奇异积分方程

奇异积分方程的一种快速且条件良好的谱方法。本文利用Chebyshev和超球面多项式将方程组化为几乎带状无穷维系统,提出了求解区间并上的单变量奇异积分方程组的谱方法。这是通过利用二元核的稀疏表示的低秩近似来实现的。得到的系统可以使用自适应QR分解在𝒪(m2 n)运算中求解,其中m是带宽,n是求解真解所需的最佳未知数。当同一个算子用于多个右手边时,通过预缓存QR因子分解,将复杂度降低到𝒪(mn)操作。通过证明所得到的线性算子可以对角预处理为恒等式的紧摄动来证明其稳定性。所考虑的应用包括法拉第笼、Helmholtz方程和重力Helmholtz方程的声散射,包括远场和近场解的光谱精确数值计算。Julia软件包“singular integration equations.jl”用一个方便、用户友好的界面实现了我们的方法。