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杨晓霞;陈海波

具有（q，p）-拉普拉斯算子的阻尼振动问题周期解的存在性。 （英语） Zbl 1295.34053号

牛市。贝尔格。数学。Soc.-西蒙·斯特文 21，第1号，51-66（2014）。
本文致力于以下非线性动力系统\[\压裂{d}{dt}（|\dot{u} _1个（t） |^{q-2}\dot{u} _1个（t） ）+g（t）|\dot{u} _1个（t） |^{q-2}\dot{u} _1个（t） =\纳布拉_{u_1}F（t，u_1（t），u_2（t））\text{for}\；例如，在[0，t]中，\]
\[\压裂{d}{dt}（|\dot{u} 2个（t） |^{q-2}\dot{u} _2（t） ）+g（t）|\dot{u} 2个（t） |^{q-2}\dot{u} _2（t） =\纳布拉_{u_2}F（t，u_1（t），u_2（t））\text{for}\；即\；t\在[0，t]，\eqno（1.1）中\]
\[u_1（0）-u_1（T）=\dot{u} 1个（0）-\dot{u} _1个（T） =0，\]
\[u_2（0）-u_2（T）=\dot{u} _2（0）-\dot{u} _2（T） =0，\]哪里\[u（t）=（u_1（t），u_2（t））=（u _1^1（t），\]\（1<p<infty，1<q<infty，T>0，g in L^infty（0，T；mathbb R），g（T）=int_0^T g（s），ds，g（T）=0\）和\（F:[0，T]\ times\mathbb R^N\ times\ mathbb R^N\ to mathbb R1\）满足以下假设：
（A） 对于每一个（x=（x_1，x_2\[|F（t，x_1，x_2）|，|\nabla_{x_1}F（t，x_1，x_2）|，|\nabla_{x_2}F（t，x_1，x_2）|\leq[a_1（|x_1|）+a_2（|x_2|）]b（t）\]对于所有的（（x_1，x_2）in \mathbb R^N\ times\mathbb R ^N\）和a.e.（t \ in[0，t]\）。
此外，作者还考虑了以下（p）-拉普拉斯系统\[\开始{对齐}\frac{d}{dt}（|\dot{u}（t）|^{p-2}\dot}（t））+g（t）| \dot[u}；在[0，t]中，\\u（0）-u（t）&=\dot{u}（0）-\dot}（t）=0，\end{aligned}\eqno（1.2）\]其中，（u in mathbb R^N，1<p<infty，T>0，g in L^infty（0，T；mathbb R），g（T）=int_0^T g（s），ds，g（T）=0）和（F:[0，T]times\mathbb R1^N to mathbb R2）满足以下假设：
（A'）（F（t，x））对于每个（x in mathbb R^N）在（t）中是可测的，对于A.e.（t in[0，t]\）在（x）中是连续可微的，并且存在（A in C（mathbb R ^+，mathbb R.+）和（b in L^1（0，t；mathbb R2）），这样\[|F（t，x）|，|\nabla F（t、x）|\leq a（|x|）b（t）\]对于所有的（x\in\mathbb R^N\）和a.e.（t\in[0，t]\）。
我们表示\（W_T^｛1，p｝=\｛u:\mathbb R\ to \mathbb R^N|\；u\text｛是绝对连续的，｝u（0）=u（T）\text｛and｝\dot｛u｝\ in L^p（0，T）\｝\），范数定义为\[\|u\|_{W_T^{1，p}}=\左（\int_0^Te^{G（T）}|u（T）|^p\，dt+\int_0 ^Te^}|\点{u}（T）| ^p\、dt\右）^{frac{1}{p}}。\]
作者陈述了以下主要结果。
{定理1.1}假设以下条件成立：
\（（F_1）\）\[\qquad\liminf\limits_{\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2}\to\infty}\frac{F（t，x_1，x_2）}{|x_1|^q+|x_2 |^p}>0\quad\text{统一用于}\，a.e；在[0，t]中。\]那么系统（1.1）在\（W_T^{1，q}\乘以W_T^}，p}\）中至少有一个解。设\（q'，p'）是这样的\（\frac{1}{q}+\frac{1'{q'}=1，\frac{1\{p}+\frac{1}}{p'}=1\）。此外，如果以下条件也成立：
\（（F_2）\）存在\（delta>0，a \ in \ left[0，\ frac{G_0}{qG_1}\bigl\[-a |x_1|^q-b|x_2|^p\leq F（t，x_1，x_2）\leq 0，\；\对于所有|x_1|\leq\delta，\|x_2|\leq\delta，\]其中，系统（1.1）在[0，t]}e^{G（t）}中有至少两个非零解。
\[\四线组\]
{定理1.2}假设以下条件成立：
\（（F_3）\）\[\liminf\limits_{|x|\to\infty}\frac{F（t，x）}{|x^p}>0\quad\text{统一表示}\，a.e.\；在[0，t]中。\]那么系统（1.2）在\（W_T^{1，p}\）中至少有一个解决方案。
此外，如果以下条件也成立：
\（（F_4）\）存在\（delta>0，a \ in \ left[0，\ frac{G_0}{pG_1}\bigl（\frac{p'+1}{T}\bigr）^{\frac}{p'}}\right]\），这样\[-a|x|^p\leq F（t，x）\leq 0，\；\对于所有|x|\leq\delta，\]则系统（1.2）在（W_T^{1，p}）中至少有两个非零解。
{定理1.3}假设以下条件成立：
\（F_5）\）\[\liminf\limits_{|x|\to\infty}\frac{F（t，x）}{x|^{p-1}}>-\infty \quad\text{统一表示}\，a.e；t\在[0，t]中；\]\（（F_6）\text{wherever}\{u_n\}\子集W_T^{1，p}\）是这样的\[\|u_n\|_{W_T^{1，p}}\到\输入\；\文本{和}\；\裂缝{|\上横线{u} _n（n）|}{u_n\|_{W_T^{1，p}}}\左（int_0^Te^{G（T）}\，dt\右）^{frac{1}{p}}\到1\text{as}n\到infty，\]
\[\liminf\limits_to\fity｝\int_0^T e^｛G（T）｝\left（\nabla F（T，u_n（T）），\frac｛\overline{u} _n（n）}{|\上划线{u} _n（n）|}\右）\；dt<0，\]其中\（上划线{u}=\frac{1}{T}\int_0^TU（T）\，dt\）。那么系统（1.2）在\（W_T^{1，p}\）中至少有一个解决方案。
为了证明这些结果，作者使用了基于临界点理论、极小化序列和鞍点定理的变分方法。
审核人：彼得·托米切克（Plzeň）

引用于1文件

MSC公司：

34C25型 常微分方程的周期解
58E50美元 无穷维空间中变分问题在科学中的应用
34B15号机组 常微分方程的非线性边值问题

关键词：

阻尼振动问题;\（（q，p）-拉普拉斯;周期解;临界点;局部连接定理;鞍点定理
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{X.Yang}和\textit{H.Chen}，公牛。贝尔格。数学。Soc.-Somon Stevin 21，No.1，51--66（2014；Zbl 1295.34053）
全文： 欧几里得