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尤里·比卢;亚历山大·博里切夫

关于艾森斯坦的评论。 （英语） Zbl 1326.11064号

J.奥斯特。数学。Soc公司。 94，第2期，158-180（2013）.
设（K）是一个度为（d）的数字字段，（M_K）是（K）的绝对值集，并将其归一化以扩展（Q）的标准绝对值。（M_K\）-除数\（{mathcal A}=（A_v）{v\ in M_K}\）是（M_K \）的实值函数，在M_K中的每一个\（v）都关联一个正数\（A_v\），因此除了有限多个\（v\）之外，我们都有\（A_ v=1\）。\（M_K\）-除数\（\mathcal A\）的高度定义为数量\[h（{mathcal A}）=\frac{1}{d}\sum_{v\ in M_K}d_v\max\{log A_v，0\}，\]其中，\（d_v\）是\（v\）的绝对局部度。设K[z，w]中的（P（z，w）是不可约多项式，且（f（z）=sum_{K=0}^{infty}a_kz^K\）是一个幂级数，其系数在满足（P（z，f（z））的代数闭包\（\bar{K}\）中。然后Eisenstein的一个经典定理断言，对于M_K中的每一个v，都有一个（M_K）-除数，即（|a_K|v\leqA_v^{K+1}）（（K=0,1，\ldots）。
本文给出了上述结果的一个显式定量版本，改进了以往的结果。更准确地说，本文的主要结果如下：如果（P（z，w）和（f（z））如上所述，则存在有效的（M_K\[|a_k|_v\leq a_v^{k+1}；\；\；（k=0,1，\ldots）\]对于任何\（v\ in M_K\）anyhow扩展到\（\bar{K}\），这样\[h（{mathcal A}^{prime}）\leq h_p（p）+\log 3，\quad h（{mathcal A}）\ leq（3n-1）h_p（p）+3n\log（mn）+7n，\]其中，\（m=\deg_zP\），\（n=\dec_wP\）和\（h_p（p）\）是\（p（z，w）\）的投影高度。此外，作者还获得了关于分支级数Laurent级数的更一般的结果，并计算了由级数的系数生成的数域的判别式的显式上界。
审核人：Dimitros Poulakis（塞萨洛尼基）

引用于6文件

MSC公司：

2011年9月 多项式（不可约性等）
11国集团50 高度
12E05型 一般领域中的多项式（不可约性等）

关键词：

艾森斯坦定理;\（M_K\）除数;代数幂级数;洛朗级数;分枝级数
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛Y.Bilu｝和\textit｛A.Borichev｝，J.Aust。数学。Soc.94，No.2，158--180（2013；Zbl 1326.11064）
全文： 内政部 arXiv公司

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