W公司世界!O(运行)(f)
N个数字
主页盘子
赢了|

嵌入
回文平方数
路德 保理化 路德 记录 鲁德 分布式计算 路德
鲁德 长度不超过31的所有方形 路德 零星广场 路德 子集 路德 额外正方形 路德
路德 三角形 路德 路德 六边形 路德 庚烷 路德 八度音阶 路德 非那人 路德
路德 n(n+1) 路德 n(n+2) 路德 n(n)+x个) 路德
路德 n^2+1 路德 n ^2个+x个 路德 n^2–x个 路德
路德 n^2+(n+1) 路德 n^2+(n+x个)


介绍

回文数字是从中读取相同的数字
 p_右 从左到右(向前)从右向左(向后) 左(_left)
以下是一些随机示例:9955940787049876543210123456789

平方数字由这个极其复杂的公式定义和计算。
所以,这条线仅供专家使用

(底)x(底)基础2
右边是前三个平方数的图形表示,以刺激初学者的胃口。
平方 平方 平方
平方 平方平方 平方 平方
平方平方 平方平方 平方 平方
方形1方形4方形9

     普通文本方块      普通文本SSP 

分布式搜索  新建

你有机会将一个零星的回文方块与你的名字联系起来…
从以下位置收集此文件中的所有信息:分布式计算.

正常和回文方形

闪光到目前为止,这一汇编很重要8729方形回文数。
这是最大的零星方形回文帕特里克·德·格斯特
发现,使用CUDA代码罗伯特肖,上的[2023年10月18日].

此基数
3.109.885.844.380.152.888.763.910.885.950.363

34数字
生成以下零星回文平方记录数古怪的位数
9.671.389.965.076.056.510.789.702.463.424.611.164.243.642.079.870.156.506.705.699.831.769
长度惊人67数字。

这项世界纪录是使用CUDA编写的代码实现的罗伯特肖而且不再
关于锈蚀。最近,他将该程序推广到处理任意二次函数。
CUDA公司是一种编程语言,或者更确切地说是一个编程工具包,
用于编写在GPU而不是CPU上运行的软件。它比我们的快50倍
GPU虽然代码的逻辑与Rust版本紧密相关。
我问过罗伯特现在他的CUDA正以曲速运行,它能达到多远。
他回答说,对于70位数字,估计时间约为其中一位的400天
我们的GPU。60位数字大约是两天的GPU时间,每4位数字就会增加10倍。
可行,但这将是一个相当不错的电力法案:)“也许我们可以找到一些回文爱好者
一起”,作为大卫·格里菲斯换言之,“进行分布式计算。”
该计划非常适合采用分而治之的方法。


bu17号机组所有回文平方数只能以数字开头或结尾014569.
唉,我的回文可能没有前导0是的!因此,不得研究零选项。
1只能后跟偶数:10、12、14、16或18
4只能后跟偶数:40、42、44、46或48
5只能接2:52
6后面只能跟奇数:61、63、65、67或69
9只能后跟偶数:90、92、94、96或98


bu17号机组存在回文长度平方24810141820243038404654566264.
(斯隆A034822号)


Case Square公司变量的变化CUDApalin参数基础校正
基本版本1不适用。
A、B、C 1 0 0
基数=CUDA基数
基本版本2n=米+1
A、B、C 1 2 1
基数=CUDA基数+1


bu17号机组 基思对回文方块进行了初步研究。
他能够以合乎逻辑的方式对它们进行分类和列举
他还试图为
计算某些类别的回文正方形的数量,
除了“零星”解决方案。精彩的!
[请参阅“JRM”第节详述的来源披露的来源'].



Mike在Asymmetric Root家族遇到的麻烦最多,但这要归功于
戴夫威尔逊的“引理“他取得了重大进展。


用回文方块创建伪回文的条件是什么?
打开此窗口威尔逊并阅读大卫·W·威尔逊的答案。


bu17号机组不同回文三角在不可能的地方预测下一个更高的,无论它的基数是不是回文,
回文方形(和立方体)的情况正好相反。找到下一个更高的数字很容易。
例如,从数字11开始。然后在两个“一”之间重复添加一个零,并将其平方。
出现了一种可以永远持续下去的模式。

底座方形
11121
10110201
10011002001
10001  100020001

还有其他具有相同属性的数字(例如10101)。像“111”这样的重新组合数字看起来也很适合
用于查找回文方块(但不用于立方体),但扩展不会一直进行下去。九个“一”仍然产生
平方后的回文,但不是十个“一”。因为只有数字8没有出现在广场的左侧,所以这是一次险胜。
这种反常现象也会持续更长时间,因此我们必须放弃这个候选人。
如果我们只使用更高的基数,那么我们可以扩展模式(暂时)!

底座方形
11
11121
11112321
11111234321
11111123454321
11111112345654321
11111111234567654321
11111111123456787654321
11111111112345678987654321
1111111111  1234567900987654321 =以10为底不是回文!

以下是如何娜塔莉·迪肯达舍[2005年11月4日] (电子邮件)在她的脑海中很快就想出来了,给朋友或老板留下了深刻印象:
序列的最高数字始终是您要平方的数字中的1的数量。
举个例子,让我们从我明年的工资开始(没错):111111的平方是多少?
容易的!!这个数字总共有6位数。因此回文中的最高数字是6
数到6,然后后退。答案是12345654321[35].

如果你从上面解释的一些回文基数开始,找到大的回文方块很容易。
所以,让我们集中讨论一些困难的问题,即那些具有非回文基数的问题。前六个是
(26 [7]) (264 [13]) (307 [14]) (836 [15]) (2285 [19])和(2636[20])使用电子表格或计算器可以轻松找到。


麦克班尼特试图找出他的机会
在发现中回文方块回文立方体.
这是他的数学分析和发现的概率
那些有趣的回文多边形数。



从方形回文长度开始的重点统计


 

SP=方形回文
SSP=零星方形回文
 方块字回文_(SP)_length1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435
A263618型#SP的40307150110511901312501804813107014421050701153198
 #单一共享平台--0102120300150411020614041123051514
 #奇数长度SSP-- 1 2 2 3 0 5 4 1 2 6 4 4 1 3 5 5 4
 #平均长度SSP 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 1 
 
续。。。方块字回文_(SP)_length3637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970
A263618型#SP的32090132029111811384023424961301163603830798147419810578011992701---
 #SSP的32010414140122111504021316010323---
 #奇数长度SSP 2 1 4 4 4 1 2 1 5 4 2 3 6 1 3 3 - 
 #平均长度SSP3 0 0 1 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 2 - -


以基数长度为起点的统计数据


 

SP=方形回文
SSP=零星方形回文
NSSP=非零星方形回文
 基数(BN)_长度12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334
A263616型|A263617型#BN提供SP43851161914251849317146105711541012091322921823842364973026363837994759815781201-
 #BN给出了奇数长度的SP--375115191325184831704410570153982091322911813842344963016363837984749815781199-
 #BN给出了等长(s)SP--01001010010120113001102110011002-
 #BN提供零星信息(↑)+(↓)--13231551274533667215543325434615-
 #BN给出了奇数长度的SSP--12230541264413554214441215423613-
 
 #BN提供NSSP--2538514924164227664310265148942071312871773802334943006313797964719755771196698
A263614型#BN的二进制文件→ |B类|--12244881615302652428464128931861302601763522324542995983787564709405761152697
A142150型#BN的任期→ |T型|--0102030405060708090100110120130140150160
A007573号#BN的不对称性→ |A类|--000001020506090100100150150160180240180260
A000034号#BN的偶数根→ |E类|--121212121212121212121212121212121


我们能找到所有或部分序列的公式吗?

基思在他的文章中给出了两个公式回文方块的分类和计数'
发布于《休闲数学杂志》第22卷,第2期,1990年,第124-132页。
一个用于为所有偶数N⩾2定义的二元根族,另一个用于二元和三元根族
组合,为所有奇数N⩾3定义。这是基思做出的一个选择,因为它更适合他的计划。

基思|B|=(N3–6*N2+32*牛顿)/48对于N⩾2的偶数值bnl=N=30给出结果 470 

Keith_|B|+|T|=(N3–9*N2+59(北纬51度)/24对于N⩾3的奇数值bnl=N=31给出结果 955 ( = 940 + 15)

通过大卫·格里菲斯我们现在也有N的奇数值的公式,其中B与T分开。
格栅_|B|=(N3–9*N2+47*北纬39度)/24度对于N⩾3的奇数值bnl=N=31给出结果 940 

Even Root系列的总数很简单
|如果N是偶数,则E |=1
|如果N是奇数,则E|=2

关于不对称家庭,基思写道
“找到|A|的精确公式仍然是一个悬而未决的问题。”

大卫·格里菲斯[电子邮件来自2022年12月1日]导出正确的公式#bnl二进制文件→ |B类|.
从大小为2n的二进制回文根开始。两端需要有1。
在右半部分还有n–1个点,我们可以选择放置0、1、2或3个额外的1。
然后必须在左侧选择对称点。所以我们能做的总方法是
C(n-1,0)+C(n-1,1)+C。经过一些代数运算后,这就减少到n(n^2-3n+8)/6。
现在假设大小为2n+1。然后,上述类型的任何模式都适用于右边的数字和
中间数字的左边,可以是0或1。因此,2n+1的公式就是n(n^2-3n+8)/3。

Griffeath_|B|=n*(n2–3*n+8)/6对于N的偶数值bnl=30(2n),因此n=15给出结果 470 

Griffeath_|B|=n*(n2–3*n+8)/3对于奇数值Nbnl=31(2n+1),因此n=15给出结果 940 

D.Griffeath继续他的邮件
正如我们所知,回文平方根中的位数是偶数还是奇数在很大程度上是重要的。
因此,以这种方式打破这个公式是很自然的。将这些情况强制转换为一个公式是人为的。
但这可以通过操纵上面两个立方的系数并将乘数(-1)^n加到1来实现
为了说明平价。这就是在一个更复杂的公式中发生的事情的本质。
如果你愿意的话,我可以讲得更详细,但没有任何启发性的内容。

然而,对于|B|族中所有N的偶数/奇数值,可以在组织环境信息系统A263614
并由添加科林·巴克.我在这里给出他的Pari/gp函数
(Barker_|B|)gp>a(n)=(-((-1)^n*(-78+62*n-12*n^2+n^3))+3*(-26+42*n-8*n^2+))/96
发出此命令后,只需键入a(30)或a(31)即可获得 470  940 相应的。
它看起来非常复杂,特别是与编程这些二进制根解决方案
但当我们开始解剖它的时候。。。

(   ——((-1)n个*(n)3–12个*2+62*n–78))+3*(n)3–8个2+42*n–26)   ) / 96

再一次大卫帮助我们解决巴克配方。参见右侧面板

  我一直觉得很失职,因为我没有向你展示二进制数的混乱公式
涉及到花哨的数学,而不仅仅是一堆令人不快、启蒙的代数。所以我附加了一个
手写的计算草图。

(1)和(2)中的第一步是改变变量,并表示奇偶情况的公式
就长度而言。只是讨厌的代数。然后为了得到统一的公式,我们写下二进制文件的数量
b_n是两个立方的和,其中一个用幻数乘数(-1)^n在偶数和中的1和-1之间翻转
奇怪的情况。组合需要根据需要在(1)和(2)之间切换,所以我们求解所有的c。我只是
计算了三次幂系数,但其余都是类似的。只是更令人讨厌的代数。

感谢David的正确回答,非常感谢!"


不对称(亦称伪回文或核心)基数

仔细观察列表中的一些数字,我发现了更大的数字-其方块是回文的回文基数。
特别是带索引的数字[48], [85], [90]和[141]吸引了我的注意因为CORE编号091在他们身上。

[48] 1109111
[85] 110091011
[90] 111091111
[141] 11000910011
左边是数字11的“边界”,后面是0、1和2零。右边是它的反转。
因此,如果没有核心091,我们将有一个回文基数,但如果中间有091,则我们总是有
非溯河基数!总体布局如下:
11+X_零+091+X_零+11
无论X的值是多少,我们总是创建一个回文方块。
如果我们用111替换11,情况也是如此
111+X_零+091+X_零+111
我仍在研究边界值,而不是11或111。
像1011和1101这样的边界看起来也很有希望。。。


存在第二个有希望的CORE编号。它是09901它出现在[131], [219], [229], ....

[131] 10109901101
[219] 1010099010101
[229] 1011099011101
[346] 100110990111001
[354] 101000990100101
[364] 101010990110101
[536] 10010109901101001
[553] 10100009901000101
[563] 10100109901100101
[570] 10101009901010101
就目前而言,我无法发现其中的规律性……你能吗?
看起来这个CORE数字喜欢被101和数字0包围。
是的,它为我们提供了一种生产方法无限的再次回文方块:
101+X_零+09901+X_零+101


我认为第三个新的核心号码正在出现。。。它是0999001
当心

[340] 100109990011001
[531] 10010099900101001
[545] 10011099900111001

很有趣。让我们将这三个CORE编号排成一行:

091
09901
0999001
将模式扩展到下一个模式会得到9位数的CORE编号:
099990001
我们还观察到,CORE基数的长度随2而增加,因此其各自的平方长度随4而增加。
由于表中已经显示了长度为33的所有CORE数字,我们必须至少在两边加上5位数字
长度为19的基数。让我们尝试一些组合:
1000009999000100001不产生回文方块,但
1000109999000110001[792]会产生一个回文方块!
通过玩漂亮的图案,我们发现了更多的回文方块。
精彩的!


大卫·W·威尔逊在我停下的地方把线接起来。
阅读他发给我的关于这些核心“伪回文”的帖子
[1998年2月16日].

如果我们允许一个数字“n个“有价值”–1“,那么091等于回文1n个1
而09901=10n个01, 0999001 =100n个001等。因此

10109901101 =10110n个01101= [131]
是一种“假回文”。当我们摆正它时,瞧
10110n01101号x 10110n01101号-----------10110n01101号10110n01101。。10110n01101。。。n0nn010nn0n。。。。。10110n01101。。。。。。。10110n01101。。。。。。。。10110n01101。。。。。。。。。。---------------------102210100272001012201
我们得到了一个回文,因为各行的和恰好位于0到9之间(包括0和9)。
这是一个回文方块族:
111n个1112= 11091112=1230127210321= [90]
101010n个0101012= 10100990101012=1020300010207020100030201= [219]
100100100n个0010010012= 10010009990010010012=1002003000001002007002001000003002001= [812]
等等。
我想你明白了。家庭是无限的,家庭也是无限的
1111n个11112= [90]
10101010n个010101012= [570]
等等。
事实上,任何带有回文方块的伪回文都可以散布等量的零
用回文方块生成另一个伪回文。



矩形单击此处显示路德 完整列表长度不超过31。
矩形单击此处显示路德 零星列表所有这些方形回文(SSP)。
矩形单击此处显示路德 子集回文方块。三个类别。


更多图案

那么这个重复的项目模式呢3069
这是用一个截取的圆形版本来完成的,即3307...

[4]3
[14]307
[31]3069 3
[56]3069 307
[95]3069 3069 3
[161]3069 3069 307
[263]3069 3069 3069 3
每次长度增加2
得到的正方形的长度增加了4。
所以,从逻辑上讲,下一个应该是30693069306.393069307,但唉。。。正方形是不是回文!
哦,它不可能每次都工作!在[1997年1月5日]这个未遂事件出现在我的
电脑屏幕:3069系统当然知道如何安慰我。。。

3069发生位移十的幂所以这个数字最接近(可能)素数到这些轴:

101001——3069是最大的素数1001数字

101001——3069
105068——3069
107565——3069
1019217——3069
1028898——3069
 101555+3069
102399+3069
105016+3069
105063+3069
109896+3069


从不奇数或偶数 左(_left) 请倒读标题!

看起来,像样的、充分随机的、类似非模式的、不可预测的非趋势性基数变得非常罕见。
在表格中(请参阅完整列表或子集),我在侧边单元格中使用浅蓝色背景突出显示了它们。
即使如此,也可以进一步区分。考虑一下即使古怪的一分钟的长度值。
偶数长度的零星回文方形只是普通的少数。到目前为止,我只能列出二十其中之一。
这些在表中通过侧单元格中的海蓝宝石背景色突出显示。

得分“子集E”=22


“几乎”解决了一个非常古老的问题,即:圆的平方(pi=31415….)
莫雷兰德PI欢迎PALINDROMES(宫殿)

[415]   314155324482867


这个基数以数字2201开头,这是(对我来说)唯一已知的非溯源性基数
一个回文立方体!2201的立方等于10662526601.

[481]   2201019508986478


这是另一个有吸引力的但有限的,有限的展开以数字1开始,其中重复添加01。
出现以下系列:
底座方形
11
10110201
10101102030201
10101011020304030201
10101010110203040504030201
10101010101102030405060504030201
10101010101011020304050607060504030201
10101010101010110203040506070807060504030201
10101010101010101102030405060708090807060504030201(°见下文推测)
1010101010101010101010110203040506070809100908070605004030201 =安静无回文!


确认
10101010101010101的确生成的最小整数
回文正方形102030405060708090807060504030201
这也是pandigital(包含所有十位数字)。

这里是一个谈论名人的好地方推测谁也没有
可以证明或反驳超过80年。
我必须感谢基思感谢你通过电子邮件让我知道这个事实。
迈克听说这个推测来源于
L.E.迪克森很有名《数论史》.
有权访问此来源的人可以确认这一点吗?

历史:
我的表格详尽地列出了长度为31的所有回文方块。
我还列出了所有长度为32的回文方块。
回文方块 '甚至“大自然”在唱片中也很受欢迎
打破提交者。他们告诉我,“偶数”长度32没有间隙!
所以,事实上我只检查了长度33。。。
我检查了从1、5和9开始的所有方块!
(以及以数字4和6开头的50%)。
我总共收集了151个以数字1开头的回文方块。
对我来说,迪克森的号码真不走运102030405060708090807060504030201
(101010101010101012) [572]是86第个一个。不管怎样,在检查了这86个方块之后
我可以自豪地宣布,这个猜想终于被证明了[1998年5月3日].
第二小的数字[633]符合这些规则的是这个(同样长度为33):
118431915157648212=140261185279083838380972581162041.


bu17号机组 斯隆A001110号给出两个都是的第一个数字正方形和三角形.
136122541616141372148024900, ...
也请咨询魏尔斯史甸的页面方形三角形数

bu17号机组 斯隆A036353号给出两个都是的第一个数字正方形和五角形.
19801941094019036384588018676736387298001, ...
也请咨询魏尔斯史甸的页面方形五角数.

bu17号机组 斯隆A036354号给出两个都是的第一个数字方形和七边形.
18159292307361168662169123287712254797839017609, ...
也请咨询魏尔斯史甸的页面方形七元数.

bu17号机组 斯隆A036428号给出两个都是的第一个数字正方形和八角形.
12254368184739211643897025, ...
也请咨询魏尔斯史甸的页面方形八角数.

bu17号机组 斯隆A036411号给出两个都是的第一个数字正方形和非对角线.
19108982819781217436529, ...
也请咨询魏尔斯史甸的页面方形非对角数.


阿兰·贝克斯(电子邮件)也给了一些以12为底的回文方块。
链接到除基数10以外的回文数



披露的来源


尼尔·斯洛恩“整数序列”可以在线查阅百科全书:
尼尔·斯隆的整数序列
正方形分类如下:
%N个正方形:a(n)=n^2。在下面A000290型
回文方块按以下方式分类:
%N个方形是回文。在下面A002778号
%N个回文正方形。在下面A002779号.

%N个数字n,使得n^2是零星类型的回文方形。在下面A059744号
%N个零星类型的回文正方形。在下面A059745号.

单击此处查看作者的[P.德吉斯特]表中的条目。
单击此处查看表中关于回文.


了解如何想象正方形的“结构”的另一种方法是跟随这些地点:

方形 熟悉SQUARES-by理查·菲力普斯
平方数字发件人魏尔斯史甸的数学百科全书
问数学博士 有人给了我不同的数字来求的平方根,包括14641。
我的答案是121。这方面的特别之处在于两个数字都可以读取
从左到右与从右到左相同。你知道其他数字吗
数字和它的平方根都是这样的吗?


一个非常有趣的网页威廉·雷克斯·马歇尔(1930-2010)被命名为“回文方块”
并概述了截至2001年5月28日已知的前67个回文方块。
还揭示了迈克尔·基思(Michael Keith)在1990年的JRM中对这些方块的分类。
http://www.geocities.com/williamrexmarshall/math/palsq.html(已存档)

第二高的(3069306930693[263])复制自马丁·加德纳的书“矛盾的宇宙”
见第40页。

另一个来源“好奇有趣的数字”通过大卫·威尔斯,第185页,给我提供了基数798644[37].

在上网的时候,我遇到了德夫林所有适合打印的数学.
在第17、75和110章中,他印刷了一些从其他读者那里得到的回文方块。
源于他的出版物的最高版本是6360832925898[264].

古斯塔夫斯·西蒙斯发表了一篇关于回文方块的文章《休闲数学杂志》
J.Rec.数学。,3(1970年第2期),93-98,标题为“回文权力”。
OEIS来源(带注释的扫描件)https://oeis.org/A002778/A002778_2.pdf

古斯塔夫斯·西蒙斯发表了一篇关于回文方块的文章《娱乐数学杂志》
第5卷,第1期,1972年,第11-19页,标题为“非正态数的回文平方”。
OEIS来源(带注释的扫描副本)https://oeis.org/A002778/A002778.pdf

基思(电子邮件) (网站)发表了一篇关于回文方块的文章《娱乐数学杂志》
第22卷第2期,第124-132页,标题为“回文方块的分类和计数”,
后面是一篇文章查尔斯·阿什巴赫第133-135页,“更多关于回文方块的内容”。
OEIS来源(带注释的扫描副本)https://oeis.org/A002778/A002778_1.pdf

我找到了冯媛的记录回文平方55数字[3992]在以下存档博客中
http://blogs.msdn.com/fyuan/archive/2008/01/31/sts-a-palindromic-word-i-will-remember.aspx

杜德尼,作者“536个困惑和好奇的问题”(最初出版于1967年),专用短篇
回文平方数的谜题,即“算术和代数问题”一章中的谜题112:
这是一个值得研究的奇怪课题——寻找平方数它的数字前后读都一样。其中一些是很容易找到。例如,1、11、111和1111的平方分别是-总计1、121、12321和12342321,所有回文,该规则适用于任何如果数字不超过9,则为1的数字。但是在那里我们可以称之为不规则的其他情况吗,比如264的平方=696962285的平方=5221225。
 
现在,我给出的所有示例都包含一个古怪的位数。可以读者会发现方形回文中包含即使数字的数量?答案836的平方是698896,其中包含偶数位数和前后读一样。没有更小的平方数con-包含偶数个数字的回文。

Jean-Marie De Koninck公司,作者“那些迷人的数字”(最初于2008年以法语出版
“法定法院”),显示了数字26的有趣属性:
不是回文但其平方是回文的最小数-单峰;回文是一个从左侧读取的数字从右边;满足该属性的前十个数字n如下所示:
n个n个2 n个n个2
26
264
307
836
2285
676
69696
94249
698896
5221225
 2636
22865
24846
30693
798644
6948496
522808225
617323716
942060249
637832238736









[向上的 页面顶部]


(©保留所有权利)-上次修改日期:2024年2月27日。

Patrick De Geest-比利时旗帜-短生物-一些图片
电子邮件地址:pdg@worldofnumbers.com网站