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无三线问题
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非三线问题是一个几何排列问题。让一n个×n个在欧几里德平面上给出网格对于任何自然数n个.任务是标记n个2在以下条件下尽可能的网格点他们中没有三个人在一条直线上。很明显，最多只能标记2个点。查找的问题n个达到这个上限是已知的杜德尼1917年提出的非三线问题。一个密切相关的问题是：在此项下最多可以标记多少点限制？P.Erdös已经表明（1-eps）n点可以放置在给定的n个×n个所有足够大的网格n个. 霍尔、杰克逊、苏德贝里和怀尔德对（3/2-eps）n1975年。这是最著名的渐近下限。但是盖伊和凯利用了一个概率论来支持他们的猜测对于大型电网，该限制无法达到2个--的主要推测.
直到1992年3月，我计算了n个这种无三线连接配置。我计算的最后一个类是n=23，具有一个对角反射对称性。这是唯一的我1992年出版的JCT中缺少的数字。所有这些旧的结果总结在这张桌子。为了了解越来越多的检查病例，请查看计数的顶点在递归全树搜索中，它被细分为对称类。找一条短裤对称类的解释及其条件。
整个旧数据以编码形式通过匿名ftp，但不再推荐使用这种使用非字母数字字母的旧格式。最好将旧数据和新数据作为许多文件或作为编码配置列表（1.6MB）.要删除此代码的字符，请使用这个C程序.对于那些无法访问C编译器的用户：每一行代表一个配置，其中的每个字符代表一个标记位置，但第一行表示对称类。在每个配置中，位置都是从左到右、从上到下编码的。它们被指示按字母0、1、2、…、，。。。，9，A，B，C…，Z，A，B，。。。，z仅在其列位置。例如，以下是所有已知的配置dia2-和全对称.您也可以将其视为44KB图片33+3配置。
此外，还提供了配置数量的概述，希望是最新的1997年表格.找到这些解的方法主要是一种复杂的分枝定界算法。
我的程序三分之一需要大约4n^4+O（n^2）字节的存储1988年7月首次实施。它的最后一次发行是在1991年11月，由大约600行C源代码。1996年4月才推出新版本已实施。除了计算机现在似乎快了15-20倍之外改进的算法本身根据检查的对称类给出了1.5-8的加速比。以适当的选择顺序遍历可能配置的树非常重要。这取决于对称类。
此外，通过一个简单的技巧n≤64（由于内部数据结构）可以是上升到n≤90没有任何运行时或内存增加。目前我可以检查n=72对于在相同cputime中具有完全对称性的配置n=60使用1991年使用的旧算法。
自1996年6月7日起a新格式因为编码配置正在使用中：现在每个配置都由一个列表（.：/-ocx+*）的对称类字符，分别表示对称性（iden rot2 dia1或1 rot4 near dia2或2 full）。此外，标记位置由字母0、1、2、…、，。。。，9，A，B，C…，Z，A，B，。。。，z仅位于从上到下一行的列位置，以及从左到右的每一行。编码的配置必须以换行符、空格或制表符结尾。只要不知道n>62的配置，与旧配置相反，字母表大小更有限并不重要（n>96会导致问题）。
和未来目标
- 主要推测(<= 1967)
- 只有有限多不同的配置。
- 如果n个趋于无穷大，只有（2/3PI2)(1/3)n个可选择的点，以便其中任何三个点都不在一条直线上。
- 2005年3月，Gabor Ellmann在Guy&Kellys出版的1968年推导法中发现了一个错误。
- 如果纠正此几何/代数变换错误，则结果是：渐近仅PI/3号机组1/2n=1.814…n点可选。
- 猜想I（<=1952）
- 有3种配置具有网格的完全对称性。
- 猜想II（<=1968）
- 每个具有ort2对称性的配置都具有网格的完全对称性。
- 猜想III（<=1991）
- 正好有5种配置在中垂线上具有反射对称性。
- 猜想四（<=1996）
- 有关于在主对角线和副对角线中具有反射对称性的34种配置。
1996年6月，发现了另一种具有反射对称性的构型，从而推翻了猜想III！
要了解类ort1、rot2、dia1或类ort2、rot4、dia2注意到，在正交对称类ort1中。ort2，两个独立的选定的点通常强制封锁n个6分之2，28分之8，直线及其2，分别。6、对称点。对于对角线反射类dia1和dia2，两个独立的选择点通常强制封锁无/2点。在旋转对称类中腐烂了吗？两个独立的选择点通常迫使大约C对数（n）.封锁剩余的6条直线中的4条，分别是28条中的20条，其效果似乎与所考虑的对称性类别无关。因此，一个对于给定的n个在旋转对称类中，但在中垂直对称类中的不同构型最少。有关不对称情况的精确分析，请参阅盖伊和凯利1968年。他们的想法可以应用于特殊的对称类得到不同配置数量的概率估计。这个不同对称类但固定的数的关系n个应至少与可生成配置的计数值相同。
以下是关于对称条件/效果无三种串联配置。
由于John Selfridge的来信，我检查了收集的配置是否它们包含一种no-3-串联解决方案，用于较小的n个而不是给定的。除了3个已知的“对角线延伸”电话：2423670617014535，电话：3458148A130A7902692567，电话：372845190A460A19562837我发现的唯一的亚溶质是2x2溶液。几乎所有这些配置都属于对称类rot2或rot4。只有5个例子n=12、13、14、，都是不对称的n=15在长对角线处具有反射对称性。但对于n>=15.那些在rot4类中有2x2块的配置在其中心，除了2种配置电话：2323676701014545和o9OGHGHAM6M06OP34BFBTEQKL12128JALRSRS893F0IEIPQ45NT7N7JCDCD5K。此对称类中有以下中心块配置n=2,10,14,22,28,30,32，。。。，42,44和可能更多n>=46.
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- A.火焰杯,组合理论杂志A辑，V.60/1992，第305-311页[…，44,46]
1992年出版枚举表JCT中的错误数字在o列中给出了n>=30。程序错误导致对称类rot4中的一些解丢失，现在通过重新计算发现了这些解。正确的数字是92，而不是62（n=30）和101（99）n=32。
由于我的不集中，列中n=20的值是一个错误计算。正确的值为675而不是693，所有配置的值至少为rot2对称性。
对不起，我完全忘了指出美国马萨诸塞州威廉斯敦市本杰明·查芬的计算结果。2006年3月，他生成了n=17和n=18的所有解，并在同一个月给我发了相应的总数电子邮件。此外，他还设置了这个网页他的研究结果中，n=18。因为这个网页消失了，我把所有6800个17号网格的不对称配置和所有18853个18号网格的非对称配置，用标准符号编码，放在这个文件下载。
2023年9月，来自西澳大利亚州珀斯市的迈克尔·科利尔（Michael Collier）编写了一个程序，检查我公布的所有非三线解决方案。他运行了它，并将对称类中有效配置的搜索扩展到了n=30。所以他发现n=28的一种新配置并证明了该正交反射对称类中n=30不存在解。
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阿奇姆·弗拉门坎普
2023-09-30 20:49 UTC+2
