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圆形素数
主页素材 回文素数 波动底漆 回文翼首字母 声誉及其主要因素

很明显循环素数只包含数字1,三,7和9.
一位数素数2和5是唯一的例外。
在表的最右边一列，我把由混合物构成的给定长度的素数的总数
这四个数字中的一个。只有这些组合符合条件的成为一个循环素数，无论机会有多小。
到达数字末尾的偶数显然会使数字合成。
以5结尾显然使这个数字可以被5整除。
还提到，如果没有发现循环素数-未遂事件-这意味着只有一个组合失败了。
当允许数字2、4、5、6和8时，存在更多未遂事件。但这超出了本网页的范围(A270083型).
(卡洛斯·里维拉更详细地检查了我们的案例（只有数字1、3、7和9）：参见斯隆的A045978号).

从统计数据来看，随着长度的增加，我似乎不太可能发现更多的它们14.
一个是否存在于长度之上14，这个数字很有可能在理论圈内成名。
这可能是个好主意德夫林要考虑的话。
我引用了他的书所有适合打印的数学，第97章：

“例如，有所谓的可置换素数。这些是保持质数的质数
当你按照任何顺序重新排列他们的数字时，你可以。例如，13是一个可置换素数，因为
13和31都是质数。此外，113是一个可置换素数，因为它和每个数字131和
311是质数。据了解，在合理范围内只有7个这样的数字（小于约
事实上，4后面是467个零）。你现在认识其中两个人了。找到其他五个。"

约翰·肖德(电子邮件)通知了我[1997年8月18日]那个重定素数也是循环素数根据定义
如上所示。这些再生数字的每一个“排列”都会产生一个质数，这意味着它们的数字的任何排列
结果是质数。他承认，它们是微不足道或“明显”的循环，但它们也同样合格。
事实上，他是对的，因此我将他们列入下一个表格。到目前为止，只有五个重单位素数是已知的：
R2级,19兰特,第23列,317兰特和1031兰特（请参见斯隆的整数序列百科全书）。
最后一个是威廉姆斯和杜布纳于1986年发现的。
此外，这些重排素数是回文的，所以你和我网站的其他部分有联系。
因此我可以谈谈循环回文素数.

陈华熙的(电子邮件) 贡献 [2008年7月11日]

我在找到这篇文章http://primes.utm.edu/: 网址：http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/archive_in_pdf/Absolute_Primes.pdf 证明（实际上是重新汇总）n位可置换素数（不包括重单位）不存在 对于3<n<6*10^175事实上，大可置换素数的存在与分布有关 其中10是素数的本原根。 (注释由山口俊雄给我的读者[2011年1月23日]   循环素数不同于置换素数！ 可置换素数是循环素数的子集。   圆形素数: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933   可置换素数: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337)

大卫·W·威尔逊(电子邮件)在让我知道没有循环素数长度的10,11和12:
“从统计的角度来看，如果有更多的循环素数存在，我会非常惊讶。粗略分析:"

使用估计值n/log（n）素数<=n，我们可以估计大约有10^d/log（10^d）
d位数素数（这个估计值偏高，因为它包含少于d位数的素数）。
因此，一个d位数是素数的概率大约是1/log（10^d）.

除重单位以外的d位循环素数必须通过循环生成d个不同的值。
根据上述估计，这些d值都是素数的概率大约是（1/log（10^d））^d,
应该有p=10^d/（对数（10^d）^dd位循环素数。

对于各种d，p的值为：

1   4.342944819032518276522   4.715292425290348230513   3.033815527205628977974   1.389623916000033390555   0.494392114085562318206   0.143813072704905757837   0.035383753347896431588 0.007543182140309640069   0.0014186531174712638910  0.00023869488522460123

这个论点显然很不精确，但我认为总的结论是正确的，
即d位非重复单位循环素数的期望值
接近0随着d的增加。

打开[2000年8月13日]沃尔特·施耐德(电子邮件)，决定在那里的作者
没有新的循环素数的长度17,18和19,
亲切地写了一些解释性说明，从而澄清了他使用的方法和工具。

"我认为我搜索循环素数的程序是非常明显的。
长度为n的圆形素数的主要步骤是：

1递归生成长度为n的所有可能字符串。

只需考虑数字1、3、7和9。我使用字符串
（不是数字），因为这要快得多。因为我们只搜索
在每个循环中，递归可以通过一些简单的方法来加速
测验。例如，数字2到n不能小于第一个数字。
（因此，当第一个数字是1时，大部分运行时间都被占用了！）

2对于中生成的每个字符串1长度n决定整个循环
并测试原始字符串是否是循环中的最小字符串。请注意
我们仍然使用字符串而不是数字。

三。对于循环中的每个字符串，将该字符串转换为一个大整数
测试一个小因素。我使用LiDIA bigint库并生成
所有小于100的素数的可除性检验。

4这一步留下的数字不多。对于循环中的每个数字
进行费马测试。

正如你所见，我的搜索程序没有什么特别之处。关键事实之一
我认为是使用字符串而不是数字的快速生成，以及步骤3中的快速测试。”

重新评价主要因素

声誉——E.W.Weisstein

REP-UNIT和REP-DIGIT

尼尔·斯洛恩的“整数序列”可以在线查阅百科全书： 尼尔·斯隆的整数序列 关于循环（循环）素数的十进制条目如下： %N个形式的素数（10^n-1）/9 （接下来的术语是n=317、1031、49081、86453、109297、270343、5794777、8177207）。在下面A004022号. %N个（10^n-1）/9是素数（素数重指数）。在下面A004023号. %N个循环素数（数字循环移位时保持素数的最小数字元素）。在下面A016114号. %N个使每个循环置换都是质数的数字。在下面A068652号. %N个不重复的循环素数。在下面A293663型. %N个具有非递减数字的数字，使得每个循环移位都是质数。在下面A263499号. %N个这样的底漆 （a）数字的反转给出质数， （b）删除任何数字即为素数，以及 （c）颠倒数字并删除任何数字即为素数。在下面A055604型. %N个回文素数是“近距离循环素数”（所有数字都小写）。在下面A045978号. %N个未遂循环素数（所有数字均为小写）。在下面A270083型. 关于数字排列的10个基本条目如下： %N个每个数字的排列都是质数。在下面A003459号. %N个每个数字的排列都是一个素数，至少有两个不同的数字在下面A129338号. %N个每个数字的排列都是一个素数（最小元素）。在下面A258706型. 关于主题的n个基本条目如下： %N个最大的非倒数base-n循环素数（推测）。在下面A293142型. %N个最大的非正则基-n可置换素数（推测的）。在下面A317689型. 单击此处查看作者的[P.De Geest先生]表中的条目。 单击此处查看表中关于回文.

圆形素数从“主要词汇表”.

存在一次未遂事件733793111393素数337931113937素数379311139373素数793111393733素数931113937337素数311139373379素数111393733793素数113937337931素数139373379311素数393733793111素数937337931113素数但是373379311139= 23 * 53 * 306299681

33191合格素数存在一次未遂事件913311913素数133119139素数331191391素数311913913素数119139133素数191391331素数913913311底漆139133119素数但是391331191= 29 * 131 * 239 * 431

9177合格素数存在一次未遂事件71777393素数17773937素数77739371素数77393717素数73937177素数39371777素数93717773素数但是37177739= 29 * 683 * 1877

2709合格素数存在两次未遂事件a） 9197777素数1977779素数9777791底漆7777919素数7779197素数7791977素数但是7919777= 83 * 95419b） 9991313素数9913139素数9131399素数1313999素数3139991素数1399913素数但是3999131=17*235243

757合格素数

249合格素数

63合格素数

30合格素数

10合格素数

三合格素数4如果1被视为素数（除了2和5）

其他底座上有圆形底漆的桌子
演示者陈新耀

	其他碱基b（b≤12）中的圆素数和重数除外 （使用A−Z表示数值10到35）
底座2	不存在
底座3	2, 12, 21
底座4	13, 31, 113, 131, 311, 11333, 13331, 31133, 33113, 33311
基础5	12, 21, 23, 32, 34, 43, 1132, 1321, 1424, 2113, 2414, 3211, 4142, 4241, 13234, 14444, 23413, 32341, 34132, 41323, 41444, 44144, 44414, 44441
底座6	15, 51, 155, 515, 551
基数7	2, 3, 5, 14, 16, 23, 25, 32, 41, 52, 56, 61, 65, 142, 155, 166, 214, 245, 421, 452, 515, 524, 551, 616, 661, 1165, 1253, 1325, 1444, 1543, 1651, 1655, 2326, 2513, 2531, 2564, 2623, 2656, 3125, 3154, 3251, 3262, 4144, 4256, 4315, 4414, 4441, 4555, 5116, 5132, 5165, 5312, 5431, 5455, 5516, 5545, 5554, 5626, 5642, 6232, 6265, 6425, 6511, 6551, 6562,11515、15115、15151、15652、21565、36644、43664、44366、51151、51511、52156、56521、64436、65215、66443、125452、141544、154414、212545、254521、414154、415441、441415、452125、521254、544141、545212、1255165、1651255、2546455、2551651、4552546、4645525、5125516、5165125、5254645、5464552、5516512、5525464、6455254、6512551、13416163、14445665， 16163134, 16313416, 31341616, 34161631, 41616313, 44456651, 44566514, 45665144, 51444566, 56651444, 61631341, 63134161, 65144456, 66514445, 1216414336, 1433612164, 1641433612, 2164143361, 3361216414, 3612164143, 4143361216, 4336121641, 6121641433, 6414336121, 124464346432, 212446434643, 244643464321, 321244643464, 346432124464, 432124464346, 434643212446, 446434643212, 464321244643, 464346432124, 643212446434, 643464321244
底座8	2, 3, 5, 7, 15, 35, 37, 51, 53, 57, 73, 75, 1137, 1317, 1357, 1371, 1713, 1775, 3171, 3337, 3373, 3571, 3711, 3733, 5177, 5713, 7113, 7131, 7135, 7333, 7517, 7751, 137717, 155753, 171377, 315575, 377171, 531557, 557531, 575315, 713771, 717137, 753155, 771713, 17575733, 31757573, 33175757, 57331757, 57573317, 73317575, 75733175, 75757331
基数9	2, 3, 5, 7, 12, 14, 18, 21, 25, 41, 47, 52, 74, 78, 81, 87, 122, 175, 212, 221, 254, 278, 425, 517, 542, 751, 782, 788, 827, 878, 887, 1288, 1477, 1772, 1857, 2177, 2285, 2852, 2881, 4555, 4771, 5228, 5455, 5545, 5554, 5718, 7147, 7185, 7217, 7714, 7721, 7778, 7787, 7877, 8128, 8522, 8571, 8777, 8812, 12815, 15128, 15272, 21527, 27215, 28151, 51281, 52721, 55777, 57775, 72152, 75577, 77557, 77755, 81512, 121278, 124147, 127812, 128844, 144574, 144745, 145582, 147124, 181872, 187218, 212781, 214558, 218187, 224557, 227824, 241471, 242278, 245572, 247754, 274457, 278121, 278242, 288441, 412884, 414457, 414712, 422782, 424775, 441288, 445727, 445741, 447451, 451447, 455722, 455821, 457274, 457414, 457577, 471241, 474514, 477542, 514474, 542477, 557224, 558214, 572245, 572744, 574144, 575774, 577457, 582145, 712414, 721818, 722455, 727445, 741445, 744572, 745144, 745757, 754247, 757745, 774575, 775424, 781212, 782422, 812127, 818721, 821455, 824227, 844128, 872181, 884412, 5758778, 5877857, 7587785, 7785758, 7857587, 8575877,8778575
基数10	2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, 733, 919, 971, 991, 1193, 1931, 3119, 3779, 7793, 7937, 9311, 9377, 11939, 19391, 19937, 37199, 39119, 71993, 91193, 93719, 93911, 99371, 193939, 199933, 319993, 331999, 391939, 393919, 919393, 933199, 939193, 939391, 993319, 999331
底座11	2、3、5、7、12、16、18、21、27、29、34、3A、43、49、56、61、65、67、72、76、81、89、92、94、98、A3、117、139、171、193、1AA、236、269、319、335、353、362、364、36A、391、3A6、436、533、566、588、623、63A、643、656、665、692、6A3、711、7AA、858、885、913、926、931、A1A、A36、a6 3，A7A，AA1，AA7，1244，124A，1459，1569，1574，1875，2441，24A1，2597，2766、2777、2795、2948、34A4、3538、3574、37A7、3835、3A6A、4124、4157、434A、4357、4412、44A9、4591、4779、478A、4829、4A12、4A43、4A94、5187、5279、5383、5691、5741、5743、57A9、5914、5972、6276、6627、6915、698A、6A3A、7259、7277、737A、7415、7435、7518、7662、7727、7772、7772 94、78A4、7947、7952、7A73、7A95、8294、8353、8751、8A47、8A69、9145、，9156、944A、9477、9482、9527、957A、9725、98A6、9AAA、A124、A3A6、A434、A478、A698、A6A3、A737、A944、A957、A9AA、AA9A、AAA9、1989A、1A989、36774、43677、67743、74367、77436、7AAA、891A9、89A19、91A98、9891A、989A1、9A198、A1989、A7AAAA、A9891、AA7AA、AAA7A、AA7A、AA7、111743、112157、112465、115174、115334、116364、117431、121571、1217A8、124651、，125366、125515、12AA64、132263、134777、136977、137165、139347、139644、141429、141515、142914、14426A、144695、145782、145A92、146228、147674、14A882、151255、151415、151514、151741、153341、153372、155336、157112、157169、157989、157A4A、15A755、162956、163641、164226、165137、16543A、167663、167829、168862、169157、174115、174311、174933、，177A75、17A812、182198、18264A、184365、188965、18A783、18AA86、198182、198892、199479、199486、19A975、1A2736、1A29A7、1A664、1A7885、1A9692、214578、2145A9、214A88、215337、215711、216886、217A81、219818、219889、21A969、226164、226313、228146、228AA9、232A57、235247、238794、23967A、242A 94、244289、246511、247235、249877、25347A、253661、，255151、2585A3、261642、263132、264975、264A18、267A75、26A144、27332A、27361A、279779、27A336、27A868、281462、289244、289729、28AA92、291414、291678、292897、2945A3、295445、295537、295616、29A71A、2A2733、2A2A2A34、2A342A、2A5723、2A9424、2A99A3、2AA641、31174、313226、316766、317493、318A78、322 631、32585A、32945A、42A273、32A572、32A99A、，331749、332A7、334115、336155、33627A、337215、341153、342A2A、347139、347771、347A25、352472、354498、35A959、361553、361A27、3627A3、364116、364A97、365184、366125、367845、369771、371651、372153、372955、384477、387942、38A956、393471、396441、3967A2、397855、39A955、3A1654、3A3A3A87、3A 873A、411517、411533、411636、412AA6、413964、414291、，414767、415151、41A666、422616、423879、4242A9、426A14、428924、429141、42A2A3、42A942、431117、436518、43A165、441396、4426A1、442892、445295、446951、447738、449835、452954、453678、455775、457821、4584A8、45A329、45A921、462281、465112、467895、469514、46A788、471393、472352、476741、477 7384、477713、479199、47954A、479849、47A253、484979、，486199、48865A、48A4A5、493317、494798、497526、497948、498354、498772、4A157A、4A1826、4A4795、4A548A、4A8458、4A8821、4A9736、511246、512551、513716、514151、514469、515125、515141、515A75、517411、5177A7、518436、518896、519A97、51A788、524723、526497、5267A7、529544、533411、533615、533721、5347A2、536612、536784、537295、539785、539A95、，543A16、544529、544983、545577、546789、548A4A、54A479、551512、5515A7、553361、553729、553978、5539A9、556986、5576AA、557754、561629、5638A9、569865、571121、571691、57232A、575A88、576AA5、577545、577699、578214、579891、57A4A1、584A84、585A32、5935A9、5A3258、5A3294、5A4886、5A759 51、5A8857、5A9214、5A9593、5A9AA9、612536、615533、616295、，616422、618AA8、619948、61A273、621688、622814、627A33、629561、631322、631676、636411、638A95、641163、6412AA、641A66、642261、644139、649752、64A182、64A973、651124、651371、651843、651889、6543A1、655698、65A488、661253、663167、6641A6、66641A、674147、676631、678291、678453、678954、67A26 39、67A752、6827A8、688621、691571、6921A9、695144、，697713、698655、699577、6A1442、6A7884、6A86A9、6A96A8、6AA557、711215、713477、713697、713934、716513、716915、71A29A、721533、7232A5、723524、724987、729289、729553、7332A2、7361A2、7364A9、738447、73A3A8、741151、741476、743111、749331、75177A、7519A9、752649、75267A、75457、75515 A、75A885、766316、767414、769957、76AA55、771347、771369、，772498、773844、775455、776995、777134、779279、77A751、782145、782916、78318A、784536、785539、78846A、78851A、789546、791994、792797、794238、794849、7954A4、797792、798494、798915、7A2396、7A2534、7A3362、7A4A15、7A7517、7A726、7A8121、7A8682、81217A、814622、818219、821457、8214A8、821981、8264A1、827A86、829167、8318A7、835449、843651、，844773、845367、84584A、846A78、849479、849794、84A845、851A78、855397、8575A8、85A325、8618AA、861994、862168、865569、865A48、86827A、86A96A、873A3A、877249、879423、88214A、8846A7、8851A7、88575A、886216、8865A4、889219、889651、891579、892198、892442、895467、896518、897292、8A4A54、8A7831、8a 9563、8AA861、8AA922、914142、915716、915798、，916782、919947、92145A、921988、921A96、9228AA、924428、927977、928972、933174、934713、935A95、942387、94242A、945A32、947919、947984、948497、948619、951446、954452、954678、954A47、955372、95539A、956162、95638A、957769、95935A、95A9AA、964413、965188、967A23、96921A、96A86A、972928、979 364A、97519A、975264、977136、977927、978553、979484、，981821、983544、984947、986556、987724、988921、989157、994791、994861、995776、99A32A、9A32A9、9A71A2、9A9553、9A9751、9AA95A、A14426、A157A4、A16543、A18264、A23967、A25347、A27332、A27361、A29A71、A2A342、A32585、A32945、A32A99、A33627、A342A2、A3A873、A47954、A48865、A4A157、A4A5 48、A548A4、A5576A、A57232、A6412A、A66641、A71A29、A75177、，A75267、A75515、A78318、A78846、A78851、A81217、A84584、A8618A、A86827、A86A96、A873A3、A88214、A88575、A92145、A9228A、A94242、A95539、A95638、A95935、A95A9A、A96921、A96A86、A97364、A97519、A99A32、A9AA95、AA5576、AA6412、AA8618、AA9228、AA95A9、1156275A、11754793、13374526、13441815、14357845、15134418、156275A1、16287845、1744368A、17547931、，18151344、18823496、188384A7、19743492、19784657、1A523AA2、21974349、21A523AA、22496A8A、23496188、23AA21A5、2496A8A2、25A6A27、26133745、2678729A、2725A6A5、275A156、28784516、29478643、29A26787、31175479、32947864、3356444A、33745261、34418151、34921974、34961882、35444A3、35784514、36657969、36 895738、368A1744、37452613、37693939、37A49644、，38368957、38396479、384A7188、39376939、39393769、39647938、3AA21A52、41815134、43294786、43492197、43578451、4368A174、437A4964、44181513、44368A17、4437A496、444A3356、44A33564、45143578、45162878、45261337、45486987、46571978、47864329、47931175、47938396、48698745、49219743、49618823、4964 437A、496A8A22、4A335644、4A718838、51344181、51435784、，51628784、523AA21A、52613374、52725A6A、54793117、54869874、56275A11、56444A33、57197846、57383689、57845143、57969366、5A115627、5A6A5272、61337452、61882349、6275A115、62878451、64329478、64437A49、6444A335、64793839、65719784、65796936、66579693、678729A2、68957383、68A17443、6936579、693939 3937、69874548、6A52725A、6A8A2249、7188384A、71978465、，725A6A52、729A2678。。。，AA657365177398号
底座12	2、3、5、7、B、15、51、57、5B、75、B5、117、11B、171、175、1B1、1B7、517、711、71B、751、B11、B71、157B、555B、55B5、57B1、5B55、7B15、B157、B555、115B77、15B771、5B7711、7115B7、77115B、B77115
已知基2到6的数据是完整的，但基7到12的数据只是推测为完整的，仍然没有证据证明这些数据是真正完整的。

其他基中含有可置换素数的表
演示者陈新耀

	其他碱基b（b≤36）中的可置换素数，不包括重数 （使用A−Z表示数字值10到35）
底座2	不存在
底座3	2、12、21
底座4	2, 3, 13, 31, 113, 131, 311
基础5	2, 3, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 14444, 41444, 44144, 44414, 44441
底座6	2, 3, 5, 15, 51, 155, 515, 551
基数7	2, 3, 5, 14, 16, 23, 25, 32, 41, 52, 56, 61, 65, 155, 166, 515, 551, 616, 661, 1444, 4144, 4414, 4441, 4555, 5455, 5545, 5554, ...
底座8	2, 3, 5, 7, 15, 35, 37, 51, 53, 57, 73, 75, 3337, 3373, 3733, 7333, ...
基数9	2, 3, 5, 7, 12, 14, 18, 21, 25, 41, 47, 52, 74, 78, 81, 87, 122, 212, 221, 788, 878, 887, 4555, 5455, 5545, 5554, 7778, 7787, 7877, 8777, ...
基数10	2、3、5、7、13、17、31、37、71、73、79、97、113、131、199、311、337、373、733、919、991。。。
底座11	2、3、5、7、12、16、18、21、27、29、34、3A、43、49、56、61、65、67、72、76、81、89、92、94、98、A3、117、139、171、193、1AA、319、335、353、36A、391、3A6、533、566、588、63A、656、665、6A3、711、7AA、858、885、913、931、A1A、A36、A63、A7A、AA1、AA7、277、7277、7727、7772、9AAA、A9AA、AA9A、AAA9、7AAAA、A7AAA、AA7AA、AAA7A、AAAA7。。。
底座12	2、3、5、7、B、15、51、57、5B、75、B5、117、11B、171、1B1、711、B11、555B、55B5、5B55、B555。。。
底座13	2、3、5、7、B、14、16、1A、23、25、32、38、41、52、56、58、61、65、6B、7A、7C、83、85、9A、A1、A7、A9、B6、C7、11B、133、155、1B1、229、247、274、292、313、331、33B、388、3B3、427、472、515、551、724、742、779、78A、797、7A8、87A、883、8A7、922、977、A78、A87、B11、B33、4445、4454、4544、5444、6667、6676、6766、7666。。。
底座14	2、3、5、7、B、D、13、15、19、31、35、3B、51、53、59、91、95、9B、9D、B3、B9、BD、D9、DB、33D、3D3、D33、1119、1191、1911、9111。。。
基础15	2、3、5、7、B、D、12、14、1E、21、27、2B、2D、41、47、4D、72、74、78、87、8B、B2、B8、D2、D4、E1、1DD、227、272、44B、4B4、722、77D、7D7、B44、BEE、D1D、D77、DD1、EBE、EEB、1444、4144、4414、4441、7777D、777D7，7777。。。
基数16	2、3、5、7、B、D、17、1F、35、3B、3D、53、59、71、95、B3、BF、D3、F1、FB、115、11B、151、1B1、377、511、55D、5D5、737、773、7BB、B11、B7B、BB7、BDD、D55、DBD、DDB。。。
底座17	2、3、5、7、B、D、16、1E、23、2D、32、38、3A、45、4B、54、5G、61、6B、7C、83、8D、8F、9A、A3、A9、AB、B4、B6、BA、C7、D2、D8、E1、F8、G5、7AA、7GG、A7A、AA7、G7G、G7、6DDD、D6DD、DDD6。。。
基数18	2、3、5、7、B、D、H、1B、57、5D、5H、75、7D、B1、D5、D7、H5、11B、11H、1B1、1DD、1H1、55B、5B5、7BB、7HH、B11、B55、B7B、BB7、BBH、BHB、D1D、DD1、H11、H7H、HBB、HHH7、BDDD、DBDDDD、DDDB。。。
底座19	2、3、5、7、B、D、H、1A、1C、23、25、29、32、34、3A、3E、3G、43、47、4D、52、58、5C、5E、5I、74、7G、7I、85、8F、92、9A、A1、A3、A9、BE、BI、C1、C5、D4、DG、E3、E5、EB、EH、F8、G3、G7、GD、HE、I5、I7、IB、113、122、131、1CC、1FF、212、221、22D、29E、2D2、2E9、311、377、3AA、44B、4B4、737、773、77H、7H7、92E、9E2、A3A、AA3、B44、BFF、C1C、CC1、D22、，E29、E92、F1F、FBF、FF1、FFB、H77、2DDD、D2DD、DD2D、DDD2。。。
基数20	2、3、5、7、B、D、H、J、13、19、31、3B、3D、3J、7B、7H、91、9B、9D、9H、9J、B3、B7、B9、BD、D3、D9、DB、DH、H7、H9、HD、HJ、J3、J9、JH、33H、3H3、77D、7D7、D77、H33、1113、1119、1131、1191、1311、1911、3111、9111。。。
底座21	2、3、5、7、B、D、H、J、12、1A、1G、1K、21、25、2B、2H、2J、45、4D、52、54、58、85、8B、8D、A1、AD、AH、AJ、B2、B8、BK、D4、D8、DA、DK、G1、GH、H2、HA、HG、J2、JA、JK、K1、KB、KD、KJ、15B、188、1AA、1B5、1JJ、1KK、28D、2D8、51B、5B1、5BB、818、82D、881、8D2、A1A、AA1、B15、B51、B5B、BB5、D28、D82、J1J、JJ1、K1K、KK1、111G、11G1、1G11、444B、44B4、，4B44、B444、G111。。。
底座22	2、3、5、7、B、D、H、J、19、1F、1J、1L、35、37、53、5H、5L、73、7D、91、D7、F1、FH、FJ、H5、HF、J1、JF、L1、L5、155、1FF、33D、3D3、515、551、55J、5J5、77H、7H7、9JJ、D33、DFF、F1F、FDF、FF1、FFD、FFH、FHF、H77、HFF、J55、J9J、J9、333 H、33H3、3H33、H333。。。
底座23	2、3、5、7、B、D、H、J、16、1K、27、2F、3A、3K、49、4B、4F、4L、5C、5G、61、6J、72、7C、7I、7K、8D、8F、94、A3、AB、B4、BA、BG、C5、C7、D8、EF、F2、F4、F8、FE、FM、G5、GB、GL、HI、I7、IH、J6、JK、K1、K3、K7、KJ、L4、LG、MF、133、166、1AA、313、331、33D、3D3、49I、4I9、616、661、66H、6EF、6FE、6H6、94I、9I4、A1A、AA1、BBH、BHB、D33、DII、DJJ、E6F、，EF6，F6E，FE6，H66，HBB，I49，I94，IDI，IID，JDJ，JJD，2999，9299，9929，9992，BCCC，BIII，CBCC，CCBC，CCCB，IBII，IIIBI，IIIB。。。
基数24	2、3、5、7、B、D、H、J、N、1D、1H、1J、57、5B、5J、75、7B、B5、B7、BH、BJ、D1、H1、HB、HN、J1、J5、JB、JN、NH、NJ、155、515、551、77H、7H7、H77。。。
基数25	2、3、5、7、B、D、H、J、N、14、16、1G、29、2B、2N、34、3E、41、43、47、49、61、67、6D、6H、74、76、7I、7M、7O、8B、92、94、9E、9G、B2、B8、BI、CD、D6、DC、DM、DO、E3、E9、EH、G1、G9、GJ、GL、H6、HE、HI、HO、I7、IB、IH、JG、JO、LG、LM、M7、MD、ML、N2、O7、外径、OH、OJ、113、11N、122、131、18E、199、1BB、1E8、1N1、1NN、212、221、22L、289、298、2BO、，2GJ、2JG、2L2、2OB、311、3EE、77B、7B7、7OO、81E、829、892、8E1、919、928、982、991、9HH、B1B、B2O、B77、BB1、BO2、CCH、CHC、E18、E3E、E81、EE3、G2J、GJ2、H9H、HCC、HHH9、IIJ、IJI、J2G、JG2、JII、L22、MMN、MNM、N11、NM、NN1、O2B、O7 O、OB2、OO7、JMMM、MJMM、MMJM、MMMJ。。。
基数26	2、3、5、7、B、D、H、J、N、13、15、1H、1L、31、3N、3P、51、59、5J、79、7B、7F、7H、95、97、9N、B7、BL、BP、F7、FJ、H1、H7、HL、J5、JF、L1、LB、LH、LN、N3、N9、NL、P3、PB、117、11P、171、1P1、335、337、353、373、533、5BB、5LL、711、737 3、77J、7J7、B5B、BB5、J77、L5L、LL5、LLP、LPL、P11、PLL。。。
底座27	2、3、5、7、B、D、H、J、N、14、1A、1E、1G、1K、25、27、2D、2H、2P、41、45、52、54、5E、5M、72、78、7A、7M、87、8D、8H、8P、A1、A7、AB、AN、BA、BE、BG、D2、D8、DM、E1、E5、EB、G1、GB、GP、H2、H8、HK、K1、KH、KN、M5、M7、MD、MN、NA、NK、NM、P2、P8、PG、PQ，QP，1AE，1EA，1KK，22J，2J2，77H，7H7，A1E，AE1，E1A，EA1，H77，HMM，J22，K1K，KK1，MHM，MMH， 2225, 2252, 2522, 5222, ...
底座28	2、3、5、7、B、D、H、J、N、1F、1P、3D、3H、3N、59、5B、5R、95、9B、9J、9P、B5、B9、D3、DF、F1、FD、FJ、FN、H3、HN、HR、J9、JF、JP、N3、NF、NH、P1、P9、PJ、R5、RH、1BB、33N、3DD、3N3、55D、5D5、B1B、BB1、BDD、D3D、D55、DBD、DD 3、DDB、FFH、FHF、HFF、JJN、JNJ、JRR、N33、NJJ、NPP、PNP、PPN、RJR、RRJ。。。
底座29	2、3、5、7、B、D、H、J、N、12、18、1C、1I、21、23、29、2D、2P、32、3A、3E、3G、3M、3Q、4F、4L、56、5C、5M、65、6H、6J、6N、78、7K、7Q、81、87、89、8P、92、98、9M、A3、AH、AL、AN、BC、BS、C1、C5、CB、CJ、D2、DK、DO、E3、EF、EP、ER、F4、FE、FM、FQ FS、G3、GN、H6、HA、HS、I1、IJ、IP、J6、JC、JI、JK、JQ、K7、KD、KJ、L4、LA、LM、M3、M5、M9、MF、ML、N6、，NA、NG、NO、OD、ON、P2、P8、PE、PI、Q3、Q7、QF、QJ、RE、RS、SB、SF、SH、SR、16O、177、1AM、1MA、1O6、3DR、3RD、4GJ、4JG、61O、6KR、6O1、6RK、717、771、7DD、7II、7OO、88H、8H8、A1M、AM1、CCH、CHC、D3R、D7D、DDJ、DFF、DJD、DR3、EEH、EHE、FDF、FFD、G4J、GJ4、H88、HCC、HEE、HKK、I7I、II7、J4G、JDD、JG4、JOO、K6R、KHK、KKH、KR6、M1A、MA1、O16、，O61、O7O、OJO、OO7、OOJ、R3D、R6K、RD3、RK6、444F、44F4、4F44、F444。。。
基数30	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、17、1B、1N、71、7D、7J、7T、B1、BH、BN、BT、D7、DT、HB、J7、JN、N1、NB、NJ、T7、TB、TD、11B、1B1、1NN、7DD、7HH、B11、BBD、BDB、BDD、BTT、D7D、DBB、DBD、DD7、DDB、DJJ、H7H、HH7、JDJ、JJD、N1N、NN1、TBT、TTB、。。。
基数31	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、1A、1C、1M、25、29、2L、2R、34、38、3A、3G、43、52、5I、5Q、67、6B、6D、76、7A、7C、7G、7O、83、8L、8T、92、9E、9S、A1、A3、A7、AL、B6、BC、BI、C1、C7、CB、CP、CT、D6、DG、DI、DS、E9、EF、EN、FE、FQ、G3、G7、GD、GR、HU、I5、IB、ID、IJ、JI、JS、KN、KR、L2、L8、LA、LQ、M1、MR、NE、NK、NQ、NU、O7、PC、Q5、QF、QL、QN、R2、，RG、RK、RM、S9、SD、SJ、T8、TC、UH、UN、11H、11T、188、199、1H1、1NN、1T1、229、22F、292、2F2、55R、5CC、5R5、7DT、7QQ、7TD、818、881、919、922、991、99N、9GG、9N9、BKM、BMK、C5C、CC5、D7T、DT7、EEP、EPE、F22、FPR、FRP、G9G、G9、H11、HHJ、HJH、JHH、KBM、KMB、MBK、MKB、N1N、N99、NN1、NOO、ONO、OON、OPU、OUP、PEE、PFR、POU、PRF、PUO、Q7Q、QQ7、R55、，RFP、RPF、T11、T7D、TD7、UOP、UPO、555Q、55Q5、5Q55、777M、77M7、7M77、M777、Q555、14444、41444、44144、44414、44441、GGGGP、GGGPG、ggggg、。。。
底座32	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、V、1B、1L、1T、35、37、3D、3H、53、57、5D、5J、5L、5V、73、75、7F、9J、9P、9T、B1、BF、BL、D3、D5、DH、DR、F7、FB、FN、H3、HD、HR、J5、J9、L1、L5、LB、NF、NP、P9、PN、PT、RD、RH、T1、T9、TP、V5、33D、3D3、555 H、5H5、7PP、D33、H55、P7P、PP7、BDDD、DBDD、DDBD、DDDB、FVVV、RVVV、VFVV、VRVV、FVVRV、VVVF、VVVR。。。
底座33	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、V、1A、1E、1K、1Q、25、27、2D、2H、2N、4J、4P、52、58、5E、5Q、5S、5W、72、78、7A、7W、85、87、8H、A1、A7、AH、AN、AT、D2、DK、DS、DW、E1、E5、EP、ET、GJ、H2、H8、HA、J4、JG、JQ、K1、KD、N2、NA、NS、P4、PE、Q1、Q5、QJ、QT、S5、SD、SN、TA、TE、TQ、W5、W7、WD、227、22T、272、2T2、55D、5D5、722、88V、8V8、AAJ、AJA、ANW、，AWN、D55、EET、ETE、JAA、NAW、NWA、T22、三通、V88、WAN、WNA、111S、11S1、1S11、5SSS、777G、77G7、7G77、G777、S111、S5SS、SS5S、SSS5。。。
底座34	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、V、13、17、19、1D、1J、1R、1X、31、35、37、3P、53、59、5B、5L、5N、5T、71、73、7D、7J、7P、7V、7X、91、95、9B、9P、9V、B5、B9、BF、BR、D1、D7、DF、DJ、DL、DP、FB、FD、FV、J1、J7、JD、JR、L5、LD、N5、NR、NT、P3、P7、P9、PD、R1、RB、RJ、RN、RT、T5、TN、TR、TX、V7、V9、VF、VX、X1、X7、XT、XV、33N、3BB、3N3、5JN、5NJ、77X、，7X7、99J、9BB、9J9、9PP、B3B、B9B、BB3、BB9、BLX、BXL、DDN、DDR、DLV、DND、DRD、DVL、FRT、FTR、J5N、J99、JN5、LBX、LDV、LVD、LXB、N33、N5J、NDD、NJ5、P9P、PP9、RDD、RFT、RTF、TFR、TRF、VDL、VLD、X77、XBL、XLB、1JJ、5777、7577、7757、7777 75、7DDD、D7DD、DD7D、DDD7、J1JJ、JJ1J、JJJ1、JPPP、PJPP、PPJP、PPPJ。。。
底座35	2、3、5、7、B、D、H、J、N、T、V、12、16、18、1C、1I、1Q、21、23、29、2D、2R、2V、32、38、3M、3W、3Y、4B、4H、4N、61、6D、6H、6N、6T、6V、81、83、8D、8R、8V、8X、92、9G、9W、B4、BC、BG、BY、C1、CB、CD、CJ、D2、D6、D8、DC、DO、G9、GB、GX、H4、H6、HI、HM、HO、I1、IH、IN、IT、IV、JC、JQ、M3、MH、MR、N4、N6、NI、NO、NY、OD、OH、ON、Q1、QJ、QR、R2、R8、，RM、RQ、T6、TI、V2、V6、V8、VI、VW、W3、W9、WV、WX、X8、XG、XW、Y3、YB、YN、11V、19R、1CC、1DD、1R9、1V1、22T、2T2、33D、33N、36Y、3D3、3N3、3Y6、63Y、6JO、6OJ、6Y3、88B、88N、8B8、8N8、91R、99D、9D9、9R1、B88、BBH、BHB、BQQ、BRQ R、C1C、CC1、D1D、D33、D99、DD1、GJM、GMJ、HBB、J6O、JGM、JMG、JO6、JRR、JVV、JYY、MGJ、MJG、MMV、MVM、N33、N88、NWW、，NXX、O6J、OJ6、OOV、OVO、QBQ、QQB、R19、R91、RBR、RJR、RRB、RRJ、T22、V11、VJV、VMM、VOO、vvvj、VXX、WNW、WWN、XNX、XVX、XXN、XXV、Y36、Y63、YJY、yyyj、222J、22J2、2J22、J222、J222、MMMT、MMTM、MTMM、TMMM。。。
底座36	2，3，5，7，B，D，H，J，N，T，V，15，1B，1H，1N，1V，51，5B，5H，7H，7J，7P，7T，7V，B1，B5，BD，BN，BP，DB，DV，H1，H5，H7，HJ，HT，HZ，J7，JH，JP，JZ，N1，NB，NZ，P7，PB，PJ，PT，T7，TH，TP，V1，V7，VD，VZ，ZH，ZJ，ZN，ZV、155、1JN、1NJ、515、551、5DD、77D、7D7、BBV、BDD、BHJ、BJH、BVB、D5D、D77、DBD、DD5、DDB、DDZ、DJJ、DZD、DZZ、HBJ、HJB、J1N、，JBH、JDJ、JHB、JJD、JJV、JN1、JVJ、N1J、NJ1、VBB、VJJ、ZDD、ZDZ、ZZD、BBBT、BBTB、BTBB、TBBB。。。
在基数10和基数12中，以及所有基数≤10和所有偶数基数≤32的情况下，每个可置换素数都是重单位或近repdigit，即它是整数P（b，n，x，y）=xxxx的置换。。。xxxyb（n个数字，以b为基数），其中x和y是与b互素的数字。此外，x和y也必须是互素（因为如果有素数p除以x和y，那么p也除以这个数），所以如果x=y，那么x=y=1（这并非在所有的基中都是正确的，但在任何给定的基中例外都是罕见的，并且可能是有限的）。
定理：设P（b，n，x，y）是基b中的可置换素数，且P是n≥P的素数。如果b是a基本根如果p不除以x或x-y，则n是p–1的倍数。（因为b是一个基元根mod p，并且p不除以|x−y|，所以p编号为xxxx…xxxy，xxxx…xxy，…，xxxx？xyxx…xxxx（只有b^（p−2）数字是y，其他数字都是x），xxxx。。。yxxx。。。xxxx（只有b^（p−1）数字是y，其他数字都是x），xxxx。。。xxxx（带有nx的repdigit）mod p都不同。也就是说，一个是0，另一个是1，另外一个是2。。。，另一个是p−1。因此，因为第一个p−1数字都是素数，所以最后一个数字（带有n x的repdigit）必须可以被p整除。因为p不除以x，所以p必须用n 1除以单位。因为b是基元mod p，所以n mod p的乘法顺序是p−1。因此，n必须可以被p−1整除）
因此，如果b=10，与10互素的数字是{1，3，7，9}。因为10是一个本原根mod 7，所以如果n≥7，那么7可以除以x（在这种情况下，x=7，因为x∈{1，3，7，9}）或|x−y|（在这种情形下，x=y=1，因为x，y∈{1,3，7和9}。也就是说，素数是重单位）或n是7−1=6的倍数。类似地，因为10是一个本原根mod 17，所以如果n≥17，那么17除以x（不可能，因为x∈{1,3,7,9}）或|x−y|（在这种情况下，x=y=1，因为x，y∈{1,3,7,19}，也就是说，素数是重单位）或n是17−1=16的倍数。此外，10也是一个本原根mod 19，23，29，47，59，61，97，109，113，131，149，167，179，181，193。。。，所以n≥17是不可能的（因为对于这个素数p，如果n≥p，那么n可以被p−1整除），如果7≤n<17，那么x=7，或者n可以被6整除（唯一可能的n是12）。如果b=12，与12互素的数字是{1，5，7，11}。因为12是一个本原根mod 5，所以如果n≥5，那么5除以x（在这种情况下，x=5，因为x∈{1，5，7，11}）或|x−y|（在这种情形下，x=y=1（也就是说，素数是重单位）或x=1，y=11或x=11，y=1，y=1，因为x，y∈{1,5，7和11}。）或者n是5−1=4的倍数。类似地，因为12是一个本原根mod 7，所以如果n≥7，那么7除以x（在这种情况下，x=7，因为x∈{1，5，7，11}）或|x−y|（在这种情形下，x=y=1，因为x，y∈{1,5，7,11}，也就是说，素数是重单位）或n是7−1=6的倍数。类似地，因为12是一个本原根mod 17，所以如果n≥17，那么17除以x（不可能，因为x∈{1，5，7，11}）或|x−y|（在这种情况下，x=y=1，因为x，y∈{1,5，7,11}。也就是说，素数是重单位）或n是17−1=16的倍数。此外，12也是一个本原根mod 31，41，43，53，67，101，103，113，127，137，139，149，151，163，173，197。。。，所以n≥17是不可能的（因为对于这个素数p，如果n≥p，那么n可以被p−1整除），如果7≤n<17，那么x=7（在这种情况下，因为5不除以x或x−y，所以n必须可以被4整除）或者n可以被6整除（唯一可能的n是12）。

大卫·W·威尔逊(电子邮件)确定长度没有圆形素数10,11和12.

达伦·史密斯(电子邮件)威斯康星州密尔沃基市的研究人员确定，长度不存在圆形素数13,14,15和16.

沃尔特·施耐德(电子邮件)确定长度没有圆形素数17.
他的奔腾III 550兆赫的总运行时间为14小时。
三天后，也没有确定长度18.
总运行时间为2天。
最后[2000年8月10日]  沃尔特确定Repunit19兰特是长度唯一的圆形素数19.

[2002年4月11日]
沃尔特·施耐德(电子邮件)改进了他的搜索程序 循环素数
相当多，并使用它来搜索循环素数
数字长度20和21。未找到解决方案。
奔腾3 550Mhz的运行时间为19小时20数字
还有几天21数字。

[2008年7月11日]
陈华熙(电子邮件)做出了重要贡献-转到主题

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Patrick De Geest-比利时-简短的个人简历-一些图片
电子邮件地址：pdg@worldofnumbers.com

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