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皮埃尔·迪林；尤瓦尔·Z·弗利克。

计算具有主单幂局部单值性的局部系统。 （英语） Zbl 1284.14026号

安。数学。(2) 178，第3期，921-982（2013）.
设（X_1）是有限域上的光滑几何连通射影曲线{F} （_q）\). 设（S_1\subsetq X_1）是由闭点组成的约化除数。将\（\mathbb{F}\）设置为\（\mathbb）的代数闭包{F} （_q）\). 设（（X，S）：=（X_1，S_1）otimes_{mathbb{F} （_q）}\mathbb{F}，（l）一个不除（q）的素数。在\（\bar｛\mathbb｛Q｝｝_l\）-lisse槽轮的范畴和\（\pi_1^｛\text｛ét｝｝（X-S，X）\）的连续有限维\（\bar｛\mathbb｛Q｝｝_l\）表示的范畴之间存在类的等价性，其中\（X\in（X-S）（\mathbb｛F｝）\）是等价函子所依赖的几何点。由于\（X-S \）是通过碱基改变从\（X_1-S_1\）获得的，Galois群\（{text{Gal}}（\mathbb{F}/\mathbb{F} （_q）)\)作用于方案\（X-S \），从而作用于\（\bar{mathbb{Q}}_l\）-lisse带轮的同构类集，或等效于通过结构传输作用于连续有限维\（\bar{mathbb{Q}{_l~）-表示\（\pi_1^{text{ét}}（X-S，X）\）的同构类集。有几种等效的方法来描述此操作。一种方法是观察基本群的基本精确序列\[1到\pi_1^{\text{ét}}（X-S，X）到\pi_1_{\text}}{F} （_q）)\至1。\]对于{\text{Gal}}（\mathbb{F}/\mathbb）中的任何\（\sigma\{F} （_q）)\)我们选择一个元素（φ{-1}（\sigma）中的τ），然后对于任何连续的有限维表示（\rho:\pi_1^{\text{ét}}（X-S，X）to \text{GL}（V）），我们有（\simma（\rho）=（g\mapsto\rho（\tau^｛-1｝克\tau））\）表示所有\（g\in\pi_1^{\text{ét}}（X-S，X）\）。作为\（{\text{Gal}}（\mathbb{F}/\mathbb）的动作{F} （_q）)\)在上同构类对于\（\bar{\mathbb{Q}}_l\）-lisse滑轮，如此定义的动作并不取决于元素\（{tau\ in \phi^{-1}（\sigma）}\）的选择。设\（F_1\）为\（X_1\），\（F=F_1\otimes_{\mathbb的分数域{F} （_q）}\mathbb{F}\）是\（X\），\（s\）的分数字段。然后，在（s）上方选择一个位置（\bar{s}）来定义一个惯性群（I_s\subset{text{Gal}}（\bar}/F））。据说一个\（\bar｛\mathbb｛Q｝｝_l\）-lisse sheaf具有“\（s\）处的主单幂局部单值性“如果组成\（I_s子集{\text{Gal}}（\bar{F}/F）\twoheadrightarrow\pi_1^{\text}}{Z} _l（l）\))的\（I_s\），元素\（I_s\），图像\（a\）位于\（\mathbb{Z} _l（l）\)作用于\（V\）作为经验\（（aN）\），其中\（N\）是一个Jordan块的幂零。设（mathcal{T}^{（n）}（X，S））是（X-S）上秩为（n）不可约的（bar{mathbb{Q}}_l）-光滑带轮的同构类的集合，在S中的每个（S）上有主单幂局部单值\（mathcal{T}^{（n）}（X，S））作为\（\bar{mathbb{Q}}_l\）-lisse带的同构类的子集，在\（{text{Gal}}（\mathbb}F}/\mathbb）下是稳定的{F} （_q）)\)-行动。设\（T（X_1，S_1，n）\）表示几何Frobenius（\ text{Frob}\ in{text{Gal}}（\ mathbb{F}/\ mathbb）中\（\ mathcal{T}^{（n）}（X，S）\）的不动点数{F} （_q）)\). 对于每个\（m\geq 1），让\（（X_m，S_m）：=（X_1，S_1）\otimes_{\mathbb{F} （_q）}\马特布{F}（F）_{q^m}\），则\（T（X_1，S_1，n，m）：=T（X_m，S_m，n）\），其中\（（X_m，S_m）\）被视为\（\mathbb上的一对{F}（F）_{q^m}\）。
本文的目的是给出数字（T（X_1，S_1，n，m））的计算。它从（T（X_1，S_1，n）的公式开始，假设（n）和（n_1）是（geq 2），用（n_1\），（n），（q），S_1中（S）的度数（deg（S）和多项式的系数（f（T）：=det（1-\text{Frob}\cdott，H^1（X））），其中hbb{f}/\mathbb{F} （_q）)\)通过结构的输运作用于基上同调群（H^1（X））。然而，第一个公式无助于理解不动点的数量是如何随\（m\）变化的。一个问题是，当替换\（（X_1，S_1）/\mathbb时{F} （_q）\)通过\（（X_m，S_m）/\mathbb{F}（F）_{q^m}\），数字\（（n/S_1）：=\{text{}n\的最大除数，它是S_1中\（S）的所有\（deg（S）\）的素数
审核人：Lei Zhang（柏林）

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MSC公司：

14层20 Etale和其他Grothendieck拓扑和（co）同调
11楼75 算术群的上同调
14国集团15 代数几何中的有限地面场
14G35型 模块化和Shimura品种
2014年05月 家庭结构（Picard-Lefschetz、单峰等）

关键词：

本地系统；\（\ell\）-adic光滑层；Lefschetz不动点公式；自守表示；函数字段；\（\mathrm｛GL｝（n）\）；主单幂局部单值性；跟踪公式
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\textit｛P.Deligne｝和\textit｛Y.Z.Flicker｝，Ann。数学。（2） 178，第3号，921--982（2013；Zbl 1284.14026）
全文： 内政部

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