最低阶PSS(完美平方)
多年来,最低阶PSS是平方研究的“圣杯”。最低阶PSS是Duijvestijn于1978年在计算机搜索中发现的。我们所说的“最低阶”是指平方最小的平方。“顺序”是解剖中的方块数。正方形必须是“完美的”,也就是说,没有两个正方形大小相同。
Duijvestijn的21阶SPSS(简单完全平方)是唯一的,它是21阶唯一的SPSS,21阶是唯一计数为1的PSS阶。关于最低阶PSS的一个常见误解是,它也是最小的PSS。事实并非如此。Duijvestijn的订单21 SPSS的边长为112。有高阶SPSS,但其边长小于112。他们是我们特别广场名单中的下一个条目。
最小尺寸PSS
最小PSS尺寸为110。共有3个侧面为110的SPSS。
布坎普在《21至25阶简单完美方形目录》中写道
“本目录中的第一个简单完美正方形是由计算机,1978年3月,Duijvestijn。它的顺序尽可能低,n=21,这是该顺序中唯一的一个。同年7月,Duijvestijn发现了两个简单完美的22阶的平方。在与华盛顿的P.J.Federico沟通后,美国哥伦比亚特区通知了英国布里斯托尔的T.H.Willcocks,后者发现了第三个简单的关于1978年8月的22阶完美平方。”
后来,在《简单完美方形专辑》中C.J.布坎普(C.J.Bouwkamp)和A.J.W.Duijvestijn’Bouwcamp(A.J.W.Duijvetijn‘Bouwka)在第26号令中给出了发现Willcocks 110号的一些更有趣的细节;
“这两个方块被送到费德里科又把这些信息传达给了威尔科克斯。当Willcocks学习22:110时,在试图找到Wilson意义上的正方形的矩形生成器时,他“当时正在听广播新闻,我对这个问题的想法还不到一半,所以错误。。。找到“第二个方块”他继续说“这表明即使是愚蠢有时可能会产生有用的结果”这是威尔科克斯关于22:110出生的故事偶然发现。遗憾的是,Willcocks的分析细节尚未出版。”
我认为鲍坎普用“偶然发现”这个词来描述威尔科克斯的发现比“愚蠢”更可取、更准确。几年后发现了第三个大小为110或23级的SPSS;布坎普写;
“然后,在1990年,当计算机能力与60年代相比大幅增长时,Duijvestijn决定重新开始。他首先发现了8个22阶的简单完美平方,包括他的前两个。其次,他发现了23阶的12个和24阶的26个。”
在12阶中,23个SPSS是另一个边长为110的SPSS。
我们怎么知道这三个110尺寸的PSS是最小的?这是一个有趣的问题,考虑到这3个110 SPSS(2x 22:110和23:110)以及21:112 SPSS的存在,表明高阶完美平方可以比低阶完美平方小。有几个证据表明这些是最小的PSS。在我们进行证明之前,消除一些其他可能的可能性是有益的,这些可能性被认为是最小完美平方的可能候选。其中一个是基于一个奇怪的事实:2+22+32+...+242= 702。我们可以使用平方和公式第一次n个整数并使其等价于平方数,即S2=n(n+1)(2n+1)/6.配方的解决方案n(n+1)(2n+1)/6是金字塔数字。前几个金字塔数字是:1、5、14、30、55、91、140、204、285、385、506、650、819(序列A000330号在OEIS中)。解丢番图方程S2=n(n+1)(2n+1)/6涉及到找到一个金字塔数,它也是一个平方数,这是一个已知的问题炮弹问题,并且是沃森于1918年解决.(n,S)的整数解只有(1,1)和(24,70)。平凡解(1,1)对应于单位平方,推测平方1到24可能会平铺一个大小为70的平方。如果这是真的,将存在大小为70的24阶完全平方(PSS)。然而马丁·加德纳在他的书中写道数学嘉年华1974年,伊利诺伊大学厄本那-香槟分校的两位计算机科学家爱德华·莱因戈尔德(Edward M.Reingold)和詹姆斯·比特纳(James Bitner)编写了一个程序解决这个问题用它,他们证明了这样的瓷砖是不可能的。这一结果后来被1991年Duijvestijn对24目SPSS的枚举和1980年Duiijvestjn、Federico和Leeuw对24目CPSS的枚举所证实。
另一个可能的最小完美平方的候选者被认为是T.H.Willcocks 1948年发现的24阶175边复合完美平方(CPSS)。这是最低阶和最小尺寸的CPSS,保持了30年来最小PSS的记录,但110尺寸的SPSS的发现表明它不是最低阶和最低尺寸的PSS。具有讽刺意味的是,Duijvestijn发现了首个110米的PSS,打破了Willcock创造的最小PSS的纪录,但Willcocck意外发现了第22级中的另一个110米,这确保了他能够迅速恢复并永远保持与Duijvetijn同等的纪录。
1999年,伊恩·甘比尼介绍了他的论文(法语),并使用平铺分解算法证明了最小完美平方的大小为110,并且有三个不同的解决方案(忽略对称性),即Duijvestijn和Willcocks发现的解决方案。请参见“将正方形切成不同正方形的方法”伊恩·甘比尼(Ian Gambini),《离散应用数学》(Discrete Applied Mathematics)98(1999)65-80,以英语翻译的形式呈现了这一结果。
尽管瓷砖效果不佳702我们可以用这个方程S公司2=n(n+1)(2n+1)/6,以按顺序获取PSS大小的下限。为了使PSS尽可能小,我们需要将解剖中的方块尺寸最小化,并将方块之间的尺寸差异最小化,同时确保所有方块的尺寸都不相同。这可以通过使用从1开始的连续整数来完成。PSS的大小不能小于第一个PSS平方和的平方根n个整数,其中n个是顺序,因为连续整数在连续整数之间具有最小的差异(差异为1),并且从1开始的连续整数是所有可能的不同n个整数中不同大小的n个整数的最小可能集。我们可以使用平方和公式来求第33个金字塔数(或者只是前33个整数的平方和),它是12529。12529的平方根约为111.93。因此,边长小于112的PSS不能有超过32个正方形。相反,如果存在任何边长小于112的PSS,则它们只能以21到32的顺序存在。(Duijvestijn证明在21级以下不存在PSS,这一事实已被多次证实)。截至2013年9月,Lorenz Milla和Stuart Anderson完全枚举了21到32阶的PSS,所有嵌入到33条边和最小度为3的2连通平面图都是用植物,转换为电气网络,然后转换为提取平方方块的方形平铺。发现的最小PSS是3个已知的大小为110的SPSS。这又一次证明了Gambini的结果,即110是PSS可能的最小尺寸。
每订单最小尺寸PSS
从21到37的每个顺序中最小的PSS为112、110、110、120、147、212、180、201、221、201、215、185、233、218、225、253、237。(这是OEIS序列A217148型-此序列的条目与129947英镑但A129947仅为SPSS。根据詹姆斯·威廉姆斯的工作,订单38至39的最佳已知值为:;352, 360. 这些术语的大小/顺序度量值从23:110 SPSS的4.782、两个22:110和24:120的5到39:360的9.23不等。根据这一衡量标准,23:110是已知最小的PSS(按大小/顺序的相对值和按大小的绝对值计算)。A129947的SPSS解剖的pdf是在这里。
平方和公式给出了下界对于每个订单中最小PSS的大小。
按订单列出的最大尺寸PSS
随着PSS订单的增加,元件尺寸增加,PSS可能的尺寸也增加。这与基尔霍夫的一致矩阵树定理,当应用于平方方形和平方矩形下面的图形时。随着图类中边的数量增加,生成树的数量也随之增加,从中可以看出剖分的维数和元素的大小。此外,由于可导出PSS的图属于有限生成类,因此我们可以得出这样的结论:给定阶次的PSS数也总是有限的,因此对于任何特定阶次的PS,总是会有一个最大值。每个订单中最大的可能PSS为21至37,因为这些订单已被完全列举。它们是;112, 192, 332, 479, 661, 825, 1179, 1544, 2134, 2710, 3641, 4988, 6391, 8430, 11216, 15039, 20242. 它们都是SPSS。这是OEIS序列A217149型A217149的SPSS解剖pdf是在这里。
通过对图类的最大行列式(相当于生成树的数量)进行因子分解,可以获得按顺序计算的PSS大小的上限。布鲁克斯、史密斯、塔特和斯通(1940)[2]证明了(6.12)定理。设p-网的满边为H,V。则归约p是H和V的H.C.F.的上平方根的倍数。
1965年,Tutte写道:“让G是一个3连通的平面图。众所周知,这样的图可以是在2-球面或闭合平面上绘制,基本上只有一种方式([9],[10])。设A是G的边,端点为x和y,P是从G通过删除边A。我们使用基尔霍夫方程来获得电流以P表示,假设总电流在x处进入,在y处离开,以及G的边是单位电阻。如[2]所示电流在P中的分布决定了矩形R的平方。通常P是R的水平极坐标网,但当P为零时,该规则会失效当前,或当P的两个顶点(在2-球体中未被G分隔)具有等电位。然而,每个简单的平方矩形都可以从将上述结构应用于适当的根据上述考虑,所有简单的方形矩形可以确定n阶的,前提是我们可以首先列出3个连通的n+1边的平面图。
在确定P中的电流时,取总电流等于复杂度是很方便的P的C(P)。这是P的生成树的数目,也就是P的子图的数目,这些子图是树,包括P的所有顶点。按照这个约定,P中的电流都是整数。我们将这些电流和P中相应的电位差描述为完整的。减少的将全电流除以其最高公因数得到的电流。减少的电流是R“以最低值计算”的组成平方的边长
当总电流在x处进入P,在y处离开时,从顶点a到顶点b的全电位降可以方便地表示为(ab.xy)。它可以看作是P或G的函数,因为它在每个网络中取相同的值。
设G是任意单位电阻网络,C是其复杂性,a、b、x和y是G的顶点,如[2]所示(ab.ab)(xy.xy)-(ab.xyC=(xy-xy)。写C=mk2,其中m是无平方的,我们发现mk除以(ab.xy)。因此,为了找到对应于S的平方的减小的电流,将相关的全电流除以大的减小因子mk”。
设G是具有n个顶点的平面图。G的生成树数最多为O(5.28515^n)。如果G是3-连通的且不包含三角形,则其生成树的数目以O(3.141619^n)为界。如果G是3-连通的,并且不包含三角形和四边形,那么它的生成树的数目以O(2.71567^n)为界。请参见http://arxiv.org/abs/0912.0712
利用顶点对生成树s(T)个数的界,然后取s(T)的平方根,得到了具有该顶点数和不同边数(以及相应的阶数范围)的阶数的平方平方最大值的界。得到的界限比枚举顺序中的最大值要高得多。
按顺序排列的最大元素大小
PSS从21到32的每一阶的最大可能元素是:;50, 97, 134, 200, 343, 440, 590, 797, 1045, 1435, 1855, 2505, 3296, 4528, 5751, 7739, 10361. 它们都来自SPSS。这是OEIS序列A228953型A228953的SPSS解剖pdf是在这里。
元素大小按顺序的上限也可以从中的最大行列式(相当于生成树的数量)中获得按订单列出的最大尺寸PSS。请参阅三角形等边三角形,关于矩阵树定理的部分,解释了如何计算元素大小。
最大元件尺寸占PSS尺寸的比例
元素在PSS大小中所占的比例可以有多大?在21至32个完整订单中,最好的是一个略高于PSS大小2/3(66.7%)的元素。这个pdf格式在21到32的每个顺序中都有最佳结果。
我们可以做得更好,应该可以构建CPSS,使最大的元素接近CPSS大小的100%。诀窍是创建两个具有特定比率的细长、简单的完美方形矩形(SPSR),将它们以直角连接,然后在剩余空间中添加一个大的额外方形。例如,Brian Trial创建了1xn个SPSR,从n=4到18。创建1xn SPSR是平方问题(即1xn,n=1)的自然推广,很难做到。Brian在这个问题上的结果非常出色。
Brian的1xn SPSR的两个pdf在这里;
(横向版本)和(纵向版本)。通过缩放和安装Brian的1x17和1x18 SPSR并添加一个额外的正方形,等于缩放1x17的长边的大小矩形,使用创建复合正方形(CPSS)最大元素正方形,其边长等于CPSS的94%侧面。此的pdfCPSS(订单560;尺寸338321736)已建造。较小的元素与较大的正方形相比相形见绌,你需要放大以沿侧面查看它们。
交叉PSS
一些已知最早的完美正方形在其结构。例如,斯普拉格阶数为55的平方,边长为4205。这本PSS也值得一提,因为它是第一本出版的PSS。
罗兰·布鲁克斯用转子-定子对称法,有2个十字;
阿瑟·斯通(Arthur Stone)发现的一个28阶复合完全方形,使用2订购13个简单的正方形矩形,以及另外2个正方形,有一个十字。这是R1、R2 Moron结构,是交叉结构;
在Brooks、Smith、Stone和Tuttes 1940年的论文“矩形的剖分为正方形”中,他们提到了使用先进的转子-定子技术创建的55号SPSS订单。广场上没有十字架,这被视为一项成就。十字架被视为“瑕疵”,表明其结构,应尽可能消除,尽管人们很快意识到带十字架的完美方形是一种非常罕见的现象。
Duijvestijn记录了布坎普密码和十字架首次出现的顺序。在第26顺序中,他找到了第一个带有最低顺序十字架的SPSS[1]。他还发现了最低阶的CPSS,其十字为26阶。使用CPSS时,需要检查CPSS的所有异构体,因为某些异构体可能会交叉,而相同CPSS的其他异构体则不会交叉。最低阶的SPSR和带有十字架的SISR是17阶,而带有十字架的最低阶SISS是18阶。对于简单的完全平方矩形,我将计数进一步扩展到21阶,对于完全平方矩形则是32阶。
交叉平方的数目矩形和方形方块
订单 |
SPSR公司
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SISR公司
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SPSS软件
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CPSS(异构体)
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SISS系统
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中央处理器
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9
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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2
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5
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-
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18
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2
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8
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-
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2
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19
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7 |
36
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-
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-
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-
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20
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29 |
72
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10
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21
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166
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-
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-
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4
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22
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-
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-
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58
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23
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-
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-
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57
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24
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-
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-
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366
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25
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-
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-
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351
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26
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1
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1
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1858
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27
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3
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-
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1998
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28
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10
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18
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29
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23
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15
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30
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71
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122
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31
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146
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231
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32
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338
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1190
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完美方形异构体
在正方形和正方形中,同分异构体是与另一个平铺具有相同大小和尺寸的正方形平铺或剖分,所有元素成对排列,但排列不同。所有CPSS都是以异构体的形式存在的,因为子矩形的方向不同。SPSS异构体被认为是特殊的,因为异构体较为罕见,并且每种异构体的构型不同。异构体是由完美方形元素制成的拼图的重要设计成分。能够以完全不同的方式将各个部分组合在一起,这是一个有趣的令人困惑的问题。
异构体在这项研究由布鲁克斯、史密斯、塔特和斯通进行。
塔特写道,
“完美运动是一种令人愉快的娱乐与具有高度对称性的网络相对应的矩形。我们例如,考虑由具有角点的立方体定义的网络用于端子和电线的边缘。这没有给任何完美矩形。然而,当一根斜钢丝穿过一根面,并展平成一个平面,它给出了图的史密斯图74和图75中相应的方形矩形。这个矩形特别有趣,因为它的约化元素异常第十三道菜是小的。这些元素的共同因素是六个。布鲁克斯对这个长方形非常满意,他做了一个拼图它的拼图,每一块都是组成方块的一个。"
图75;112 x 75A方形矩形
“正是在这个阶段,布鲁克斯的母亲发现了整个研究。她解决了布鲁克斯的难题,最终成功地把这些碎片拼成了一个矩形。但是它不是布鲁克斯切割的方形矩形!布鲁克斯返回剑桥,报告说有两个具有相同缩减边和相同缩减边的不同完美矩形减少元素。"
图76;112 x 75B方形矩形
异构现象导致布鲁克斯、史密斯、塔特和斯通研究了两个矩形,他们发现它们是对称的。此外对称性的探索导致了可以生成矩形的网络大小相同,所有元素都不同(或只有一个角元素相同),这些可以与其他2个正方形组装,以形成一个复合正方形。
图75和76中的112 x 75矩形以30级CPSS异构体的形式再现,其中有2个30级的CPSS,629侧具有相同的元素,每个CPSS具有112 x 75个SPSR中的一个作为子矩形。
Duijvestijn编目的异构体。在25号SPSS订单中,他找到了3号异构体对[1]。
异构体可以根据每个类别中的数量进行分类;
两对,三个三元组,四个–四个,五到五倍,六个六角,七到七对,八个八元组,九个非夫妻,十个十倍,11个–不可恢复,12–双十倍,十三–十三倍,十四个四倍,十五个昆士德,十六个十倍,17–9十进制,十八到十八倍,十九个十分之一。
以下计数是通过以下方式对排序的相邻异构体进行的最终计数秩序
CPSS总是以异构体的形式存在,显示了每个顺序中的异构体数量,以及每个顺序中CPSS等价类的数量。CPSS(类别)中的数字是异构体的数量之间CPSS等价类。尺寸和顺序相同的单体和化合物也可能形成异构体。
平方的数字矩形和方形隔离器
不相交的N元组
不相交的N元组可以被视为异构体的反义词,而不是寻找大小相同的平铺,其中每个平铺中的所有元素都相同,但排列方式不同,异构体就是这样,我们寻找的是大小相同的平铺,通常具有相同数量的元素,但没有共同的元素。
如果A和B是两个集,并且A和B元素的交集是空集;A≠B=∅,那么我们可以说A和B的元素是不相交的。n元组实际上是数字列表的另一个名称,在本例中,我们指的是解剖元素。完美正方形(PSS)A和B可以通过其元素大小相互比较,同样形状的SPSR A和B也可以进行比较。如果A和B是矩形,并且是相同的形状,那么矩形的高度和宽度是相同的比例,但它们可能不是相同的大小,如果是这样的话,那么我们可以在比较元素之前将A和B缩放到相同的大小,以查看它们是否不相交。
我们可能想找出不相交的n元组(尤其是SPSR)的原因是,它们为构造复合完美平方(CPSS)提供了一种众所周知的方法的必要成分。
莫伦数字
1925年兹比格尼乌·莫朗[1] 提出了一个问题:“对于什么样的正方形,可以将它们分割成正方形?”然后他观察到“如果存在一个矩形(具有不同的边),其中有两个分割R1和R2,这样;在这两个剖切中,都没有出现与矩形较小边相等的正方形,并且剖切R1的每个正方形与剖切R2中的每个正方都不同,然后将正方形剖切为所有不同的正方形(如下图所示)。”
1940年阿瑟·斯通[3] 发布了使用莫伦构造的1015侧和28号令CPSS的发现。它由两个顺序为13的不相交n元组SPSR构成,再加上两个大小等于矩形各自边长的额外正方形。顺序13是这种不相交的n元组出现的最低顺序。相同大小的不相交n元组SPSR出现在所有更高阶的SPSR中,数量呈指数增长。从13阶到21阶,相同大小的不相交SPSR对的数量为1、2、7、60、225、1208、5186、20116、82227。从这些对中可以构造出等效数量的CPSS。事实上,甚至可以创建更多的CPSS;如果3个SPSR是一个不相交的三元组,那么可以生成3个CPSS,而不仅仅是两对CPSS,类似地,可以从不相交的四元组SPSR中每次使用2对CPSS来生成6个CPSS。然而,通过同时使用所有四个SPSR,可以从相交的四元组中生成更多的CPSS。还可以通过比较订单中的SPSR和相同形状的SPSR来生成其他CPSS。用2个SPSR生产的CPSS的顺序是SPSR顺序加2的两倍。
2012年,安德森通过合并多达20个不相交的n元组SPSR订单,创建了大量36到42个订单的CPSS。
28:1015b的48种异构体中的两种。阿瑟·斯通(1940)
以这种方式从不相交对创建的每个CPSS可以排列在48个异构体类中。48个异构体类别可分为16和32两个亚类,其中两个矩形可以通过旋转和就地反射排列,也可以相互交换。
特殊情况下,两个1x2 SPSR(大小相同,或缩放到相同大小)可以沿长边组合,形成CPSS,而无需添加两个额外的正方形。三个1x3 SPSR可以类似地组合成一个CPSS(但只有1个1x3SPSR已知)
1990年,贾斯珀·斯金纳(Jasper Skinner)[4]报道了两种独特的复合完美剖分,将1429个缩边的正方形剖分为29个不等的正方形。他写道,
“要被称为“唯一平方”,两个或两个以上的完美平方(或矩形)必须满足三个标准:
(1) 顺序相同,
(2) 具有等效的相应缩减边,以及
(3) 没有共同的元素。
许多对完美平方的正方形是已知的,但有共同的元素。由常见的缩减边和顺序组成的唯一平方简单完美矩形对首先出现在顺序13处。A.H.Stone(1940)[3]完整地描述了简单完美矩形的低阶对,C.J.Bouwkamp(1965)指出,普通约化边和阶的三元组第一次出现在16阶。特别感谢C.J.Bouwkamp允许发表他的三胞胎发现。边比降低的低阶三重态的Bouwkampcode 2393:3218内容如下:
(A) (1242627548801)(79469)(706)(216585)(316369)(1151,91)(1060,53)(1007);
(B) (12431091884)(207677)(245583470)(1150,93)(338)(315832)(719202)(517);
(C) (12737081237)(312396)(228,84)(347133)(2141156)(25203)(1120178)(942)。
目前,还没有已知的通用约化边和阶的唯一平方简单完美矩形的四重集示例。然而,C.J.Bouwkamp(1965)发现了一对没有共同元素的四胞胎,尽管其还原边不同,顺序从17到18不等。”
找到了4个具有公共约化边和阶的唯一平方简单完美矩形的四重SPSR,其阶数为20。SPSR已合并并显示在方形风车显示在页面下方。
不相交n元组平方
斯金纳构造了第一对具有公共约化边和阶的唯一平方正方形。
“这些解剖是1990年5月4日至6日使用T.H.Willcocks(1951)[5,技术2.211的技术经验发现的应用于两个28阶的复合完美正方形:第一个是由A.H.Stone(1940)设计的简化边1015,第二个是由W.T.Tutte(1950)设计的1073。结果是一对29阶减少边1429的复合完美正方形,没有公共元素。第一组的布坎普代码如下:
(414,280, 372, 363)(188,92) (93,270) (119,261,84) (199,215) (177) (165,23) (142) (183, 16)(167,47,17) (13,43, 163,796) (30) (120) (633).
第二种是布坎普码;
(356,244, 153,248,169,259)(91,62) (79,90) (29,33) (364) (360)(349) (111,89, 156) (22,67) (133) (88, 135) (221) (39, 213,821) (174)(608)."
不相交的n元组SPSS首先出现的顺序是26,共有2对,一对大小为752,另一对大小是759。两者都是由Duijvestijn发现的。斯金纳发现的第29级1429对CPSS是它们在CPSS中出现的最低顺序。还有另一对,顺序为29个CPSS,边长为1488。其中一个是斯金纳发现的,另一个是安德森和约翰逊发现的。
完全平方不交N对偶的个数
不相交的n元组PSS可用于构造其他PSS。例如,如果两对不相交的n元组PSS的大小和顺序相同,则可以将它们以2 x 2的排列方式放置在一起,以形成两倍于大小和四倍于顺序的CPSS,或者我们可以使用一对不相交n元组的PSS(大小相同)和1 x 2的SPSR(PSS和SPSR可能都需要缩放),如果缩放后没有两个元素相同,我们就有了一个新的PSS。或者我们可以使用一个不相交的n元组三元组和一个额外大小的正方形,即PSS的大小,来构造一个2 x 2的PSS结构。两个不相交的n元组1 x 2 SPSR可以缩放并装配在一起以形成PSS。四个不相交的n元PSS(或SPSRS)可以缩放并装配在一起,形成一个PSS。还有许多其他可能性。
平方2 x 2,o82:2024,由3个不相交的n元组o27:1012 SPSS组成
方形风车
如上所述,如果有四个不相交的n元组SPSR,则可以使用各种新的CPSS构造。这些是莫伦结构及其异构体的扩展,以及一个新的结构,即方形风车正方形风车有四个长方形围绕中心正方形排列(大小等于长方形的宽度和高度之差),与风车很相似。
目前尚不清楚相同顺序的四重不相交的n重SPSR的最低阶外观是什么。然而,众所周知(Anderson,2011),四个不相交的n元组SPSR存在于20阶。一个风车已经从这四个方面创造出来;
方形风车,o81:6062 SEA(2012)
“漂亮”完美方形
如果最小和最大元件(或最小元件和PSS边长)之间的尺寸差异最小,则PSS是“好的”。“好”的PSS是“特殊”PSS中最受欢迎的类别之一。有一种与“美好”相关的可感知美学,大多数人在观看“美好”解剖时都会积极回应。“美好”也有一种实用的品质。PSS在3D打印、解剖拼图、被子、彩色玻璃窗和书架等物体制造中的应用需要“精确性”标准,以避免绝大多数PSS所具有的相对微小的元素不实用。拼图制作者也有义务不制造太小的拼图物体,以免被小孩子或动物吞食。
从中衍生出“美好”解剖的“电气”网络也可能有实际用途。由于所有元素的大小都相对较大,因此图边缘的流也相对较大。这可能有助于平衡网络负载,也可能有其他应用程序。
“精细度”的一个衡量标准是解剖侧面与最小元素大小的比率。在非正方形矩形中,边具有不同的尺寸,对于非常长的矩形,最好选择较短的边作为比率中的剖切边,在这种情况下,选择较长的边会过多地关注比率并使测量结果倾斜。如果边的长度几乎相同,或者矩形是方形的,那么选择哪边并不重要,所以我们应该总是选择矩形中较短的边。另一个衡量“精细度”的指标是最大元素的大小与最小元素的大小之比。这是我喜欢使用的,“好”的解剖用两种方法都有好的测量方法。方形矩形(非方形矩形)比方形方形“更好”。在序列23中,我发现了一个SPSR 7526x5620,其最大/最小元素分别为2182和576;2182/576的比率=3.788。在2.91亿份SPSR中,这是唯一一份比率低于4的报告,但也有许多比率在4及以上。正方形的集合较小,迄今为止发现的最好的是36阶SPSS,边长为7743,最大/最小元素为2456和333;比率为2456/333=7.38,是“最好的”SPSR的两倍,尽管有一个更大的“池”可以从中提取SPSR。
2014年5月,Jim Williams发现了一个最大/最小元素为549/70=7.8429的SPSS,使其成为当时已知的“最佳”完美平方。
从那时起,吉姆·威廉姆斯(Jim Williams)一直在计算机上搜索完美方形的完整订单。他列举了37号订单的所有SPSS和39号订单的全部CPSS。在这些SPSS中,有4个新的破纪录的“好SPSS”,比率分别为7.38、7.43、7.43和7.56。CPSS已被完全枚举到39阶,但只有2个CPSS的“精确性”度量值低于10。
这4个PSS的“精密度”测量值低于8,包括最大元素(2456)与最小元素(333)的最佳比值(7.38)的SPSS。
2020年扩大“最佳”已知SPSS,最大元素与最小元素之比为2456/333=7.38
2020年我一起收集99个已知的“最新”PSS-所有的精密度都小于10,包括97个SPSS和2个CPSS。
2个大小相同的SPSS,其中许多元素相同,最大元素与最小元素的比率相同,为10558/1312=8.05
已知最好的SPSR;订单23 SPSR;7526 x 5620,最大元素与最小元素之比为2182/576=3.79
不在边界上(和不在角上)的最大元素数
最大的正方形可以在解剖的外墙上,也可以在内部。Duijvestijn在1980年发现了两个最低阶的SPSR,其中最大的角不在边界上,为17阶[9]。他还发现该属性的最低阶SISS为21阶(参见在这里). 1992年,Duijvestijn发现了2个最低阶SPSS(o25:506A和o25:556A),其中最大的角点不在边界上,为25阶(参见在这里).
SPSS o25:506(AJD)显示,所有4个最大元素都可能不在角落里。SPSS o32:456A(JBW)2013显示,所有5个最大元素也可能不在角落中,而o32:1376A(JCW)显示,所有7个最大元素都可能不在拐角中(但最大的正方形位于边界上)。在21到32阶SPSS中,最大元素不在边界上的SPSS数量为;0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6, 3, 22, 35, 120. 在24至32级CPSS中,不在边界上具有最大正方形的CPSS异构体的数量为;0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 41.
最大元素不在边界上的25到32阶SPSS为在这里。最大元素不在边界上的31到32级CPSS异构体为在这里。
SPSS,最大元素不在边界上,最大的5个元素不在角落里;32-456A-(接线盒)
SPSS的7个最大元素不在一个角落里;32-1376A-(接线盒)
最大/最小元素的比率为432/44=9.81
Jim Williams将SPSS订单的完整计数扩展到37个订单。顺序37是一个边长为2516的正方形,其中9个最大元素不在角落里。
SPSS,9个最大元素不在一个角落;37-2516CPL(接线盒)
PSS中的最小边界元数(7)
不难证明PSS边界上必须至少有7个元素。一开始,至少需要4个,每个角落一个。如果只有4个,并且它们不能重叠,那么它们必须是相同的大小,因此是不完美的。如果没有间隙和缺陷,正方形中的5元素周长是不可能的。它也可以通过初等代数和各种情况的检查表明,周长上的6个元素导致不完美元素。第一个具有7个边界元的PSS按顺序为28,是一个SPSS。它是由贾斯珀·斯金纳发现的,Bowkampcode是28 831 831(423408)(131102175)(117,60,63,67116)(57,3)(54,12)(8,26,33)(20)(29,73)(2,24)(22)(17,16)(292)(291)(248)*28:831C JDS。7元素边界PSS的下一个出现顺序为29个SPSS;29 1113 1113(569544)(173136235)(161,78,73,52,57148)(21,22,9)(4,53)(13)(5,88,1)(36)(83)(51,38)(37,99)(396)(383)(334)*29:1113B AJP 2011。这是安德森、约翰逊和佩格在2011年发现的。30个SPSS中有11个,31个SPSS有46个,32个SPSS是121个。28-32阶边界为7的SPSS的pdf为在这里。
7元素边界SPSS;28:831C(JDS)
边界上有7个元素的CPSS按顺序30开始。共有4个CPSS异构体,顺序为30,28个CPSS异构体,顺序为31,60个CPSS异构体,顺序为32,均具有7个元素边界。显示它们的pdf是在这里。
7单元边界CPSS;30:1251a(JBW)
PSS中边界元素的最大数量(>50%)
这个条目与最后一个相反,我们不是试图最小化边界元素的数量,而是试图最大化它们。对于PSS,由于边界上必须至少有7个正方形,因此内部正方形的数量<=7阶。SPSS已知的内部正方形的绝对最小数量为11,顺序为22。一般来说,对于SPSS,内部元素的数量超过边界元素的数量,但在25、27、28、29、31、33、34和39级中,在一些罕见的情况下,情况正好相反。对于CPSS,有一些例子表明边界元素的数量也超过了内部元素,并且这种发生的频率高于SPSS。已知有25至32个数量级的具有这种性质的CPSS异构体。CPSS异构体中已知的最佳结果是31:1155b(86/256),其中有18个边界元素和13个内部元素。该PSS在左上角也有一个9元素,如下所示。
内部元素数量超过边界元素的SPSS文件是在这里。
内部元素数量超过边界元素的CPSS异构体文件是在这里。
边界元素=18,内部元素=13,角落CPSS中的&9;31-1155b-86-of-256-(JBW)
PSS中边界元的最小尺寸(5)
在甘比尼论文,他证明了SPSR边界上的最小可能元素是5。这可以扩展到SPSS和CPSS。甘比尼利用这个界限来提高分解程序的效率,并能够生成SPSS中顺序为44和58的两个示例,每个示例的侧面各有一个5.他没有制作任何侧面有5个SPSR。2011年9月,Brian Trial发现3个顺序为28的SPSR,其中“5个在旁边”。3个SPSR的尺寸为:;658x506、749x611和1226x979。包含所有3个平铺的pdf是在这里。带有“边上5”的最低阶SPSR未知,它存在于25阶的下界(由Stuart Anderson对9-24阶的搜索建立)和Brian Trial建立的28阶的上界之间。
SPSR命令9到24的边界上的最小平方被记录为OEIS整数序列A195984号以及下表中的内容;
每个SPSR阶的最小边界平方
订单 (SPSR) |
最小边界元素 |
9
|
8
|
10
|
13
|
11
|
22
|
12
|
18
|
13
|
14
|
14
|
13
|
15
|
11
|
16
|
9
|
17
|
6
|
18
|
9
|
19
|
7
|
20
|
7
|
21
|
8
|
22
|
6
|
23
|
8
|
24
|
7
|
Brian Trial发现的3个订单28个SPSR的信号灯代码;
28 659 506 (357,302)(98,204)(149,87,78,43)(35,106)(9,33,71)(62,34)(10,23)(28,16)(8,15)(12,4)(3,1)(2,7)(5)
28 749 611 (387,362)(25,88,249)(224,125,63)(62,89)(99,61,27)(44,72)(38,23)(16,28)(15,8)(4,12)(1,3)(7,2)(5)
28 1226 979 (647,579)(179,400)(332,204,111)(69,221)(24,45)(128,79,21)(66)(49,30)(25,41)(19,11)(9,16)(8,3)(2,7)(5)
PSS中的最小角元素尺寸
在甘比尼论文,他证明了SPSR的最小可能角元素是9。他在自己的程序中使用了这个绑定来加快对PSS的搜索。对9至24号订单中已完成订单的SPSR进行检查,结果表明9 33x32号订单(由莫伦于1925年发现)是唯一已知的角落中含有元素9和14的SPSR。事实上,没有角为10、11、12或13的9到24阶SPSR。据推测,9和14的角点只能以9 33x32的顺序出现,而不能出现在其他SPSR中。甘比尼猜想33x32会以子矩形的形式出现在CPSS的角上,使得9成为PSS的最小角元素。事实上,已经发现了这样的CPSS,参见詹姆斯·威廉姆斯2013年1月在标题下发现的31:1155b(86/256)PSS中边界元素的最大数量(>50%)在本页上。
SPSS已知的最小绝对角尺寸为两阶22,大小为110(110是SPSS可能的最小尺寸)。两者都有一个18号的正方形角落。
2011年11月3日,Brian Trial发现了713 x 661订购51个SPSR,角落里有11个!这意味着可以用51:713x661形成CPSS,作为一个角上有11的子矩形。在SPSR的一个角落里没有发现10号的衣服。我们不知道是否存在角尺寸在10到18之间的PSS,因此我们将SPSR作为可能的指导。从顺序9到顺序24,每个SPSR顺序中的最小角正方形是9、15、25、22、24、23、23、17、15、17、16、16、17、18、16、15。目前还不知道角为10、12或13的SPSR。
例如,还可以检查相对于PSS尺寸测量的PSS角尺寸27:876C(JDS)角部的元素尺寸为50,其比值为876/50=17.52,大于110/18=6.1,因此相对而言,27:876C 50角比22:110A&B 18角小得多。
PSS中基本元素的最大和最小数量(按顺序),以及PSS中的基本元素分布。
PSS中素元素的最大和最小数量是多少。当然,随着阶数的增加,最大数可能会毫无限制地增加,所以一个更有趣的问题是,PSS中素元素的最大和最小数量与阶数的比例是多少?一个更有趣的问题是质数元素如何分布在PSS中?。
在对SPSS从第21阶到第32阶的所有顺序中的每个元素进行测试后,我们获得了表中输入的每个SPSS中的素数的以下计数。
SPSS软件 |
每个顺序的总SPSS,按列列出素元素的数量 |
订单 |
订单 |
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
总SPSS
|
21 |
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
22 |
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
3
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
8
|
23 |
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
3
|
4
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
12
|
24 |
0
|
1
|
0
|
1
|
4
|
5
|
5
|
5
|
2
|
2
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
26
|
25 |
0
|
5
|
0
|
8
|
20
|
29
|
26
|
23
|
18
|
19
|
6
|
5
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
160
|
26 |
0
|
3
|
14
|
23
|
43
|
55
|
68
|
81
|
68
|
49
|
22
|
10
|
4
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
441
|
27 |
1
|
9
|
28
|
66
|
101
|
173
|
183
|
181
|
171
|
123
|
68
|
32
|
15
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1152
|
28 |
9
|
26
|
81
|
175
|
340
|
439
|
517
|
464
|
369
|
292
|
177
|
81
|
23
|
6
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
3001
|
29 |
27
|
77
|
239
|
494
|
875
|
1150
|
1275
|
1207
|
1058
|
761
|
430
|
200
|
84
|
18
|
4
|
2
|
0
|
0
|
0
|
7901
|
30 |
74
|
219
|
716
|
1528
|
2415
|
3083
|
3259
|
3157
|
2450
|
1756
|
1060
|
545
|
216
|
66
|
19
|
3
|
0
|
0
|
0
|
20566
|
31 |
235
|
647
|
2083
|
4272
|
6584
|
8056
|
8582
|
7914
|
6379
|
4667
|
2789
|
1402
|
612
|
233
|
61
|
19
|
6
|
0
|
0
|
54541
|
32 |
814
|
2018
|
5997
|
12068
|
17515
|
20987
|
22289
|
20652
|
16516
|
11689
|
7290
|
3731
|
1678
|
650
|
209
|
43
|
12
|
2
|
1
|
144161
|
实验证据表明SPSS中的素元素具有正态分布,平均值和方差“近似”等于Order/4。它似乎正倾斜。在26阶以上,模式似乎固定在每个SPSS的6个基本元素上。
SPSS 28-32阶素数的分布
该表和直方图表明,随着阶数的增加,应该会发现更多的SPSS,其中素元素的数量最大约为/2阶,并且增加到大于/2阶。事实上,它略高于订单/2。如表所示,有1个26阶SPSS含有13个(50%)素数元素,第28阶SPSS含14个(50%,按照32的顺序,有12个SPSS具有16个(50%)素元素,2个SPSS具有17个(53%)素元素,1个SPSS具有18个(56%)素元素。
随着阶数的增加,素元素最小值(即不含素数的PSS数)的增加速度比最大值更快。从21阶到32阶0个素数元素的SPSS数为;0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 27, 74, 235, 814.
进一步分析已经完成了,这涉及到将完美平方的元素模拟为一个阶整数的随机集合,在数量和大小上约束为给定完美平方阶的最大元素大小。随机元素先平方,然后求和,所有平方和本身就是一个平方,我们发现随机整数的素数分布与完美平方的分布相同。尽管事实上,每种情况下的随机整数并没有平铺较大的求和平方。PSS平方元和模拟随机平方元之和为平方的要求,在这两种情况下都以相同的方式扭曲了分布。正方形的素数组成似乎不受平铺的拓扑性质的影响。
32:681I含18个基本元素(56.25%)
PSS中的元件奇偶校验计数
如果对PSS中奇数元素和偶数元素的数量进行计数,很快就会发现PSS元素的奇偶校验总数不相等,在某些顺序中相差几个百分点。在SPSS顺序21、24、25、26和27中,奇数元素的数量超过偶数元素,但在顺序22、23、28、29、30、31和32中则相反。此外,如果我们计算每个顺序中具有奇数和偶数边的SPSS的数量,一旦我们越过低阶数达到25,我们会发现偶数边多于奇数边,并且分裂似乎收敛到60/40%分裂。
据我所知,Joe DeVincentis是第一个对正方形包装中的奇偶性进行观察的人,这为我们在PSS阶中发现的元素的奇偶性偏差提供了理论解释mathpuzzle.com网站;
“一段时间前,我在解决他的方块问题时,向埃里希·弗里德曼表达了这个概念(填充给定方块的最小整数方块)。我注意到,我对奇数正方形的许多最佳解决方案(这就是全部,因为合成正方形总是可以做得最好,因为它们的最小因子的解决方案的放大版)正好有5个奇数正方体,这是奇偶校验参数得出的此类正方形的最小数量。奇数整数边的平方的面积等于1模4,而偶数平方的面积则等于0模4。因此,要填充这个正方形,您需要一些奇数正方形,即1模4,而最小值1只能使用正方形填充正方形的退化解决方案来完成,因为每一行和每一列都存在奇偶校验问题。第二个可能的最小值是5,我的许多解决方案都显示了这一点,奇数正方形的排列包括两个对角中的每个角上的一个大奇数正方,以及在这两个角之间形成L形路径的三个小正方形,其排列方式使每列和每行包含1或3个奇数正方体。"
Joe DeVincentis正在解决Erich Friedman的正方形包装问题“完美”瓷砖的限制不适用。因此,他能够找到5个奇数正方形的奇边正方形的解。PSS的数据表明,奇数正方形中奇数元素的最小数量为9,这一数字也与1模4一致。事实上,所有PSS都遵守这一规则;它们在一个奇数正方形中的奇数元素的数目都等于一个与1模4(即9、13、17、21等)同余的数。乔·德文森提斯还提到了奇数正方剖分的奇偶约束,“偶数正方形的面积等于0模4”。乔·德文森提斯(Joe DeVincentis)的观察结果,结合对平方的定义和性质的一些推理,给出了一个相当完整的解释。平方正方形的元素总是被元素之间的任何公共因子分割,因此元素的GCD为1。然后称为约化元素。因此,约化元素不可能都有一个2的公因数,即它们不可能都是偶数元素。赔率呢?PSS可能由所有奇数元素组成吗?不。在布鲁克斯、史密斯、塔特和斯通的论文中(矩形剖分为正方形[1940]), p237(6.22)指出,“对于归约元素,我们可以证明(使用欧拉多面体公式,并考虑各种情况)(6.22)任何完美矩形的归约元素中至少有三个是偶数。(三个是可能的最佳数)。”该证明没有在论文中给出,但出现在斯金纳的《正方形》一书中,《谁是谁》和《什么是什么》第149-150页,修订版;在一个非平凡的完美平方矩形中,至少有2个元素是偶数。在后面的证明中,偶数元素的界限从3修改为2,然而,在这两种情况下,并非所有元素都可以是奇数。所以方形矩形(其中方形是一种特殊情况)必须包含奇数和偶数约化元素。现在将Joe DeVincentis的奇偶观测应用于偶数PSS,奇数整数边元素的平方的面积与1模4一致,偶数平方元素和偶数PSS的面积与0模4一致。因此,要填充双面PSS,您需要许多奇数正方形,这些正方形与0 mod 4一致,最小值4不会出现在PSS中,这很可能是因为需要避免“不完美”以及限制元素水平和垂直奇偶加法的需要。下一个可能的最小值是8。这正是22年以后所有订单中出现在双面PSS中的奇数元素的最小数量。
随着PSS阶数的增加,奇数和偶数PSS可能的mod 4奇偶校验类的数量也会增加。奇数PSS中奇数元素的数量始终等于1模4,奇数PSS中偶数元素的数目是顺序减去奇数元素。同样,偶数PSS中奇数元素的数量始终与0模4一致,并且偶数PSS中偶数元素的数目是顺序减去奇数元素。
SPSS中的奇偶校验 |
奇数侧SPSS |
偶数面SPSS |
订单的SPSS合计 |
按订单和模块4分类的单边SPSS总数 |
奇数元素mod 4类计数
|
偶数元素mod 4类计数
|
按订单和mod 4类列出的双面SPSS总数
|
奇数元素mod 4类计数
|
偶数元素mod 4类计数
|
订单21 |
4公里+1
|
4公里
|
订单21
|
4公里
|
4公里+1
|
|
0 |
13
|
8
|
1
|
12
|
9
|
|
0 |
|
|
1
|
|
|
1
|
订单22 |
4公里+1
|
4公里+1
|
订单22
|
4公里
|
4k+2
|
|
1 |
9
|
13
|
2
|
8
|
14
|
|
2 |
13
|
9
|
3
|
12
|
10
|
|
3 |
|
|
5
|
|
|
8
|
订单23 |
4公里+1
|
4k+2
|
订单23
|
4公里
|
4k+3
|
|
3 |
9
|
14
|
1
|
8
|
15
|
|
1 |
13
|
10
|
7
|
12
|
11
|
|
4 |
|
|
8
|
|
|
12
|
订单24 |
4公里+1
|
4k+3
|
订单24
|
4公里
|
4公里
|
|
8 |
9
|
15
|
1
|
8
|
16
|
|
5 |
13
|
11
|
12
|
12
|
12
|
|
13 |
|
|
13
|
|
|
26
|
订单25 |
4公里+1
|
4公里
|
订单25
|
4公里
|
4公里+1
|
|
21 |
9
|
16
|
13
|
8
|
17
|
|
24 |
13
|
12
|
43
|
12
|
13
|
|
16 |
17
|
8
|
43
|
16
|
9
|
|
61 |
|
|
99
|
|
|
160
|
订单26 |
4公里+1
|
4公里+1
|
订单26
|
4公里
|
4k+2
|
|
46 |
9
|
17
|
24
|
8
|
18
|
|
49 |
13
|
13
|
114
|
12
|
14
|
|
56 |
17
|
9
|
150
|
16
|
10
|
|
0 |
21
|
5
|
2
|
20
|
6
|
|
151 |
|
|
290
|
|
|
441
|
订单27 |
4公里+1
|
4k+2
|
订单27
|
4公里
|
4k+3
|
|
117 |
9
|
18
|
58
|
8
|
19
|
|
184 |
13
|
14
|
269
|
12
|
15
|
|
178 |
17
|
10
|
341
|
16
|
11
|
|
0 |
21
|
6
|
5
|
20
|
7
|
|
479 |
|
|
673
|
|
|
1152
|
订单28 |
4公里+1 |
4k+3
|
订单28
|
4公里
|
4公里
|
|
275 |
9
|
19
|
170
|
8
|
20
|
|
486 |
13
|
15
|
644
|
12
|
16
|
|
497 |
17
|
11
|
850
|
16
|
12
|
|
4 |
21
|
7
|
75
|
20
|
8
|
|
1262 |
|
|
1739
|
|
|
3001
|
订单29 |
4公里+1
|
4公里
|
订单29
|
4公里
|
4公里+1
|
|
523 |
9
|
20
|
462
|
8
|
21
|
|
1086 |
13
|
16
|
1677
|
12
|
17
|
|
1540 |
17
|
12
|
2235
|
16
|
13
|
|
38 |
21
|
8
|
340
|
20
|
9
|
|
3187 |
|
|
4714
|
|
|
7901
|
订单30 |
4公里+1
|
4公里+1
|
订单30
|
4公里
|
4k+2
|
|
1347 |
9
|
21
|
1202
|
8
|
22
|
|
2791 |
13
|
17
|
4426
|
12
|
18
|
|
3891 |
17
|
13
|
5221
|
16
|
14
|
|
296 |
21
|
9
|
1392
|
20
|
10
|
|
8325 |
|
|
12241
|
|
|
20566
|
订单31 |
4公里+1
|
4k+2
|
订单31
|
4公里
|
4k+3
|
|
3107 |
9
|
22
|
3172
|
8
|
23
|
|
6844 |
13
|
18
|
11122
|
12
|
19
|
|
10028 |
17
|
14
|
13067
|
16
|
15
|
|
1600 |
21
|
10
|
5589
|
20
|
11
|
|
0 |
25
|
6
|
12
|
24
|
7
|
|
21579 |
|
|
32962
|
|
|
54541
|
|
订单32 |
4公里+1
|
4k+3
|
订单32
|
4公里
|
4公里
|
|
7831 |
9
|
23
|
8832
|
8
|
24
|
|
16844 |
13
|
19
|
27191
|
12
|
20
|
|
24877 |
17
|
15
|
33333
|
16
|
16
|
|
7089 |
21
|
11
|
18013
|
20
|
12
|
|
7 |
25
|
7
|
144
|
24
|
8
|
|
56648 |
|
|
87513
|
|
|
144161
|
订单33 |
4公里+1
|
4公里
|
订单33
|
4公里
|
4公里+1
|
|
19309 |
9
|
24
|
22737
|
8
|
25
|
|
40519 |
13
|
20
|
68113
|
12
|
21
|
|
61075 |
17
|
16
|
83417
|
16
|
17
|
|
26905 |
21
|
12
|
54799
|
20
|
13
|
|
101 |
25
|
8
|
1222
|
24
|
9
|
|
147909 |
|
|
230288
|
|
|
378197
|
订单34 |
4公里+1
|
4公里+1
|
订单34
|
4公里
|
4k+2
|
|
47575 |
9
|
25
|
61120
|
8
|
26
|
|
96942 |
13
|
21
|
173078
|
12
|
22
|
|
147808 |
17
|
17
|
207592
|
16
|
18
|
|
90318 |
21
|
13
|
155671
|
20
|
14
|
|
1241 |
25
|
9
|
9635
|
24
|
10
|
|
0 |
29
|
5
|
1
|
28
|
6
|
|
383884 |
|
|
607097
|
|
|
990981
|
订单35 |
4公里+1
|
4k+2
|
订单35
|
4公里
|
4k+3
|
|
115639 |
9
|
26
|
159051
|
8
|
27
|
|
232171 |
13
|
22
|
439563
|
12
|
23
|
|
357036 |
17
|
18
|
515228
|
16
|
19
|
|
276668 |
21
|
14
|
415722
|
20
|
15
|
|
9833 |
25
|
10
|
57163
|
24
|
11
|
|
0 |
29
|
6
|
7
|
28
|
7
|
|
991347 |
|
|
1586734
|
|
|
2578081
|
订单36 |
4公里+1
|
4k+3
|
订单36
|
4公里
|
4公里
|
|
283471 |
9
|
27
|
414954
|
8
|
28
|
|
559581 |
13
|
23
|
1108413
|
12
|
24
|
|
863056 |
17
|
19
|
1272590
|
16
|
20
|
|
778961 |
21
|
15
|
1059018
|
20
|
16
|
|
62414 |
25
|
11
|
271436
|
24
|
12
|
|
6 |
29
|
7
|
167
|
28
|
8
|
|
2547489 |
|
|
4126578
|
|
|
6674067
|
订单37 |
4公里+1
|
4公里
|
订单37
|
4公里
|
4公里+1
|
|
686895 |
9
|
28
|
1065100
|
8
|
29
|
|
1330637 |
13
|
24
|
2764305
|
12
|
25
|
|
2069841 |
17
|
20
|
3122351
|
16
|
21
|
|
2052952 |
21
|
16
|
2605536
|
20
|
17
|
|
318293 |
25
|
12
|
1068099
|
24
|
13
|
|
145 |
29
|
8
|
2764
|
28
|
9
|
|
6458763 |
|
|
10628155
|
|
|
17086918
|
PSS中偶元素的数量取决于奇数元素的数量,并受PSS大小和顺序的模4同余的影响。对上表的研究揭示了一些罕见的偶数元素PSS。特别是在37阶之前,只有3个等边SPSS(26阶中的2个,34阶中的1个)具有最少6个偶数元素,只有41个SPSS具有最少7个偶数元。包含3个SPSS和6个even的pdf是在这里。
这些结果与斯金纳(由阿瑟·斯通提供)书中的定理一致,但留下了一些未回答的问题。斯金纳书中的定理是否意味着取代1940年提到的定理?PSS中可以出现的最小偶数元素数是多少?正方形是6,还是我们可以像正方形那样降到3(或2)?横贯解剖的水平和垂直奇偶加法要求,即使不是不可能,也很难在一个正方形中至少有2个偶数元素。该定理的两个版本都只涉及完美平方矩形,其中包括作为特例的完美平方矩形。DeVincentis的观察结果同样适用于两侧均为偶数的完美方形矩形(面积与0模4一致,因此剖分中奇数元素的数量也必须相同),并对两侧均为奇数的完美矩形进行了一些修改(面积与1模2一致)以及具有奇偶边的完美方形矩形(面积等于0模2)。因此,我们希望两边都是偶数的完美方形矩形中奇数元素的数量与0模4一致,这就是情况。我们期望边为奇数和偶数的完美正方形矩形中的奇数元素的数量与0 mod 2全等,这种情况就是这样。最后,我们希望两边都是奇数的完美方形矩形中的奇数元素的数量与1模2相等,这也是事实。在所有这些情况下,基于Brooks、Smith、Tutte和Stone 1940结果的理论,从DeVincentis的观察中得出的新理论,以及对完美方形矩形目录的计算机分析,都是一致的。在完全平方矩形中,目录显示解剖中奇数元素的最小数量为4,偶数元素的最少数量为3。第一个包含3个偶数元素的SPSR的顺序为10,但偶数元素计数为3在SPSR顺序中很少见。
位于PSS中心的元件
要求完美正方形的所有元素具有不同的大小(即“完美”),分散了解剖中的元素,并消除了构图中的所有对称性。然而,元件可能位于PSS的精确中心。情况就是这样方形风车,复合这样的事情在SPSS中确实发生过,但非常罕见。在21至32、28:888A(JDS)的SPSS订单中只有1个,而在43个订单中只发现了7个其他订单。感谢杰弗里·莫利找到了所有这些。这是pdf格式的。这里是他们的中心广场和布坎帕德;
28 888 888(340222326)(118104)(14,70119227)(181225,66)(10,60)(76)(11108)(26,45)(83,19)(64)(137,44)(335)(93323)(230)中的76
110在33 1210 1210(450357403)(193164)(179224)(335115)(29,41,94)(15,85110,12)(53)(130)(33101,45)(180)(56213)(60,25)(135)(157)(90100)(425)(415)(370)
38 977 977(369258350)(111147)(71279)(319125,36)(64103,16)(87)(25,39)(136,14)(122121)(1,51348)(58151,50)(101)(289,88)(57,22,9)(4,52196)(13)(35)(144)
1916年40月4日1916年(736479701)(257222)(35323565)(656224148)(76,72)(4,68)(304)(240151)(60,91)(29,31)(260313)(233178276)(524132)(80,98)(78130,25)(392)(105)(374)(339,52)(287)
41 520 520(200130190)(70,60)(80170)(142,46,32,50)(14,18)(56,4)(52,20)(100)(40,68)(90,92)(10160)(43,59,76)(21,22)(6,36,17)(88,2)(86,29)(28)(19,74)(57)(55)中的20
在43 1280 1280(496324460)(188136)(184412)(265215,16)(112,92)(20,32,40)(96,36)(24,8)(232)(60)(50165)(156)(315)(4408)(153404)(47106)(204,99,59)(34,62,69)(6,28)(105)(83,7)(76)
在43 2057 2057(773520764)(276244)(285723)(640110,23)(87212)(197)(171,41)(326)(123,74)(49,25)(196)(172)(349233112)(321319)(265570)(89144)(27,62)(8333,35)(2325)(323)(104305)(97)(201)
210在43 3340 3340(116010571123)(103508380,66)(1189)(672 591)(128252)(302210124)(86290)(81510)(92204)(753)(394)(494)(692212)(1611028)(867)(419334)(168166)(132173387)(336,83)(2255,41)(253)(214)
!!! 更新!!!伯纳德·莫斯(Bernard Moss)利用转换生成了数百万个SPSS,其中一个中心元素的顺序为48到85!
28:888A(JDS),带中心元素的最低阶SPSS