介绍

给定一个序列{a1,a2,…,an},我们可以计算2n个总和±a1±a2,。。。±一个。我们还可以计算任何特别的价值。例如,给定序列{1,2,3,4},16个和是{-10,-8,-6,-4,-4,-2,-2,0,0,2,4,4,6,8,10}-10到10之间的偶数是{1,1,2,2,2,2,2,2,1,1,1}。这个很简单这个例子不是很有趣。然而,由于序列中的项数增加,频率曲线变得更加有趣。我们检查下面是几个序列。


连续数字

下面的曲线显示了前20个数字和的频率分布{1,2,3,…,20}。在这种情况下,任何序列增长缓慢,结果都是近高斯分布。横轴给出总和的值;垂直方向轴给出总和的频率。

连续整数和的频率


质数

下面的曲线显示了前17、18、19、,和20个奇素数{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73}。与上述情况一样,结果是接近高斯分布。

设Sn=a1+a2++如果n是偶数,则-Sn+20和Sn-20之间的所有偶数表示为序列的极值和。

素数和的频率


方形

下面的曲线显示了前27个平方和的频率分布{1,4,9,...,729}. 虽然曲线具有高斯外观,但还有其他结构。这给了我们一个提示,频率可能不如建议的那样可预测通过上面的例子。

平方和的频率


Sqrt的幂(2)

下面的曲线显示了前20次幂和的频率分布of Sqrt(2),四舍五入到最接近的整数{1,2,3,4,6,8,11,16,23,32,45,64,91,128,181,256,362,512,724,1024}. 相当令人惊讶的是,分布不是高斯分布。从-601到601的所有奇数具有相同的频率:512。

sqrt的幂和频率(2)


1.6的权力

下面的曲线显示了前20次幂和的频率分布1.6,四舍五入为最接近的整数{1,2,3,4,7,10,17,27,43,69,110,176,281,450,721,1153,1845,2951,4722,7556}. 同样,曲线的非光滑形状令人惊讶。还要注意最大频率不在0或±1。

1.6次幂和的频率


斐波那契数

下面的曲线显示了20个斐波那契数之和的频率分布F(2)至F(21){1,2,3,5,8,13,21,34,55,89144233377610987159725844181676510946}。曲线的混沌形状令人惊叹!虽然频率分布为正对于所有偶数,频率只有68个实例中的2个。回想一下斐波那契数字的极限公共比率约为1.62。因此,人们可能已经预料到这条曲线与1.6次方的曲线相似。然而斐波那契数在这里一定有强大的影响。

斐波那契数和的频率


更多详细信息

  • 对于常数序列{1,1,…,1},频率正好是二项式分布。

  • 对于加倍序列{1,2,4,…,2n个},所有总和的频率为1;所有的总数都是奇数。如果序列增长速度超过2n个,其频率图不是很有趣。

  • 给定序列的所有和具有相同的奇偶性;相反奇偶校验和不可能。

  • 一个由Littlewood和Offord引理,但由Erdos改进的引理表明每个总和必须≤二项式(n,Floor(n/2))。只有常数才能达到相等序列,如{1,1,…,1}。

  • 看来鄂尔多斯的成绩可以提高;最高频率约为二项式(n,Floor(n/2))/SD,其中SD是2n个数的标准偏差±a1,±a2,。。。,±一个。例如,对于大n,
    • SD(±连续整数)≈Sqrt(1/3)n
    • SD(±连续正方形)≈Sqrt(1/5)n^2
    • SD(±素数)≈0.577素数(n)
    这很好上述图中的最大频率与此处给出的公式之间的一致性。

  • 分布的计算非常容易。第2个n个个人不计算总和。

  • Roland Bacher指出,这些频率可以被视为两个玩家之间的游戏。赌注是数字a1,a2,。。。,答:。

  • 频率是乘积(1/x^a1+x^a1)(1/x*a2+x*a2)的系数。。。(1/x^an+x^an)当它被展开为x的正负幂多项式时。

  • 罗恩·诺特指出,频率分布基本上与集合{a1,a2,…,an}的所有子集。在这种情况下,总和的范围是从0到S,而不是-S到S,其中S=a1+a2++答:。

  • 彼得·莫雷指出,H.F.Scherk的一个定理(1928年由Pillai证明)指出偶数指数(3,7,13,19,…)的素数p可以表示为集合的极值和由1和小于p的素数组成。这在西尔宾斯基的《数字基础理论》一书。Sierpinski的在线书籍。

  • 问题:给定一个频率分布,序列{a1,a2,…,an}可以确定吗?

上次更新日期为2003年8月14日,T.D.Noe,noe@sspectra.com