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可修性,庞加莱级数和拟共形映射。 (英语) Zbl 0672.30017号

设X是黎曼曲面。如果X被单位圆盘覆盖,则为双曲线;如果X是通过删除有限个点从紧曲面获得的,则为有限型。设Q(X)是X上的全纯二次微分空间,这样\[\|\phi\|=\iint_{X}|\phi(z)|dx dy<\infty。\]让(B_X)表示巴拿赫空间Q(X)中的开放单位球。
现在假设f:\(Y\ to X\)是一个覆盖图。然后有一个自然运算符\(Theta):Q(Y)\(to Q(X)\),它通过拉回\(f^{-1}\)的分支并对所有分支求和来定义。当f是单位圆盘在黎曼曲面X上的泛覆盖时,这是经典的庞加莱θ算子。作为Banach空间Q(Y)和Q(X)之间的算子,\(\theta\)的范数小于或等于1。本文的主要结果描述了范数f严格小于1的覆盖类型。假设覆盖层f是可修的,如果覆盖层的图形漫画中有边界小的大球。如果X是双曲线并且是有限类型的,那么它的泛覆盖是不可修的。
定理。设(Y到X)是双曲黎曼曲面X的覆盖
1.封面是可以接受的,并且(Theta(B_Y)=B_Y\),或者
覆盖层是不可修正的,并且\(Theta(B_Y)\)的闭包包含在\(B_X)的内部
作为推论,如果G是作用在单位圆盘\(\Delta\)上的非贝利Fuchsian群,使得\(X=\Delta/G\)是有限类型的紧致黎曼曲面,则\(Theta\)的范数小于1,并且从X的Teichmüller空间到泛Teichmüller空间的包含映射是收缩的。证明的要素之一涉及分析Banach空间Q(Y)中单位球边界上某些点的弯曲。flex的概念是Banach空间自反性概念的一种局部版本。假设\(Theta(\psi)=\phi\)。为了防止质量损失,(psi)的相位必须几乎与(φ)到Y的回拉相一致,至少在包含大部分质量的区域(Y_0)上。从flex上的引理可以看出,相位的一致性意味着(psi)的质量分布与(phi)的质量分配相似,后者大体上由覆盖(Y到X)的组合决定。对于非修正覆盖,(Y_0)的大部分质量将接近其边界,其中配对在一定程度上是无效的;这迫使\(\ | Theta \ |<1.)
这些参数进一步用于估计模对\(\ | \ Theta \ | \)的依赖性。
定理。设X是有限型双曲黎曼曲面,(Y到X)是具有有限生成基本群的无限片覆盖空间。然后,(Theta{Y/X}),其中c(n,L)是(pi_1(Y))的生成元个数n的函数,L是X上最短测地线的长度,c(n,瑟斯顿“蒙皮”映射不动点存在性的解析证明。蒙皮映射是Thurston在3流形上构造双曲结构的一个关键工具。
审核人:F.P.加德纳

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30摄氏度70 共形和拟共形映射的极值问题,变分方法
30楼35 富克斯群和自守函数(紧黎曼曲面和均匀化的方面)
30C62个 复平面上的拟共形映射
2012年11楼 自形形式,一个变量
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