比勒费尔德大学
法库塔夫吕尔马蒂克

高复合数

自然数n如果除数大于任何较小的数,则称为高度复合。设这样一个数的素因式分解np1e1p2e2pe...具有pj>p如果j>我指数呢e非负整数。通常是n是吗(e)1+1) (e)2+1) (e)+1) 。。。对于高复合数,我们有:如果j>我然后ej<=e. 最后,用最大的指数就这样e>0,也称为最大素数指数。平均素指数e这样的高合成数与1/磅.这是一份前1200个高度复合的数字1991年10月31日在HP 710/50 MHz上计算。

最近我发现一种生成高复合数的算法我认出了我拼错的“composited”:-/。因此,我挖掘了我以前的C源代码进行比较。该算法仅使用S.Ramanujan公式作为非平凡性[ln(p)/ln(q)]<=a<=2[ln(p+)/ln(q)]估计素数指数任何质数的在最高峰出现时p以及它的继任者p+.我认为程序需要大约4分钟来计算惠普710上最小的1200个HCN。无论如何,在旧的K6-223 MHz上,前1000个HCN需要49秒在现代Athlon Thunderbird 1,2 GHz上,它需要<6.5秒。我认为这个显著的速度优势是因为它是一个C程序而不是Mathematica代码。
但真正令人惊讶的是,在上面引用的PDF中,第1000个HCN被给出为286547112…157 163这是我的第1001次!因为在第97届HCN中,我们得到的是一样的唐纳德·西亚诺的节目里好像少了一个HCN!。看看他的网站。在一次电子邮件交流之后——发现了他名单中第769位HCN的小姐---他说这个出版物/算法只是“一个笑话”,“一种娱乐”,他让一位数论家(Kiran Kedlaya)检查他的结果,然后陈述其正确性(其HCN列表中声称的第1000个HCN是实际上是第1000个HCN)的一个未公开的不同算法。

重新运行2002-11-08车型年款C程序最多10000个HCN启用此图:
尺寸HCN
回想一下高级复合数的定义,SHCN公司,哪个暗示e=[1/(p1/x-1) ]为了某个x>0.考虑到HCN的这一子类,我们看看最高质数指数的渐近性通过估计π(ln(SHCN)):
黄金指数 黄金指数
不管怎么说,我们的目标是结果分别改进算法的速度显著加快:例如,前10000个HCN在不到半分钟的时间内完成,而在没有这些启发式算法的情况下,只需半小时!

在给定的界限内有多少个HCN?Erdös证明:至少是渐近的自然对数1+每股收益(十).从下图中我们得到的印象是k,第k个HCN的指数,可能与ln(HCN)1.25.
但在这里你可以看到k更好:
这使得在数值上估计真实指数非常困难。最后看看d(六氯环己烷)近似于ln(HCN):

下一个一份证明首批124260个HCN(1.75 MB)---这是在2002年12月至2003年1月期间,使用区间算法实现的新算法。
此未压缩文件的每一行都包含一个HCN,格式如下:
ln(HCN)ln(d(HCN))m e_1 e_2 e_3…e_i^k_i…2^k_2 1^k1。
第一项:ln(HCN)HCN的自然对数,最多6位数。
第二项:ln(d(HCN))除数函数的自然对数,最多7位数
第三项:m HCN因式分解中不同素数的个数
其余条目:eˉ1 eˉ2,,,,其正则素数因式分解的指数列表。在这里,连续的等指数被编码为e_i^kаi,意思是kаi相同我跟随指数值e。
最后关于六氯环己烷分布的工作文件作为DVI文件。本文最后两个猜想被用作.用这个启发我计算列表经过证实的最小779674个HCN(1.5 MB)。为了节省空间,这个'unbzip2'文件的每一行都会丢失ln(HCN)和ln(d(HCN))条目,因此以第一个1039000个HCN的上述格式的第三个条目。


阿希姆·弗拉门坎普
2003年2月11日16:30 UT+1