“每一次革命首先都是一个人的思想。”

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋-拉尔夫·瓦尔多·爱默生,1870年






|分形蚀刻|康托集|皮亚诺曲线|希尔伯特曲线|科赫曲线|帕斯卡三角形|龙曲线|有限段|


 


很久以前拉克尔曾经被放下来无论是纸质的,甚至是口头的,它的形式在革命者的头脑中形成了数学家。 这些革命者超越欧几里得几何学描述的世界用直线、平面和圈子。 他们把目光投向了更广阔的世界大自然——一个用纹理、分枝和裂缝来定义其众多的世界复杂的对象。

 


图3.1基本线性分形。

 


魏尔斯特拉斯,康托,皮昂卡,皮亚诺,希尔伯特,科赫,席尔宾斯基和豪斯多夫是数学家,他们设想数学与传统描述不同的形状。这些物品经常被提及至于无神论的怪物,病理方程和可敬的瘟疫 功能 [1] .通过他们的工作经常与传统方法相悖,这些不墨守成规的人变得丰富起来数学不可估量。今天,我们来看看他们发现的分形作为“经典”或“线性”分形。线性分形,我们将在本章中看到的,是从不断重复中得到的图案通常以相应的尺寸缩小而产生。

分形蚀刻 [2] :探索分形几何的工具 (顶部)

 

去探索这些经典fractals,我们用FractaSketch, 1包括在本书中的Macintosh程序。 FractaSketch允许您快速设计和绘制线性分形极其复杂的形状。 数字您可以生成从对称和规则结构到模式的范围这看起来完全是随机的。在本节和后续章节中,您将学习绘制各种不同类型的分形。当你学会为了构建它们,你将对它们的结构有一个了解。

 

在FractaSketch中创建分形由两部分组成。

 

牋牋牋牋牋首先,创建一个模板,它是一系列的线用鼠标输入的段。原来是这个形状种子分形的。每条线段选中,具有将替换每条线的缩放种子的方向在程序层面。线的方向是从“绘制”中选择的“命令”位于每个模板的底部通过双击最后绘制的点或选择“完成”完成从“编辑”菜单。模板现在可以查看分形了在不同的层次。

 


图3.2 FractaSketch绘制具有线方向的模板。

 


牋牋牋牋牋其次,你选择了哪一个不同的替换级别你想看看。这是通过在底部选择适当的框来完成的或选择要查看的“级别”“绘图”菜单。

 

 


图3.3选择不同生长水平的种子。

 

 


使用FractaSketch,您将以图形化的方式快速观察分形是如何从种子中生长出来的, 变成一个复杂的自相似结构。 图3.4显示了分形的种子,以及图3.5显示了3级置换后的分形。

 

 


图3.4污渍玻璃种子。

 

 



图3.5分形染色玻璃.

 


这是一个埃塞俄比亚的十字架3.6与图3.5中创建的分形非常相似。

 


图3.6埃塞俄比亚文十字架。

 


程序还计算正是分形维数。你会记得在第二章,分形不一定像传统的那样是一维或二维的直线和平面。在FractaSketch中,复制的维度和层次显示在屏幕顶部的菜单栏中。参见第4章关于计算自相似对象维数的信息。

开始FractTaskEtch

 

如果你还没有所以从软盘上加载FractaSketch程序并将其复制到电脑硬盘。在没有硬盘的旧系统上,应该制作一份工作副本供个人使用。

 

 


图3.7 FractaSketch程序文件夹。

 



图3.8 FractaSketch程序图标。

 



图3.9 FractaSketch以前生成的分形文件。

 


要开始使用FractaSketch,双击FractaSketch中的FractaSketch程序图标文件夹以及预生成的分形文件(参见图3.7、图3.8以及图3.9)。这将打开FractTaskEtch绘图托盘(见图3.10节)。

 

现在您可以创建你自己的分形。

 


图3.10FractaSketch绘图托盘和十字线绘图光标。

 


启动新调色板

 

如果你犯了一个错误,去撤销单步从“编辑”菜单中选择“撤消”。如果你想重新开始你的画或开始一个新的画,你所有的要做的是选择从“文件”菜单查看。

 

结束 程序

 

当你完成了程序只需从“文件”菜单中选择“退出”。这个程序将自动询问您是否要保存您的任何新工作或改变 [3] 。的完整列表FractaSketch命令见手册部分。现在让我们看看一些分形我们可以用FractaSketch制作。

 

 

这个康托集:数学尘埃 (顶部)

 

“视觉是看不见的东西的艺术。”

 

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋-乔纳森·斯威夫特,1711年

 

康托 [4] (1845-1918)出生于圣城彼得堡,俄罗斯,但他生活的大部分时间在德国,他在那里教书在哈雷大学。今天他主要以在集合论及其对古典分析的贡献。康托集,它以作者的名字首次出现在出版物上 [5] 1883年。尽管无趣的外表或如有些人所说的缺乏外表,康托尔set显示出完全自相似的模式。这种模式,其中没有点是相互联系的,是建立许多今天帮助我们理解分形的基本概念。

 

康托怎么样集合被构造

 

康托集,也称为康托尘埃,是一个集通过不断地把中间的三分之一部分从先前的线段。重复这个过程可以得到越来越细的划分不断变小的碎片。进行无休止的操作创造无限数量的无限小的“粒子”类似于灰尘(参见图3.11和第5章中关于Julia集的相关章节)。

 


图3.11康托设置在最初的建设水平。

 

 


图3.12基本康托集和放大倍数小一点的。


 


仔细观察,一个“小”部分数学上的尘埃和康托集的结束完全一样除尺寸变化外的所有结构。反之亦然说真的,你看到的康托尔集只能是更大的康托集。这种比例大小的差异被称为“缩放能力”系数如下所示。

 

让我们看看康托的一般情况是怎样的建造:

 

我们从区间的基本线段开始 ,没有删除段。这是启动器级别,我们将其称为水平 .

 

接下来,我们去掉中间部分 线段(在其他结构中移除的段的长度、位置和数量可能会有所不同)。 这将生成两条线段,其中一条来自间隔 另一个在中场休息 ,每段 只要是原来的。这个结果我们将调用level .

 

我们再继续这个过程一次以达到平衡 ,左有四条线段 , , ,每个长度为 .

 

由于此程序继续用于更高级别的 ,我们只剩下一般情况下的公式:

 

节数相等 ,每个级别都有一个对应线路长度 .

 

当这个过程永远或“无限”地进行时我们常用的方法是不加长度地接近直线,这就是我们所指的作为真正的康托集。

 

说明康托集

 

康托集很难说明,因为它精细的“尘埃状”特征。 人们设计了各种各样的技术来直观地表现它,包括康托尔酒吧或康托梳。

 


图3.13康托酒吧

 


另一种方式证明Cantor集的特征是保持一个常数每个标高的填充区域。我们称之为康托冰柱出于明显的原因,见下文。

 

 


图3.14康托冰柱

 

 


使用FractaSketch创建Cantor集

 

让我们使用fractasketetch构造Cantor集。 启动FractTaskEtch并打开图形后调色板,请按照以下说明操作:

 

第一步: 选择一个适当的方向绘制康托集。 通过移动光标选择方向箭头指向绘图托盘底部的框并单击一次老鼠。 在这种情况下,选择左下角的方框1。 通知方框1中箭头的方向是向上且向右;这个方向将用“种子”替换适当的线段方向一致。

 


图3.15FractaSketch步骤1中的Cantor集

 


注: 对于康托设定了前四个“盒子”中任何一个的选择很好,工作也一样。定向的重要性当我们构造具有不同对称性的分形时会变得更清楚。

 

第二步: 绘制第一条线段。点击鼠标在屏幕的左侧指示起点。 接下来,使用光标箭头从左侧绘制一条线到右边大约三分之一的地方,然后单击鼠标告诉程序你已经完成了线段。

 


图3.16康托设置步骤2

 


第三步: 绘制第二条线段。 选择右下角的0框。 框0生成不可见的线段。 然后继续画另外一条线三分之一的路在右边, 然后单击。

 


图3.17康托设置步骤3

 


第四步: 绘制第三条线段。 选择方框1,我们的第一个方向,并完成最后第三部分的绘制与另外两个线段相等的线段。

 


图3.18康托集 第4步

 

 


第五步: 绘制完成后,双击终点。 (或者,可以单击终点并选择精致的dit菜单。)

 


图19.3完成的康托是在FractaSketch的第一级吗

 


第6步: 你现在准备好了 使用“绘图”菜单选择不同层次的自相似性。(选择“绘图”菜单的另一种方法是点击下面编号的“方框”。 然而,这仅限于前10个级别更高级别需要菜单选择。) 选择标高1,然后选择标高2-4。 注意康托尔集如何在你眼前变成尘土。

 

仔细观察分形图案,你可以看到在不同的放大倍数下其自相似结构的复杂性,

 

如果您想在创建的分形,可以展开所需的部分 [6] . 为此,通过放置将光标悬停在对象上,按住鼠标按钮并拖动托盘中心上方并释放的部分。那你就可以了使用中的xpand或“Reduce”命令经常缩放菜单因为你想得到想要的放大倍数。

 

 

往深处看进入康托尔集合

 

康托集给出了几个数学点感兴趣的。 这套设备包括无限连续的端点,属于先前的线段。 一般情况下Cantor集的点包括: , , , , , , , , , , , , .... 见图3.11。因为康托尔没有足够的连续信息组成一条线。 康托因此,必须具有小于 . 精确值 一般情况下的尺寸为 , ,(有关计算分形维数的详细信息,请参阅第4章)。

 

另一个有趣的观察是集合属于一类称为不可数集合的集合 [7] 。在不可数的集合中不是所有点的位置都可以精确计算。对于康托尔设置这个罐子通过证明集合的所有已知点有相应的线段,这些线段又将具有一组甚至更小的线段与之相关。这个持续的过程没有结论说明他们总会有一些观点认为会的不算在内。

 

 

变化康托尔集。

 

你可以改变康托尔集 通过改变长度和数量线段如图3.20所示。

 


图3.20非标准康托集。

 


 

 

 


尝试使用FractaSketch来制作一些你自己的标准康托集。

 

这个皮亚诺曲线 (顶部)

 

 

“好吧,你应该把线放平。一个平的正方形会

第二维度。"

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋玛格丽特·默里——时间的皱纹 [8] .

 


图3.21 A段从时间的皱纹。

 


朱塞佩·皮亚诺(1858-1932)是意大利数学家关于有限微积分的基本功。他在大学教书以微积分杰出教授的头衔。 后来他被提升为罗斐索。他的1890年的工作和希尔伯特同年的后续工作,铺平了道路证明一条线可以与a中的任何给定点 -维度域。 这些模型从这项工作中发展出来的有助于说明自相似结构是如何形成的从直线上创造出来的车道填充或rea填充曲线 [9] .背后的基本理念平面填充曲线是一条直线,一条基本的 一维元素,可以通过扭曲原理而被扭曲自我相似的复制,最终填充了一个平面,一个二维实体。这些变换在结构长度之间架起了桥梁,面积和体积,具有分形维数的区域。

 

 


图3.22Peano曲线种子(1级)由9个片段和一个转换组成(2级)。

 


皮亚诺曲线的标准构造包括在图3.22中按上述方式建造的九个相等的节段。随着分段在越来越高的级别上复制,曲线的 “飞机” 填充特性变得越来越明显,如图3.23所示下面。

 


图3.23皮亚诺曲线从直线到平面的过渡。

 


从一条曲线可以看出一个连续的路径,我们将画一个稍微圆角,这将 帮助我们视觉上沿着道路走图3.24

 

 


 


图3.24沿着皮亚诺曲线的路径三级。

 

 

 

一般Peano曲线的分形维数案例是 ,尺寸计算见第4章。

 

用FractaSketch构造Peano曲线

 


图3.25使用FractaSketch构造的Peano曲线。

 


我们来构造皮诺曲线。

牋牋牋牋牋

第1步: 打开程序FractaSketch。如果已经打开,选择“新建”从“文件”菜单创建一个新的工作窗口。 现在选择 “方格”中的“正方形”菜单,这将有助于绘制具有正确配置的种子,然后从FractTaskEtch的绘图托盘中选择方框1。

 

第2步: 用九条相等的线段画一个8字形图案, 每端有两段。 见上图3.25。

 

因为皮亚诺曲线是对称的纵轴和横轴,不管你是从左边还是右边,你走哪条路或者方向绘图工具的。

 


图3.26一对皮亚诺曲线的交替路径。

 


第三步: 现在,皮亚诺曲线绘制完成,让我们来看看它具有不同的自相似性。 选择标高1。这显示了我们建设的“种子”轮廓。

 

第四步:进入2级。 通知我们原来的九行已经被原来的每行1/3替换了结构如图3.22所示。

 

第五步: 当你继续往更高的层次发展时,你会注意到曲线开始覆盖平面表面的较大区域保护我们的屏幕,直到整个区域被覆盖在屏幕上如图3.23所示。这架完全填满的飞机告诉我们皮亚诺曲线是真正的二维曲线。

 

有意思的是,用修改。其中一个改动是在水平方向比垂直方向。因为曲线是新的尺寸小于 ,飞机将不再完全充满,如图所示下文3.27。

 


图3.27 An第4层显示的备选Peano曲线。

 


另一个皮亚诺曲线变化是采取一个标准曲线并使中心线段不可见。这个新的分形结果以不再填充平面的形状。它的尺寸是 (或 准确地说)。这种分形图案也可以通过不断的划分来构建每个产生的方块,分成9个独立的方块,不断地移除从每个分割的正方形居中。这种模式被称为Sierpinski地毯。

 


图3.28阶段使用皮亚诺曲线构造的Sierpinski地毯。

 


门格尔海绵是席尔宾斯基地毯的 “空间表亲”。这块海绵是自相似的你不停地 除法等于27个更小的立方体。每次分割立方体时,都要移除七块内砖,每边一块,中间一块。不断地进行这一过程,就形成了门格尔海绵。它有尺寸 (或 )见图3.29。

 


 


图3.29锡尔宾斯基的门格尔海绵 ... 空间表亲。“E Pluribus Unum”是许多人中的一个。

 

注意:因为Sierpinski地毯有一个尺寸小于2没有足够的行信息将其与覆盖相关联一个区域,经过不断的仔细检查,会出现越来越细的间隙图案与地毯的编织图案没有太大区别向上。同样 曼格海绵,如果维度小于3,则没有足够的体积信息与之相关的是占用空间,其构造可以考虑一块瑞士奶酪,有越来越细的气穴。这个曼格海绵是理想的海绵。如果它真的存在,它的重量是无穷小的——没有——而且因为它没有包括任何体积,它可以把它的整个结构用于吸收。

 

 

下一节将介绍如何创建自己的Menger海绵使用标准的Macintosh油漆程序。

 

 

制作一张曼格海绵的图片

 

 

下面是关于如何创建图片看起来像门格尔海绵。我们都知道那个男人海绵完全是自相似的。既然是这样的话,反过来一定会同样是真的,那就是我们应该能够使用这种自相似结构创建更大的自相似副本。这正是我们会的。使用draw或油漆施工 [10] ,最容易逆转我们在创建早期分形时使用的构造过程。这个是通过添加块来完成的,而不是不断地替换它们。 我们将从一个立方体开始,然后构建添加自相似块的分形门格尔海绵。 为了清楚起见,我将调用中心对象您正在构建一个“立方体”和添加“块”的部分。

 

 

第1步: 打开一个允许您绘制的应用程序。有绘画或绘画程序吗应该能很好地工作。 如果你有一个处理灰度或不同颜色的,这是更好的。你可以用不同的色调给它一个几乎三维的外观。

 

第2步: 画出你能画的最小的立方体,用一个三维的观点。如果你想给它着色或上色,现在就这样做。黑暗的寄宿者会增强你街区的特色。(另一种方法是创建在FractaSketch中使用Sierpinski地毯并将结果导入到程序中这样你就可以扭曲它的形状了。复制三份,把它们弄歪组合成一个立方体。) 你呢然后可以为立方体着色或将图案映射到每个 三个可见表面。

 

第3步: 使用套索工具复制。这样你就不必了每次画一个新的方块。您可能需要放置此块的副本在角落里——远离你要使用的绘图区域——所以你可以用这个以防你犯了错误而不得不重新开始。 .

第4步: 现在在你的屏幕上找到一个有很多的地方所有边的空间和粘贴你的第一块。现在是锚了阻止。注意:稍后,如果一侧空间不足,可以使用套索用于移动正在增长的立方体或缩小其查看比例的工具。

 

第5步: 创建新块以附加到锚块,在每个锚块前面放置一个3个可见面。记得确保始终将块与投影轴对齐(通常以xyz平面上的投影为方向)。继续这个在每个方向上再放置一个方块。你应该有三个有三个立方体的行,每个立方体相互垂直投影,全部连接在一起在一个立方体的一端。

 

第6步: 在三排的末尾放两个积木,将每个新块放置在立方体的可见面上他们排的方向。

 

第7步: 用木块把三个开口的一端连接起来。 现在应该完成三个面。

 

第8步: 在三个角立方体上放三个方块,每一块都朝里。

 

第9步: 在最后一个开口处放置一个挡块拐角处。这将把剩下的三排连接在一起。

 

你已经建造了一个门格尔海绵的第一层。这个立方体有一个三维的外观,我们用二维来表示绘图。要创建更高级别的海绵,请使用套索或盒子工具,复制它,然后重复建造过程。你呢可以把海绵伸到你喜欢的地方——至少直到你用完为止计算机屏幕上的空间,参见图3.29用绘图程序创建。

 


图3.30用油漆程序制作的门格尔海绵。

 


这组指令与过程非常相似计算机可以用来绘制分形。参考本程序作为递归。

 

当你完成你喜欢的曼格海绵后,按一定的顺序随机排列。注意你可以创建一些不寻常的透视图。 其中有些与插图画家M.C.Escher见下图3.31。

 


图3.31几何艺术埃舍尔风格

 


希尔伯特曲线 (顶部)

“最具启发性和显著的成就上个世纪是非欧几里德几何的发现。"

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋-大卫·希尔伯特 [11]

 

大卫·希尔伯特(1862-1942)是德国教授K大学数学系伊格斯伯格后来在大学G的廷根。他的重要贡献包括在几何学、数论与基本逻辑理论 [12] 他也做出了重大贡献将数学模型应用于物理问题。

 

 

 


 


图3.32大卫·希尔伯特1891年的原始论文他的空间填充曲线。

 

希尔伯特曲线背后的基本原理是不同于我们所看到的精确替换的构造远。而不是使用一个标准形状来替换每个线段在每个连续的水平上,希尔伯特曲线应用各种形状或乌列斯不同的部分。 这是众所周知的非标准结构。希尔伯特曲线形成了一个优雅的结构线条不重叠的图案。而且,因为标准希尔伯特曲线填充平面,其尺寸为 (见下图3.32。)

 


 


图3.33希尔伯特曲线的生长阶段。

 

 


图3.34希尔伯特曲线的构造。

在上面的图3.34中,有四个组成部分 用三条线段连接在一起。这个建筑是标准希尔伯特曲线的基础 [13] 。每个组件使用相同的建造更小的分段。 在无穷远处进行,这种构造形成了Hilbert曲线。随着曲线越来越高,构件之间的连接零件按比例变短。

 


图3.35 An交替的Hilbert曲线,即闭且连通的 [14] .

 


Hilbert曲线的一个吸引人的属性是原理,类似于“平面填充”的原理可以修改曲线以填充体积空间,见下图。

 

 


 


图3.36希尔伯特曲线的三维模型。

 

 

有关计算机控制的图片,请参见色板11使用蚀刻草图绘制希尔伯特曲线的机器。应该是的注意到这台机器并不是FractaSketch的早期硬件原型。

 

 

科赫曲线 (顶部)

 

 

三角形外三角形无穷大外三角形科赫曲线是无穷小的,这种自相似性显示。长度太大无法测量,面积太小看不见, 你看,这个矛盾还能是什么呢分形几何。" 牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋-在分形探险家 [15]

 


图3.37对冲冯·科赫1904年的原始论文。

 


海尔格·冯·科赫(1870-1924)是瑞典数学家他对无限矩阵及其相关联的理解做出了贡献长度。他的作品包括一篇论文 [16] 1904年出版,其中他描述了一个不断重复的过程,把三角形放在其他三角形的边。他把它命名为雪花曲线。今天,这条曲线被简单地称为科赫曲线。

 


图3.38 科赫雪花(也称为科赫岛)由三条相连的科赫曲线组成。

 


比较一下真实雪花的对称性和分枝性在自然界中发现的。正如你所见,没有典型的雪花 [17] .

 


图3.39自然累积的雪花 [18] .

 


自相似性绳子的。


 


图3.40显示自相似性的绳索组成来自美国海岸警卫队手册 [1] .

 

分形图案出现的一个地方是绳子。为了优化强度和柔韧性,冗余编织图案用过。这些图案最初是由纤维织成纱线编织而成如图3.40所示。如果取这样一根绳子的横截面,你会看到一个自相似的模式,有时甚至以科赫雪花的形式出现在第二种图案中在美国海岸警卫队发现的第41页左图。


 


图3.41显示的钢丝绳横截面在美国海岸警卫队手册里 [19] .

 

通过科赫曲线 [20] ,两个数学难题被证明与当时的想法相冲突。首先,怎么可能一条连续的线段是无处可微的,也就是说有一条曲线没有可以画切线的平滑部分 (见下图3.42)。当时,这些观点得到了解释作为孤立的例外而不是曲线整体的一部分施工。第二,一条连续的线怎么可能 无限长旅行有限距离,永不重叠见图3.43条。这种曲线不受任何分类的影响。

 

以下两个数字中的每一个都没有意义这里可以画出唯一的切线,所以我们说这些曲线不是唯一的定义。

 


图3.42示例具有切线的可微曲线和带切线的不可微曲线没有唯一切线的点。

 

 



图3.43科赫曲线扩大。

 

 


科赫人怎么样构造曲线

 

让我们仔细看看科赫曲线。

 

与Cantor集的情况一样,我们将初始值除以线段(0级)分成三个相等的部分。这次,而不是移除在中心部分,我们插入第四条线段,长度等于其他三个。这创造了一个像等边吊桥的东西,这是我们1级的种子形状。

 


图3.44科赫曲线的种子。

 


我们看到直线段2,我们将其替换为初始种子形状的缩小比例模型。在标准Koch曲线的情况下,这里的替换比例是 原来的种子。

 

如果我们携带这条线的更换过程越来越高,无穷无尽,科赫曲线结果。对于科赫曲线的每一个前进水平生成的长度增加 。如果连续执行此程序,则会产生一条线无限长的段。

 


图3.45水平科赫曲线。

 


我们的等边吊桥的计算尺寸,Koch曲线是距离的对数——三段。因此科赫曲线是 . 有关计算的信息科赫曲线的分形维数,见第4章。不同的科赫曲线可以通过修改线段的位置和长度来构造。这些曲线有时会变换成各种有趣的形状结果完全出乎意料。 参见下面的示例。

 


图3.46科赫曲线变化。

 

 


使用 分形蚀刻

 

让我们使用FractaSketch来构建传统科赫曲线。

第1步: 打开程序FractaSketch。如果已经打开,选择“新建”从“文件”菜单创建一个新的工作窗口。 现在选择 从“六边形网格”菜单,这将有助于绘制具有正确配置的种子。下一个从绘图托盘中选择框1。对于Koch曲线,选择合适的方向很重要。选择不同的方向将导致不同的模式;有关说明的完整列表,请参见FractaSketch手动部分。

 

第2步: 画出四个相等线段中的第一个。单击下面的鼠标左侧,继续向左,大致绘制一条水平线段三分之一的路穿过绘图板。

 

第3步: 单击以开始新段。继续绘制线段长度相等,递增60。

 

第4步: 画一条下降线,与垂直轴对称最后一行。

 

第5步: 通过绘制最后一条剩余线段来完成施工在右边。您的图表应该类似于图3.47。

 


图3.47Koch曲线的种子图。

 


第6步:双击以让程序知道你的建筑已经完成。

 

 

第7步:从不同角度观察科赫曲线施工水平。在级别1,您将看到基本形式。在2级,您可以看到曲线轮廓的起点。在第三层,你会看到另一个提高精致度。随着Koch曲线水平的增加,您会注意到最大的变化是在最低的水平上发现的。

 

当你继续前进的时候增加绘图级别不会显示更多细节。这是因为屏幕分辨率有限。事实上,在某一点之后唯一增加的是绘图时间。这是因为增加的水平程序必须计算和绘制四倍的数量更换管路。如果你想在更高层次上看到这一点 科赫曲线仍在计算中,使用“展开”功能从“缩放”菜单中,自己看看。

 

完成这一部分的创建科赫曲线与改变角度和不同的线段长度。你应该去看看热闹的变化。

 

雪花扫猴子树和戈斯帕岛。

 


图3.48科赫公司雪花从一个13行种子上扫过。

 


两条曲线与科赫雪花非常相似是“雪花扫”和“猴子树”。就像这些曲线达到更高层次的构造,它们的轮廓接近科赫曲线。在图3.48中,您可以看到带有周长尺寸 还有一个内在的维度 ,关于维的两个同时状态的讨论见第4章。在图3.49中,您可以看到猴子树的尺寸 .

 


图3.49猴子生成到3级的树及其种子。

 


科赫雪花的一个变体结构是“Gosper”岛屿“ [21] 它的种子规模各7个,长度为1/3。 这个周长的分形维数 还有一个内在的维度 见图3.50。

 


图3.50戈斯帕岛生成到3级和它的种子。

 


科赫雪花,雪花扫,猴子树戈斯帕岛可以制作出理想的分形瓷砖。重复的瓷砖会彼此完美地联系在一起。这种“平铺”模式将防止滑动,因为接头不能连续移动方向见色板14。

 

 

 

帕斯卡三角区过去了去锡尔宾斯基 (顶部)

 

布拉斯·帕斯卡(1623-1662年) 还有瓦克拉夫·谢尔宾斯基(1882-1969)两位数学家——一位法国人,另一位波兰人——带来了由带有它们名字的自相似三角形组合而成。 有趣的是,这两个人相隔数百年,而且都没有是三角形的发现者。

 


图3.51原件中国人 [22] 二项式三角形的版本。

 


帕斯卡三角形,众所周知,它最早出现在中国出版物上,很早在14世纪。两个世纪后,关于它存在的论文发表了在欧洲,帕斯卡出生前一个世纪。

 

 


图3.52十二从早期的欧洲二项式图解说明帕斯卡三角的层次三角形 [23] .

 


基本帕斯卡语三角形由多项式展开的分量值构成 . 价值 三角形在前面吗向下。让我们看看下面的一些基本级别:


 


 

 


1
11
121

11

14641

1510 1051

1615 20 1561

1721 35 35 21 71

1
11
1牋牋牋1

11

1牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋1

15牋牋牋牋牋牋51

1牋牋牋15牋牋牋15牋牋牋1

17 21 35 35 21 71



牋牋牋牋

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牋牋牋牋 牋牋牋 牋牋牋牋牋

帕斯卡三角形

帕斯卡三角形

用偶数远离的

帕斯卡三角形

用奇数点状

 

图3.53表帕斯卡三角形的值。

 

 

中国的三角关系出了什么问题?

 

中国二项式图3.51中的三角形,虽然取得了很大的成就,但有一个错误与之相关。你能找到它是什么吗?提示:你不需要知道中国人找到它,只是对称的原则 [24] .

 

Sierpinski三角形可以很容易地从相似的帕斯卡三角形构造。第一次建造三角三角值的级联。然后继续删除所有偶数值部分。你剩下的是Sierpinski三角形的框架见图3.53。

 

在本节中我们将看到几种构建Sierpinski三角形的方法。实际上有无限的可能性,所以我们将集中在最基本的。

在图3.54中你可以看到一个基本的Sierpinski三角形由一条连接线组成。

 


图3.54不同锡尔宾斯基三角的阶段。

 


用FractaSketch构造Sierpinski三角形

 

我们先来用相当直接的方法构造Sierpinski三角形三条相等连接的线段。一个令人愉快的使用特点这个发生器是,你可以沿着三角形的全程行进只有一条路。

 

第一步:打开程序FractaSketch。如果它已经打开了,从“文件”菜单中选择“新建”来创建一个新的工作窗口。 现在选择 “六边形”来自“网格”菜单,这将有助于绘制具有正确配置的种子。下一个选择方框2作为绘图工具。

 

第二步:从托盘的左下区域画一条线沿60度向上倾斜到左中并单击。

 

第三步:选择方框1,在前面画一条等长线在水平轴上,然后单击。

 


图3.55a完成席尔宾斯基三角的种子。

 


第四步:再次选择最后一条直线段2向下60度到右下角。它应该类似于图3.55。完成绘图后,双击以在不同的级别查看。

 

在第一阶段,一级,我们的图像看起来像一个没有顶部的三角形。我们的三角关系开始了随着我们进入更高的层次而成形。

 

现在让我们看看在其他构造Sierpinski三角形的方法中,每一种都是形成的来自不同的种子。

 

 


图3.56是同一个Sierpinski三角形都是由不同的种子构成的。

 

 


你可以建造通过改变线段位置和长度。试试看你能得到什么结果。参见图3.57中的变化下面。

 

 


 


图3.57变化锡尔宾斯基三角形。

 

 

 


图3.58锡尔宾斯基四面体或金字塔,无事生非。

 


维度对于一般的Sierpinski三角形,由 ,因此它没有面积。它的空间近亲是Sierpinski四面体 [25] 尺寸由 或者干脆 相应地没有体积。这两种分形具有与Sierpinski地毯相似的特征门格尔海绵,见第4章计算其分形维数。

 

下面是说明创建你自己的生活大小Sierpinski四面体,另请参阅色板15为完整示例。

 

制作纸上的Sierpinski四面体。

 

你可以建造把四面体折叠起来。

 

第1步: 构造等边三角形建筑件,因为你将需要形成不同层次的锡尔宾斯基四面体。 号码所需数量对应 哪里 等于建筑水平你想做的。

 

第二步:把每个等边三角形折成四等分。这是通过采取每一个角落,并折叠到一半到另一边去。然后将三个折叠区域连接在一起形成如下图所示的四面体。

 

第三步:然后通过附加四面体在不断扩大的四个团簇中,一个形状将演化类似于Sierpinski四面体,参见色板模型。

 

注:Sierpinski四面体也可以用绑线连接的稻草建造用四面体三角形代替建筑用纸。

 


图3.59施工锡尔宾斯基四面体。

 


另一种选择创建Sierpinski三角形的方法是重复性较小的三角形。

 


图3.60增长一个由三角形组成的Sierpinski三角形。

 

 

 


注意:使用上面的技术是在三角形内拟合三角形然后随机选择当它们连接在一起时,就会形成有趣的图案。如果你带着它再往前走一步,随机地升高和降低相邻的点得到类似山脉的图案见下图。另请参见第章7在分形山上。

 

 


图3.61制作从锡尔宾斯基三角洲出来的山脉。

 

 


龙的曲线 (顶部)

 

 

“看到完成的龙是无法比拟的颤音看着它被画。很难抵挡诱惑去看“这一点”“改变”将在你探索这些迷人的生物时起作用牋牋

 

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋- 威廉麦克沃特“创造分形”字节1987

 


图3.62 A基本龙曲线

 


龙的曲线,又称“自方龙”是由一种基本的双线施工。原始种子中的每一行都被替换为较小的种子 每次进展时的图像水平。随着更高层次的继续,一个复杂的分形结构将出现它不仅因其简单的结构而受到赞赏,而且从中生成的复杂图像。如果龙的曲线完全填满基本曲线如图3.62所示, 它是一个二维的,平面填充曲线也见色板16。如果没有,它将有一个较低的维度。

 


图3.63龙尺寸小于2的曲线。

 



早期的龙曲线是由纸张。

 

 


图3.64龙曲线图,在计算机生成之前,在《科学美国人》四月刊上发表1967


 


第一次露面这条龙的曲线归功于物理学家约翰·海威 [26] 1960年,他用纸构造龙的曲线,不是通过绘制,而是通过程序折叠过程 [27] 每增加一个折痕折叠的数量和复杂性。在打开论文时龙的分形就会出现。在后来的岁月里,经常借助计算机,人们命名为班克斯,哈特,林登梅尔,园丁和其他人会使用符号描述所走的道路。这些象征性的指令经常演变而来进入描述语言,如林登迈耶系统和标志,见林登迈耶第七章关于算法的章节。

 

描述分形的符号语言。

 

牋牋牋 牋牋牋牋

 

 


图3.65Lindenmayer系统的描述性语言来创建一条龙曲线和它代表曲线 [28] .

 


龙的曲线是如何构造的

 

龙的曲线通常由两条相等的连接线组成的种子构成。在最一般的情况下,这些线与一条线以垂直的角度相交线的方向指向内,另一条线的方向指向如下图3.66所示。


 


图3.66方位龙的曲线。

 

牋牋级别0是生成器,它定义曲线的起点和终点。

 

牋牋第1级给出了基本种子,两行。

 

牋牋在标高2处,将替换一条线段有一个“肘”种子,另一个有“肘”播种。最初选择哪条线方向并不重要只要另一条线的方向相反。

牋牋

牋牋然后在前面的每一层,无限,每次更换都遵循相同的方向。这是完全成熟的龙曲线。

 

这个惊人的过程生长一个简单的种子到一个美丽的平面填充分形。最终表面覆盖一个有着无尽边界的有限区域。

 

图3.67转换龙的曲线。

 

这是确切的龙形曲线长度和尺寸的计算:

 

牋牋每一级增加龙的曲线以前的线段将替换为具有缩小比例的种子 属于 。因此,曲线的长度增加了一个因子 对于前面的每个级别。确切的龙曲线的尺寸是 或者干脆 .

 

 

用FractaSketch构造龙曲线

 

让我们构造基本的龙曲线使用FractaSketch。

 

第一步: 打开程序FractaSketch。如果已经打开,从“文件”中选择“新建”菜单来创建一个新的工作窗口。 现在选择 “方形”从“网格”菜单中,这将有助于使用正确配置。从我们的托盘中选择1号箱。这将指示向上替换线段的绘图工具。

 

第二步: 单击托盘的左上侧。这将开始绘制。

 

第三步: 在先例中从地平线到下中心呈45度角,然后单击。

 

第四步: 选择框4、向下改变方向。进行等长的一段45向上到右上角并单击。你的种子应该看起来如图3.64所示。

 

图3.68用FractaSketch绘制的龙曲线“种子”。

 

第五步: 双击结束。很简单。这两条线应该形成一个对称的直角垂直轴。

第6步: 现在让我们查看龙曲线的不同级别。 从1级开始。 你应该看到一个巨大的“V”形图像。您可能需要选择从“缩放”菜单中“缩小”以确保整个分形将在屏幕上可见。

 

第7步: 试用级别2 曲线 应该像一个有把手的锅。

 

第八步: 先于更高层次。 大致水平后10,你应该开始看到龙曲线区域正在填充。看看有多强大龙曲线的视觉变换是。

 

牋牋侏罗纪公园

 

第一次迭代

 

 

"最早的图纸关于分形曲线,很少有线索

基本的数学结构就可以看出来了"

 

伊恩·马尔科姆

 


图3.69封面《侏罗纪公园》一书的第一章。

 


在《侏罗纪》一书中公园 [29] ,使用了龙曲线作为一种富有表现力的视觉隐喻。怎么了? [30] 每个 章中有相应的龙曲线插图,好像在潜意识里展示了复杂性是如何被设计出来的 更简单的开始。这本书使用分形几何和混沌理论解释从DNA创造恐龙的不稳定性。

 

 

基本的龙曲线制作最终的乐高集,积木或拼图。每一条龙曲线正好与另一条曲线吻合,连接一系列瓷砖参见颜色板6。通过改变初始对的方向和位置在种子系中,可以产生许多不同的分形龙匹配游戏下面。

 

龙匹配游戏

在分形世界里,简单的形状和简单的规则可以创建看起来非常复杂的对象。龙的曲线就是一个很好的例子。进一步探索。

当它自我复制时,最初种子的每一行可以在四个不同方向定向: 从左到右向上,从右到左向上,从下从左到右,从右到左向下。因为有两条线种子中的片段,每个片段有四个可能的方向,有一个总共16种可能性。如果我们改变方向会发生什么在这个基本例子中的两条线段中?

 

肯定有我们可以预测的曲线。同样的种子会造成一个区域的填充,二维图像,不管是哪种方式的分形线是磨尖。我们从相似的线长度开始,然后生成每个图案水平 ,即每个种子被替换 次数或有 这将导致 或者干脆 每个图像的线段。因为种子是彼此的镜像,它们的结果反映了这一点。在另一页你可以看到结果。因为有些种子会重复的模式,它们只显示一次。以下是种子:

 


图3.70。十六种子来自同一个两个系。

 


匹配种子以及由此产生的转换。首先,尝试将种子与没有使用FractaSketch的结果。

 


图3.71。绘图网格。

 


有用提示:用相纸手工绘制分形。开始在纸上播种正方形32 x 16最有用。只需更换几个级别应该开始看到一种模式的出现。

 

图3.72。从16种不同的图案中产生十种种子。

 

 

龙也可以使用其他结构制造。这里有一个叫纺纱龙 [31] 从谦卑开始源起给人以持续更高层次的运动错觉被画出来了。

 


图3.73各种旋转龙的等级。

 


龙的曲线也可由第6章中所述的IFS和第第七章。

 

 

生长分形森林和花园有有限的片段和介词宽度 (顶部)

 

“王国天上的好像一粒芥菜种,有人拿去撒种他的田地,的确是种子中最小的,但当它生长的时候,它是最伟大的草本植物,并成为一棵树,所以鸟类的空气吹来,在树枝上停留。"

圣马太福音13:31,32摘自詹姆斯国王的圣经

 

橡树从一个小小的橡子中成长,一个分形是由一个简单的种子产生的。我们将生长分形:仙人掌,树木,蕨类植物,以及自然界中发现的其他物品。从我们的基本的种子形状我们将创造出越来越复杂的自然物体世代相传。真正的分形只有在无限之后才能达到在物质世界里,我们已经创造了很多代只有 近似值。早期世代经常给我们很好的近似最终分形图。后来我们将更详细地讨论加速分形生成的技术.

我们的植物是用直的种子种植的线。你可能认为这不是限制。有了这些台词很容易创建接近曲线分形的近似值在下一节。

 

仙人掌


我们的仙人掌花园是一个优雅的演示分形如何可以松散的脊形式获得圆润的外表。下面三个仙人掌分形都是创建的从具有类似结构的直线种子。他们唯一的区别是两条端点线的斜率向下的级数。


图3.74仙人掌类似分形种子的植物。

 


牋牋牋增长的仙人掌 分形蚀刻

 

图3.75仙人掌分形种子在FractaSketch中。

每个线段都被中的整个种子替换世世代代。箭头表示方向。我们创造了四代人之后。


 


图3.76仙人掌接下来的成长阶段。

现在试着增加你自己的分形仙人掌,看看如何改变线的位置可以影响 你的植物外观。

 

正在生长的树木从分形种子

“我想我永远不会看,几何比树更美。" [32]

牋牋牋牋牋

牋牋牋牋牋- 基尔默尔·乔伊斯·雷德的诗歌(1914年)

 

树是分形结构的一个主要例子在植物中发现。为了获得最大的空气和阳光照射,各种大小和尺寸的树木都在努力地填充空间带着树枝。我们的花园就在电脑屏幕的平面上,所以我们将把自己限制在接近二维的树上。

 

 

树和分形

 

任何植物的生长不是随机的。它遵循给定的模式。一棵树的树枝生长取决于在物种和个体遗传倾向上。 当一棵树生长时,它的一般模式将保持不变,但长度不变树枝的数量会随着树冠的发展而变化,树的年龄,以及影响树的生长。

 

对于大多数树木来说区域位于树枝的萌芽区域。这些区域被称为分生组织,来自这些地区的叶子将在明年发育出分枝。树枝上的位置和树叶之间的相对距离是由树种决定的。新的分支将从这些分支中生长出来导致分形水平增加的叶子区域。相对长度分支的位置由分支相对于其下一个分支的位置给出低阶。没有任何外界影响,如物理损伤或光照竞争时,这些侧枝的相对生长将保持不变。 我们将使用欧洲山毛榉的树枝和榆树的树枝树作为FractaSketch中的模板来显示高阶分支的方式可以创建。图3.77显示了一个欧洲山毛榉树枝,有4个层次复制的分形维数为 ,图3.78显示了榆树枝也有4个层次的分形维数属于 . 可以模拟更多的种类这个模型可能会改变分支角度。

 


图3.77分形欧洲山毛榉 .

 



图3.78榆树树枝 .

 


随着窗帘树的衰老皇冠会变得更饱满,以更好地利用其聚集的光更均匀分布的几何体提供的功能。一个例子开冠相思是常被称为“伞树”的吗产于非洲。关于计算机生成的相思树,请参见图3.79 .

 


图3.79金合欢或者带伞树 .

 


在色板17和色板18中可以看到一些讨论了不同的分形树结构。

 

用直线画一棵分形树有点像类似于用2 x 4 s建造一棵树。在下一节中,您将有机会像其他人一样用这种方式建造树木压裂作业蚀刻。

 


图3.80建造一棵树的蓝图。

 

 


牋牋牋基本树形结构 分形蚀刻

 

让我们用在中创建的以下种子绘制一棵树FractaSketch见下文。

 


图3.81“Y”种子是分形树最基本的结构。

 


提示:建造一棵倒下的树是最容易的,这个是一棵倒立90度的树。然后在施工完成后您可以使用“缩放”菜单中的“旋转”功能要将其竖直放置,请参见下文。

 


图3.82是树的侧画及其相应的直立旋转。

 


让我们从三个部分开始建造我们的倒下的树:

牋牋牋牋牋

第一步:选择方框9,未替换线段,然后在屏幕的中间画一条水平线然后点击。这将是树的树干。

 

第二步:选择框1并绘制树的第一个分支。这是通过在树干上画一条上升的线来完成的右上角45。

 

第三步:选择方框0,使用此选项返回跟踪到树干的顶部(或者在我们的例子中是右侧侧面)。这些浅灰色的线是用来让我们画出非连续或断开的部分。在本例中,我们使用此功能让我们在另一边画一个对称的分支。

 

第四步:在前面选择方框2。接下来画一条与另一个分支长度相等的线,只不过这次是这样应该向左下角下降45度。这个“分支”应该与树干对称。

牋牋牋牋牋

第五步:选择方框0,完成绘图双击并将树旋转到垂直位置。完成后如果“编辑”菜单设置为“从左到右”,则不可见线将自动绘制到树的中间顶部,这将定义种子的长度。否则,如果“Edit”(编辑)菜单设置为“First”(第一个最后”这将被忽略。

牋牋牋牋牋

 

让我们从1级开始生长我们的树。这张照片看起来像个巨大的“Y”。进入更高的层次。看看如何我们的木偶树正在成形。

 

在自然界中,树的结构有一个支撑结构。它的树干通常比相连的树干长,并且按比例厚树枝。树木利用这个原理让树干支撑四肢用来装树叶的。一棵树需要这么大的面积才能捕捉到光合作用所需的充足的阳光。

 

我们的树也可以用线条粗细来观察与段长度成比例。可以通过选择“行”菜单中的“比例”命令 [33] 。此功能可以重复多次达到所需宽度。查看您创建的分形树在不同的比例宽度,看看哪个最接近树木你知道的,看下面。

 


图3.83我们的具有不同比例宽度的基本树。

 


我知道,我知道你在说什么树看起来像我们刚画的那个。至少有一棵树 [34] 差不多了。找到了在美国加利福尼亚州乔舒亚树国家公园,见图3.84下一页。

 


图3.84 约书亚树,约书亚树国家公园,加利福尼亚州1989年Ken Crounse,动态软件。

 


另一种经典的分形树是“灌木”,它被创造出来了有8个种子系。它的尺寸是 。见图3.81。

 


图3.85这里有它的种子。

 


下面是一些常见树的模板和结果。你可以创建你自己的分形树,看看你想出了什么。

 

图3.86常见树木的可识别结构。

 

树木有不同的分形结构来适应满足各种需要。下次你在一个有很多树的地方,你可以看看 多样性并根据它们的分形维数对它们进行分类。

 

牋牋牋这个希尔德斯海姆的树木。

 

 

在德国北部地区,树木自豪地展出它们荒芜的分形结构直到晚春。依偎在这个地区是希尔德斯海姆镇,在这里可以看到一排排排的无叶树。这些树,以其惊人的黑暗轮廓,往往突出的金色麦田,退色的小山和流动的天空看起来非常接近树FractaSketch创建的结构。事实上这些树看起来很像,我们认为将它们添加到景观中可能会很有趣。你能找到图中的分形赝品,见色板19。

 


图3.87大戟具有不同分枝结构的植物。

 


其他树木和植物表现出不同的结构。在色板20和色板21中,你可以比较植物的例子具有不同的分形结构。第一株植物表现出标准的分枝1段分成2段,又分为2段在图3.86中,第二个具有分支结构,其中1个片段分成2个部分,然后再分成25个部分分成20个部分,如图3.87中的大戟属植物。每个结构似乎适应了一种特殊的用途,第一种植物渴望向外生长而第二种植物试图用最小数量的结构支撑。

 

分形蕨类植物在我们的森林里

 


图3.88 Bracken Fern,内华达山脉,加利福尼亚州,1989年迈克尔·麦克奎尔 [35]

 


“太多了它的美丽在于它的简单。"

 

牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋-D.von Tischtiegel博士 [36]

 

蕨类植物是发现的最美丽的结构之一本质上。仔细观察可以看出蕨类植物不仅会重复它的放大倍数有好几级,但却非常简单。大多数蕨类植物的结构可以由四行信息构成 [37] 因为这些原因成为分形书籍中常见的图片。我们会在我们的书也是。从下面的种子开始。


图3.89 A基本蕨类植物种子。

一开始我们长得更像耳朵小麦比蕨类植物。这些自相似的种子有助于构建一个品种形状。

当蕨类植物生长到越来越高的水平时,它开始生长形成它熟悉的形状如下图所示。


图3.90增长蕨类植物的水平。

 


为了加快计算速度和产生一个更均匀分布的分形,我们限制每个线段的短到帘幕的像素数。

 

蕨类植物 [38] 在达到5像素线长度之前,将生成以下内容。它是用与每一条线的长度相对应的线的厚度绘制的。

 


图3.91 A开发的蕨类植物,最小5像素线长度。

 


“成熟的蕨类植物一个令人惊叹的奇迹”—彼得·范罗伊

 

分形蕨类植物也可以使用迭代函数系统或拼贴方法创建参见第章6

 

枫叶的不同的季节。

 

枫叶分形是一个复杂的例子一个具有有序性和明显随机性的令人信服的混合体的对象。很难用正确的顺序和比例来创建分形随机应变,赏心悦目。从这个意义上说,从种子就像作曲:达到最佳效果需要精通。要获得好的图片需要大量的练习和范例真正的洞察力。例如,考虑枫叶种子。最初它看起来更像是一架高速飞机,然后是一片树叶。

 


图3.92枫叶种子。

 


注意事项:深灰色线由方框5-8绘制。这些线条工具可以反转图片画画的时候。方框0的浅灰色线让我们画出不连贯的图形,在FractaSketch手册一节中讨论。

 

通过分形变换的魔力这就是我们成熟的目标。

 


图3.93枫叶的季节变换。

 

 


分形用简单的形状来展示我们森林的多样性用整个形状的微型副本替换线段的配方。我们才刚刚开始探索分形世界的丰富性几何学。在第四章我们将讨论各种计算方法物体的分形维数,包括我们拥有的许多图像创建于此。

 

珊瑚礁表现出分形的分枝总体增长分形。海参有分形的食物聚集。 有一种物种有一个可以分支并填充空间的触角像一棵树。 当足够的食物被捕获到树上时,它被折叠成一根绳子构造(一束线,一维)并放入生物的嘴巴。尺寸的变化对收集食物非常有用:作为一棵树,它可以捕捉大量的浮游生物,作为一根绳子,它很容易放进嘴里。海中的鹦鹉螺利用自相似的生长模式来扩大其栖息地在不断扩大的阶段。


 


图3.94使用转换的海参用来收集食物的线性分形。

 


图3.95鹦鹉螺海洋和一个类似的线性分形结构,只是一个无限的剩下的号码供你探索。

 


对于其他各种各样的分形线种子在这一章见分形画廊 见附录B。

 

 

 



[1] Hermite and Stielties 1905,II,第318页

[2] FractaSketch是由Peter Van开发的罗伊。它是由一群数学家和与混沌和动力学研究小组有密切联系的开发人员在加州大学圣克鲁斯分校和加州大学,伯克利。

[3] 《Macintosh分形探索》一书FractTaskEtch 1.2附带了一个版本,要进行广泛的编辑,您需要一个版本FractaSketch的1.39 或者更大。

[4] 在他职业生涯的早期,他受另一位非传统先驱卡尔·韦斯的影响数学。1882年,他在康托之前出版了一套分形函数。

[5] er Uned,lineare Punktmannigfaltigkeiten公司五、 Mathematische Annalen 21(1883)第545-591页

[6] 论康托集的视觉结构大约4级之后,由于计算机屏幕的有限分辨率限制(通常每英寸)。此像素化的结果是因为计算机屏幕使用显示无限复杂对象的有限离散点数。这个过程类似于在一张全家福。经过一定程度的放大后,放大镜无法再提取有意义的视觉信息,分辨率是仅限于构成照片的颗粒。

[7] 见C.R.Wall的文章,以小数结尾在康托三元,斐波那契季刊28.2发表了1990年第98-101页

[8] 《时间的皱纹》马德琳·伦格尔(1962年),戴尔出版社,纽约,77-78页,儿童故事,这里年轻的查尔斯正在向年长的梅格解释维度是怎样的习惯于“…不用走太长的路就可以穿越太空到处都是。"

[9] 这里的曲线是用来描述任何连续的功能。

[10] 注意:如果你给你的立方体加上阴影使用像Adobe PhotoShop、PixelPaint或Fractal Design之类的图形程序画家 [10] ,尝试使用白色透明功能。这会让你在非彩色区域中仔细观察立方体,增强外观它的分形结构。

[11] 引用G.D.Fitch在曼宁的第四维度简单地解释道,“(纽约1910年),第58页。

[12] 有趣的历史注脚希尔伯特时代著名的数学家利奥波德克罗内克启发了他在他的作品中,却曾批评坎托的类似作品包含没什么实质性的。

[13] 为了构造这个图案如果支持链接功能,则需要1.4或更高版本。

[14] 卡尔·汉森未出版的例子工作。

[15] 从《分形》一书中 伯恩特·沃尔未出版的作品,仍在进行中的第一版。 作者:动态出版公司,加利福尼亚州圣克鲁斯市7534号邮箱95061

[16] 在瑞典《阿基夫f》杂志上 Matematik,《天文学》第一卷,1904年,第681-704页。英国人翻译,非线性经典研究分形第25-45页编辑杰拉尔德A.埃德加(1993)艾迪生韦斯利出版公司阅读,妈妈。

[17] 俗话说“没有两片雪花相似“, 通过创建两个相同的同样条件下的雪花。然而 雪花就是一个很好的例子 初始条件的微小变化结果在无数不同的雪花中。雪花展六个相似的片段,但从最初的结合形成的模式取决于周围的温度和水蒸气的密度晶体形成。我想给第一个人一个挑战确定可能少于10克的有限数量的雪花。

[18] 来自W.A.Bentley和W、 J.Humphreys(1931)出版的麦格劳-希尔图书公司再版多佛出版社(1962年)收集了数千种不同的雪花。

[19] 来自美国的航海和航海技术。海岸警卫队辅助(1985)部分 8-2和8-4。

[20] 沿着另一条曲线 有一个奇数正整数由一个正整数和偶数引入 卡尔 魏尔斯特拉斯在给普鲁士皇家的一份报纸上科学院题为英语翻译,论连续函数一个没有定义好的微分商的实参数(1872年)。一个英文翻译,非线性经典研究分形第2-9页由杰拉尔德A.埃德加(1993)编辑,艾迪生卫斯理出版社读大学,硕士。

 

[21] Martin Gardner(1976)12月科学版美国第124-133页将其起源归功于威廉·戈斯珀。

[22] 从朱时渐珍贵的镜子《元素》,1303年出版。

[23] 从塔塔格利亚的总战略开始《欧洲三角建筑》,1556年出版。

[24] 二叉树具有对称值每边,但由于第八行的两个中心值不同他们是个错误。 正确的值在右边,显然是书法家错过了一次笔触。

[25] 分形斜网指的是网页142《自然的分形几何》,作者:Benoit Mandelbrot(1982)。

[26] 龙曲线也被称为Harter-Heightway曲线,见Martin Gardner Scientific American的文章1967年4月,C.Davis和Donald Knuth 数字表示和龙曲线,娱乐杂志数学3,1970年。

[27] 如果你想创造你自己的分形纸样出了纸,有本好书讲的是“折页”《宇宙》,彼得·恩格尔著,古董出版社出版,1989年这本折纸书的很大一部分是专门致力于分形构造。

[28] FractaSketch使用相同类型的递归但用户不必计算公式因为FractaSketch会自动将其转换为图形的一部分用户界面。

[29] 《侏罗纪公园》,迈克尔·克莱顿(1990)由百龄坛图书公司出版,纽约,纽约。

[30] 它不是龙的曲线是第四级,这是因为它看起来像更有趣的是 .

[31] 它是由FractaSketch的作者创建的,彼得·范罗伊,因此我们也给它取了个外号皮特的龙。

[32] 阿尔弗雷德·乔伊斯·基尔默的真实版本是“我想我将永远看不到,一首像树一样可爱的诗。" 它的结尾是相当合适的“诗”是像我这样的傻瓜造的,但只有上帝才能造树。"

 

[33] 需要FractTaskEtch 1.39或更高版本。

[34] 这棵树对我们的动态非常熟悉我们刚才称之为肯的树。

[35] 迈克尔·麦奎尔书里的照片集 《分形之眼》(1991年),作者:艾迪生·韦斯利出版公司。

[36] 逻辑编程能像现在这样快吗作为命令式编程?彼得·范·罗伊引用了D.von Tischtiegel博士的观点1991年,修订版1994年。

[37] 或六个位置点,使用迭代功能系统见第6章。

[38] 找到最小线长度特征在FractTaskEtch 1.39或更高版本中。选择“Level”(水平)可激活从“绘图”菜单中。您可以更改最小值通过选择“较高”或“较低”选择每个线段的长度从“绘图”菜单中,只要你喜欢。