高复合数

自然数n如果除数大于任何较小的数，则称为高度复合。设这样一个数的素因式分解n是p₁^e₁p₂^e₂p_三^e_三...具有p_j>p_我如果j>我指数呢e_我非负整数。通常是n是吗（e）₁+1） （e）₂+1） （e）_三+1） 。。。对于高复合数，我们有：如果j>我然后e_j<=e_我. 最后，用米最大的指数我就这样e_我>0，也称为最大素数指数。平均素指数e_我这样的高合成数与1/磅_我.这是一份前1200个高度复合的数字1991年10月31日在HP 710/50 MHz上计算。

最近我发现一种生成高复合数的算法我认出了我拼错的“composited”：-/。因此，我挖掘了我以前的C源代码进行比较。该算法仅使用S.Ramanujan公式作为非平凡性[ln（p）/ln（q）]<=a_问<=2[ln（p+）/ln（q）]估计素数指数一_问任何质数的问在最高峰出现时p以及它的继任者p+.我认为程序需要大约4分钟来计算惠普710上最小的1200个HCN。无论如何，在旧的K6-223 MHz上，前1000个HCN需要49秒在现代Athlon Thunderbird 1,2 GHz上，它需要<6.5秒。我认为这个显著的速度优势是因为它是一个C程序而不是Mathematica代码。
但真正令人惊讶的是，在上面引用的PDF中，第1000个HCN被给出为2⁸三⁶5⁴7^三11²…157 163这是我的第1001次！因为在第97届HCN中，我们得到的是一样的唐纳德·西亚诺的节目里好像少了一个HCN！。看看他的网站。在一次电子邮件交流之后——发现了他名单中第769位HCN的小姐---他说这个出版物/算法只是“一个笑话”，“一种娱乐”，他让一位数论家（Kiran Kedlaya）检查他的结果，然后陈述其正确性（其HCN列表中声称的第1000个HCN是实际上是第1000个HCN）的一个未公开的不同算法。

重新运行2002-11-08车型年款C程序最多10000个HCN启用此图：

回想一下高级复合数的定义，SHCN公司，哪个暗示e_我=[1/（p_我^1/x-1） ]为了某个x>0.考虑到HCN的这一子类，我们看看最高质数指数的渐近性米通过估计π（ln（SHCN））:

不管怎么说，我们的目标是米结果分别改进算法的速度显著加快：例如，前10000个HCN在不到半分钟的时间内完成，而在没有这些启发式算法的情况下，只需半小时！

在给定的界限内有多少个HCN十?Erdös证明：至少是渐近的自然对数^{1+每股收益}（十）.从下图中我们得到的印象是k，第k个HCN的指数，可能与ln（HCN）^1.25.
但在这里你可以看到k更好：
这使得在数值上估计真实指数非常困难。最后看看d（六氯环己烷）近似于ln（HCN）:

下一个一份证明首批124260个HCN（1.75 MB）---这是在2002年12月至2003年1月期间，使用区间算法实现的新算法。
此未压缩文件的每一行都包含一个HCN，格式如下：
ln（HCN）ln（d（HCN））m e_1 e_2 e_3…e_i^k_i…2^k_2 1^k1。
第一项：ln（HCN）HCN的自然对数，最多6位数。
第二项：ln（d（HCN））除数函数的自然对数，最多7位数
第三项：m HCN因式分解中不同素数的个数
其余条目：eˉ1 eˉ2，，，，其正则素数因式分解的指数列表。在这里，连续的等指数被编码为e_i^kаi，意思是kаi相同我跟随指数值e。
最后关于六氯环己烷分布的工作文件作为DVI文件。本文最后两个猜想被用作米.用这个启发我计算列表经过证实的最小779674个HCN（1.5 MB）。为了节省空间，这个'unbzip2'文件的每一行都会丢失ln（HCN）和ln（d（HCN））条目，因此以第一个1039000个HCN的上述格式的第三个条目。