textit{R.S.Ellis}，大偏差理论的弱收敛方法。奇切斯特：约翰·威利父子公司（1997；Zbl 0904.60001）