10本の直線で26個の三角形が作れない理由
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n个本の直線でn（n-2）/3個の三角形が出来る条件についての考察
n个本の直線でn（n-2）/3個の三角形が出来る条件についての考察(2)
5 10本の直線で26個の三角形が作れない理由
25個は作れることが既にわかっていますので、26個が作れないことを示せば
最大値が25個と決まります。
それには、辺の総数がn（n-2）=80より三是的
5-1 4直線以上が1点で交わる場合は考える必要がありません。
4直線が1点で交わると、交わらない時と比較して線分が7本少なくなり、
得する辺の数は最大4つで、全体の辺の数は少なくとも三減26個の三角形は
作れなくなります。
従って、三直線以上が1点で交わる場合はあっても、4直線以上を考える必要は
ありません。
5-2 三直線の交点は、最大2個と仮定して問題ありません。
三直線の交点1個毎に、辺が少なくとも1つ減ります。従って、三直線の交点が
三個以上あると26個の三角形は作れなくなりますので、三直線の交点は最大2個
と仮定出来ます。
5-3 三直線の交点が三個以下であれば、平行線はないと仮定して問題ありません。
もし平行線を使って26個の三角形が作れた場合、平行線上に三直線の交点が
なければ、平行線を微妙にずらして平行でなくしても、三角形の個数は変わりません。
また、平行線上に三直線の交点が1つ
すれば平行でなくなりますから、平行線をなくすことが出来ます。
平行線に三直線の交点が2つある場合はそうはいきませんが、三直線の交点が
三個以下ならば、平行線のうち三直線の交点を2つ以上含む直線は1だけす
それ以外の平行線を動かせば平行でなくすることが出来ます。
従って、平行線はないと仮定して問題ありません。
5-4 平行でない10本の直線を引いた時、ある直線は他の9本全部の直線と交わり、
各直線において“両端の交点”（）、
端点は三直線の交点ではないと仮定して問題ありません。
もし、端点が三直線の交点であった場合、
そのうちの1本を微妙にずらせば、
三角形の個数を減らさずに三直線の交点をなくすことが出来ます。
従って、端点は三直線の交点ではないと仮定して問題ありません。
5-5 三直線の交点を含まない直線は、辺とならない線分を作ります。
もし、いずれかの端点が他の直線の端点でない場合は、その端点に隣接する線分の
どちらか1つが辺にならない線分となります。
両端が他の直線の端点である場合は、
（a）端の線分が三角形を作っていなければ、それは辺とならない線分です
（）
（b）両端の線分が三角形を作っていれば、それはその直線の同じ側にあります。
なぜなら、もし反対側にあった場合、
平行線はありませんので、それは実は端点同士の交点ではないからです。
（c） 3个直線の交点を含まない直線では、1つの線分の両側が三角形となることは
ありません。従って、両端の三角形が直線の同じ側で、線分の個数が8個
三角形の辺となっていない線分があるか、
あるいは三角形が片側に2個連続している箇所があるか
のどちらかとなり、いずれの場合でも辺として使用されない線分（赤矢印）が
存在することになります。
ただし、1つ例外があります。
物语よ五十八2個連続していて、その間の点が端点だった場合です。
この場合だけは、辺とならない線分は出来ません。
三直線の交点をうまく使うと、損が減るということです。n=8がいい例ですね。
5-6 また、辺とならない線分は、三直線の交点を含まない直線1本あたり1本という
わけではありません。
このように、2本あたり1本となる可能性もあります。
しかし、関係するのは辺とならない線分の端を通る直線だけですので、
「2本あたり1本」が最大で、三直線の交点を含まない直線が三本あれば、
（辺が2本出来ます。
5-7 以上により、辺が少なくとも三本減ることがわかります。
（a） 3个直線の交点が2つの場合
三直線の交点を含む直線は最大6我很高兴见到你三直線の交点を含まない直線が
最低4本あります。このうち2本は例外により辺が減らない可能性がありますが、
残りの2本で必ず辺とならない線分が最低1本出来ますので、辺は最低三本減ることに
奈良りす
（b） 3个直線の交点が1つの場合
三直線の交点を含む直線は三本ですから、三直線の交点を含まない直線は7本で、
例外分1本を除いても辺とならない線分は少なくとも三つ出来ますので、
辺は最低4本減ることになります。
（c） 3个直線の交点がない場合
三直線の交点を含まない直線は10本ですので、辺は最低5本減ることになります。
（笑声）三本減りますので、26個の三角形を作ることは
出来ないということがわかりました。
6 n=8の時、三直線の交点がないと15個の三角形が作れない理由
「n=10负26個」を検討したことによって、この理由もわかりました。
上と同様の理屈で、三直線の交点がない場合は三直線の交点を含まない直線は
8本ですので、辺は最低4本減り、8×(8-2)-4=44＜15×3ですから、15個的
三角形は作れないことになります。
n个が偶数で三直線の交点がない場合の上限は[{n（n-2）-n/2}/3]となりますが、
これをいくつか表にしてみると
| n个 | 4 | 6 | 8 | 10 |
12 | 14 |
| 上限 |
2 |
7 |
14 |
25 |
38 |
53 |
のようになります。
n=4,6,8,10の中では、たまたまn=8だけその条件に該当していたわけですね。
n个が大きい偶数の時、例えばn=50とすると、三直線の交点の個数に対して上限が
| 三直線の交点の個数 |
0 |
1 |
2 |
三 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 上限 |
791 |
792 |
792 |
792 |
793 |
793 |
793 |
794 |
794 |
794 |
795 |
795 |
795 |
のように変化します。他にも上限を抑える要素があるかも知れませんので可能性の
話ですが、n个が偶数で大きい場合は三直線の交点がたくさん必要なのかも知れません。
また、三直線の交点が有利に働くのは、n个が偶数の場合のみです。1本の直線上の
線分が偶数個で、三角形のある側が合わなくなるのを調整する働きになります。
n个が奇数の時は、逆に不利に働きます。実際、n=4,6,8,10はいずれも三直線の交点が
あって最大値をとることが出来ますが、逆にn=3,5,7,9はいずれも最大値をとれなく
Narっ
8ここまでのまとめ
今までの調査結果により、三角形の個数の上限は
・n个が偶数の時は [{n（n-2）-[（n+2）/4]}/3]個
・n个が5または三の奇倍数の時は n（n-2）/3個
・それ以外の時は [{n（n-2）-1}/3]個
となりました。
（※5-1,5-3の条件は多分無視出来ると思いますので、ここでは無視しています。）
これであらためて表を作ってみると、
| n个 | 三 | 4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 在 |
1 |
2 |
5 |
7 |
11 |
15 |
21 |
25 |
32 |
39 |
47 |
54 |
65 |
73 |
のようになります。緑は確定、赤は未確定です。
この先は確率的試行では厳しいですね。相当試行しないと、n=12で
三角形39個は得られなそうです。もしかしたら、今までわかったことを
考慮しながら、手作業で考えた方が早いかも知れませんね。