介绍
一个复合整数N，其数字和S（N）等于其素因子Sp（N）的数字和，称为史密斯号码[17].
例如，85是一个Smith数，因为85的数字和，即S（85）=8+5=13，等于其素因子的数字之和，即Sp（85）=Sp（17 x 5）=1+7+5=13。
Albert Wilansky命名为史密斯数字他的姐夫哈罗德·史密斯打来的电话号码是4937775。
4937775 = 3.5.5.65837
自
4+9+3+7+7+7+5=3+5+5+(6+5+8+3+7)=42
Wilansky还提到了另外两个具有此属性的数字，即9985和6036。Wilansky发现有360个Smith数字小于10000，而不是正确，如有376个史密斯数字小于10000。现在我们知道有无穷多个史密斯数[2].
10以下有25154060个史密斯号码9[4]. 进一步的计算表明10以下有241882509个史密斯号码10.延斯·克鲁斯·安徒生2008年4月28日报告称，有2335807857名史密斯人数低于10人11.
所有376个史密斯数字低于10000是：
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663,666中，690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1284, 1376、1449、1507、1581、1626、1633、1642、1678、1736、1755、1776、1795、1822，1842, 1858, 1872, 1881, 1894, 1903, 1908, 1921, 1935, 1952, 1962, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2286, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409、2434、2461、2475、2484、2515、2556、2576、2578、2583、2605、2614、2679，2688, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2934, 2944, 2958, 2964, 2965, 2970, 2974, 3046, 3091, 3138, 3168, 3174, 3226, 3246, 3258, 3294, 3345, 3366, 3390, 3442, 3505, 3564, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3690, 3694, 3802, 3852, 3864, 3865, 3930, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4428, 4464, 4472, 4557, 4592, 4594, 4702, 4743, 4765, 4788, 4794, 4832, 4855, 4880, 4918, 4954, 4959, 4960, 4974, 4981, 5062, 5071, 5088, 5098, 5172, 5242, 5248, 5253, 5269, 5298, 5305, 5386, 5388, 5397, 5422, 5458, 5485, 5526, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5772, 5818, 5854, 5874, 5915, 5926, 5935, 5936, 5946, 5998, 6036, 6054, 6084, 6096, 6115, 6171, 6178, 6187, 6188, 6252, 6259, 6295, 6315, 6344, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6684, 6693, 6702, 6718, 6760, 6816, 6835, 6855, 6880, 6934, 6981, 7026, 7051, 7062, 7068, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7674, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7764, 7782, 7784, 7809, 7824, 7834, 7915, 7952, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8154, 8158, 8185, 8196, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8372, 8412, 8421, 8466, 8518, 8545, 8568, 8628, 8653, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8851, 8864, 8874, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9036, 9094, 9166, 9184, 9193, 9229, 9274, 9276, 9285, 9294, 9296, 9301, 9330, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9396, 9414, 9427, 9483, 9522, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9648, 9657, 9684, 9708, 9717, 9735, 9742, 9760, 9778, 9840, 9843, 9849, 9861, 9880, 9895, 9924, 9942, 9968, 9975, 9985.
请注意野兽编号666也是一个史密斯号码。
各种史密斯数
- 史密斯半素数：
两个素数的乘积史密斯数可以称为史密斯半素数例如，22是一个史密斯半质（斯隆的A098837号).
全部史密斯半素数低于104是：4, 22, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 517, 526, 535, 562, 634, 706, 778, 895, 913, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255、1282、1507、1633、1642、1678、1795、1822、1858、1894、1903、1921、1966，2038, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2326, 2362, 2434, 2461, 2515, 2578, 2605, 2614, 2722, 2785, 2839, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3442, 3505, 3595, 3622, 3649, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4189, 4198, 4279, 4306, 4369, 4414, 4594, 4702, 4765, 4855, 4918, 4954, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5269, 5305, 5386, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5674, 5818, 5854, 5926, 5935, 5998, 6115, 6178, 6187, 6259, 6295, 6385, 6439, 6457, 6502, 6583, 6718, 6835, 6934, 7051, 7078, 7186, 7195, 7249, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7627, 7726, 7762, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8257, 8347, 8518, 8545, 8653, 8851, 8914, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9301, 9346, 9355, 9382, 9427, 9535, 9571, 9598, 9634, 9742, 9778, 9895、9985等：
- 回文史密斯数字：
史密斯数也是回文的（即向前和向后读取相同的数字）可以称为回文Smith数（斯隆的A098834号).
全部回文Smith数低于106是：4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50305, 51115, 51315, 54645, 55055, 55955, 72627, 81418, 82628, 83038, 83938, 90409, 95359, 96169, 164461, 173371, 239932, 256652, 262262, 294492, 362263, 373373, 445544, 454454, 505505, 515515, 535535, 545545, 635536, 704407, 717717, 832238, 841148, 864468, 951159, 956659, 974479和983389。
- 可逆史密斯数：
史密斯数，其反转也是史密斯数，可以称为可逆Smith数（斯隆的A104171号).
全部可逆Smith数低于104是：4, 22, 58, 85, 121, 202, 265, 319, 454, 535, 562, 636, 666, 913, 1111, 1507, 1642, 1881, 1894, 1903, 2461, 2583, 2605, 2614, 2839, 3091, 3663, 3852, 4162, 4198, 4369, 4594, 4765, 4788, 4794, 4954, 4974, 4981、5062、5386、5458、5539、5674、5818、5926、6295、6439、6835、7051，7227、7249、7438、7447、8158、8185、8347、8518、8545、8874、8914、9229、9346、9355、9382、9427和9634。
请注意，所有回文史密斯数上述为特殊情况可逆史密斯数。
- 斐波那契-史密斯数：
斐波那契数，也是史密斯数数字可以称为斐波纳契-史密斯数。史密斯计算期间数字，发现最小的fibonacci-smith数为1346369。
F类31=1346269=557 x 2417
自1+3+4+6+2+6+9 = 5+5+7+2+4+1+7
在进一步的计算中，发现了另外两个斐波那契-史密斯数，它们是：F类77=5527939700884757=13 x 89 x 988681 x 4832521
F类231= 844617150046923109759866426342507997914076076194
=2 x 13 x 89 x 421 x 19801 x 988681 x 4832521 x9164259601748159235188401
寻找更多的斐波那契-史密斯数可能是一项有趣的研究。
- 史密斯数字丰富与不足：
这样的数字s（n）是n个,大于n个被称为富足数字。如果n也是一个史密斯数，那么它可以被称为丰盛的史密斯数字例如，438是史密斯数，s（438）=1+2+3+6+73+146+219=450，大于438。所以438是一个丰盛的史密斯数字（斯隆的A098835号).
全部丰富的史密斯数字低于104是：378, 438, 576, 588, 636, 648, 654, 666, 690, 728, 762, 852, 1086, 1284, 1376, 1626, 1736, 1776, 1842, 1872, 1908, 1952, 1962, 2286, 2484, 2556, 2576, 2688, 2934, 2944, 2958, 2964, 2970, 3138, 3168, 3174, 3246, 3258, 3294, 3366, 3390, 3564, 3690, 3852, 3864, 3930, 4428, 4464, 4472, 4592, 4788, 4794, 4880, 4960,4974, 5088, 5172, 5248, 5298, 5388, 5526, 5772, 5874, 5936, 5946, 6036, 6054, 6084、6096、6188、6252、6344、6684、6702、6760、6816、6880、7026、7062、7068，7674, 7764, 7782, 7784, 7824, 7952, 8154, 8196, 8372, 8412, 8466, 8568, 8628, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8874, 9036, 9184, 9276, 9294, 9296, 9330, 9396、9414、9522、9648、9684、9708、9760、9840、9880、9924、9942和9968。
这样的数字s（n）是n个,小于n个被称为缺陷数字。如果n也是史密斯数，那么它可以称为史密斯数不足例如，22是一个史密斯数，s（22）=1+2+11=14，小于22。所以22是一个史密斯数不足（斯隆的A098836号).
全部史密斯数不足低于104是：4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 627, 634, 645, 663, 706, 729, 778, 825, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1449, 1507, 1581, 1633, 1642, 1678, 1755, 1795, 1822, 1858, 1881, 1894, 1903, 1921, 1935, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2515, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3345, 3442, 3505, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4557, 4594, 4702, 4743, 4765, 4832, 4855, 4918, 4954, 4959, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5253, 5269, 5305, 5386, 5397, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5818, 5854, 5915, 5926, 5935, 5998, 6115, 6171, 6178, 6187, 6259, 6295, 6315, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6693, 6718, 6835, 6855, 6934, 6981, 7051, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7809, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8253, 8257, 8277,8307, 8347, 8421, 8518, 8545, 8653, 8851, 8864, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9285, 9301, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9427, 9483, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9657, 9717, 9735, 9742, 9778, 9843, 9849、9861、9895、9975和9985。
- 史密斯平方数：
史密斯数是完美的正方形，可以称为史密斯平方数（斯隆的A098839号).
全部史密斯平方数低于107是：4, 121, 576, 729, 6084, 10201, 17424, 18496, 36481, 51529, 100489, 124609, 184041, 195364, 410881, 559504, 674041, 695556, 732736, 887364, 896809, 966289、988036、1038361、1190281、1238769、1726596、1852321、2166784、，2975625, 3407716, 3613801, 3663396, 3849444, 3888784, 3892729, 4088484,4309776, 4330561, 4809249, 4875264, 4888521, 5031049, 5225796, 5391684, 5438224, 5461569, 5527201, 5978025, 6517809, 6630625, 6635776, 6780816, 6864400, 6969600, 7059649, 7273809, 7717284, 7868025, 7946761, 8048569, 8567329、8573184、8608356、9150625、9455625、9678321和9960336。
- 史密斯立方数：
史密斯数是完美的立方体，可以称为史密斯立方数（斯隆的A098838号).
全部史密斯立方数低于1010是：27, 729, 19683, 474552, 7077888, 7414875, 8489664, 62099136, 112678587, 236029032, 246491883, 257259456, 279726264, 345948408, 463684824, 567663552, 638277381, 721734273, 766060875, 988047936, 1177583616, 1412467848, 2131746903, 2493326016, 2714704875, 3023464536, 3215578176, 3294646272,3951805941, 4443297984, 4843965888, 4895680392, 6158676537, 8266914648, 8340725952、8792838144和8831234763。
- 史密斯三角数：
史密斯数也是三角数，可以称为史密斯三角数（斯隆的A098840号).
全部史密斯三角数低于107是：378, 666, 861, 2556, 5253, 7503, 10296, 16653, 27261, 28920, 29890, 32896, 46056, 72771, 84255, 85905, 92235, 94395, 120786, 132870, 141778, 157641, 215496, 328455, 345696, 385881, 386760, 396495, 424581, 529935, 533028, 588070, 654940, 682696, 683865, 723003, 778128, 866586, 885115, 897130, 941878, 959805, 977901, 993345, 1082656, 1134771, 1234806, 1398628, 1457778, 1466328, 1495585, 1528626, 1570878, 1597578, 1633528, 1680861, 1792671, 1875016、1876953、1925703、1931595、1983036、2087946、2089990、2137278、，2273778, 2351196, 2396955, 2458653, 2692360, 2828631, 2859636, 2890810, 2924571, 2968266, 3296028, 3378700, 3383901, 3451878, 3467661, 3579150, 3654456、3733278、3757911、3904615、3935415、4119885、4444671、4710915、，4887501, 4925091, 5492955, 5586153, 5592840, 5815755, 6725278, 6984453, 7051890, 7486515, 7505875, 7536903, 7583565, 7850703, 7858630, 8090253, 8158780、8211378、8280415、8284485、8341570、8390656、8398851、8485140、，8501626、8982441、9281586、9359301、9541896、9651421和9677800
- 重复数位史密斯数字：
所有数字都相同（即重复数字）的史密斯数字可以称为复制史密斯数字（斯隆的A104166号).
全部复制史密斯数字低于1060是：4, 22, 666, 1111, 6666666, 4444444444, 44444444444444444444, 555555555555555555555555555, 5555555555 5555555 555555550555555255555555五十五和4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.
连续史密斯数
有连续的数字，也都是史密斯数字，这些数字可以称为连续的史密斯数字。如果有两个连续的数字是Smith数，则称为史密斯兄弟。两个连续史密斯数的最小集，即。史密斯兄弟是(728,729).
全部史密斯兄弟低于105是：(728, 729), (2964, 2965), (3864, 3865),(4959, 4960), (5935, 5936), (6187, 6188),(9386, 9387), (9633, 9634), (11695, 11696),(13764, 13765), (16536, 16537), (16591, 16592),(20784, 20785), (25428, 25429), (28808, 28809),(29623, 29624), (32696, 32697), (33632, 33633),(35805, 35806), (39585, 39586), (43736, 43737),(44733, 44734), (49027, 49028), (55344, 55345),(56336, 56337), (57663, 57664), (58305, 58306),（6263462635），（6591265913），（6597465975），(66650, 66651), (67067, 67068), (67728, 67729),(69279, 69280), (69835, 69836), (73615, 73616),（7361673617），（7416874169），（7429874299），(76495, 76496), (76911, 76912), (77385, 77386),(78744, 78745), (82488, 82489), (82640, 82641),（83744、83745）、（83928、83929）、（83937、83938），(84759, 84760), (84882, 84883), (85135, 85136),(87362, 87363), (87855, 87856), (89743, 89744),(89904, 89905), (90228, 90229), (90872, 90873),(91255, 91256), (91364, 91365), (91488, 91489),(93275, 93276), (93471, 93472), (94094, 94095),(94184, 94185), (94584, 94585), (95277, 95278),(95984, 95985), (96151, 96152), (96921, 96922),（97915、97916）、（98022、98023）和（98900、98901）.
10岁以下的史密斯兄弟有615885人9.
如果有3个连续的数字是Smith数字，则可以称为史密斯三人组。由3个连续史密斯数组成的最小集，即史密斯三元组为(73615,73616,73617).
全部史密斯三连击低于106是：(73615, 73616, 73617), (209065, 209066, 209067),(225951, 225952, 225953), (283745, 283746, 283747),(305455, 305456, 305457), (342879, 342880, 342881),(656743, 656744, 656745), (683670, 683671, 683672),(729066, 729067, 729068), (747948, 747949, 747950),（774858、774859、774860）、（879221、879222、879223）和(954590, 954591, 954592).
10岁以下有15955名史密斯三连冠9.
如果有4个连续的数字是Smith数字，则可以称为史密斯四人组（或4个连续的史密斯数字）。四个连续史密斯数的最小集，即史密斯四元数为(4463535,4463536, 4463537, 4463538).
集合的最小成员史密斯四人组低于108是：4463535、6356910、8188933、9425550、11148564、15966114、，18542654, 21673542, 22821992, 23767287, 28605144, 36615667,39227466, 47096634, 47395362, 48072396, 54054264, 55464835,57484614、57756450、57761165、58418508、61843387、62577157、，64572186, 65484066, 66878432, 67118680, 71845857, 75457380,77247606、78432168、88099213、89653781、90166567和92656434。
10岁以下的史密斯四人组有384人9.
如果有5个连续的数字是Smith数字，则可以称为史密斯昆茨（或连续5个史密斯数字）。5个连续史密斯数字的最小集合，即史密斯-昆茨(15966114,15966115, 15966116, 15966117, 15966118).
集合的最小成员史密斯·昆茨低于109是：15966114, 75457380, 162449165, 296049306, 296861735, 334792990,429619207, 581097690, 581519244, 582548088, 683474015, 809079150,971285861和977218716。
10岁以下有14名史密斯五人组9.
如果有k个连续的数字是Smith数，这些可以称为k个连续的史密斯数。最小的一组6个连续史密斯数是(2050918644,2050918645, 2050918646, 2050918647, 2050918648, 2050918649)。没有一组更高的连续史密斯数字低于1010.
你能找到7个连续史密斯数的最小集吗？.
延斯·克鲁斯·安徒生2008年4月28日报告称
最小的一组7个连续的史密斯数字从164736913905开始。
下面是31组6个连续的Smith数字，起始于：
2050918644, 6826932280, 16095667238, 16214788810, 17753840815, 19627891048,31894287635, 37417358132, 38327645947, 72635842286, 75725224588,77924458232, 79735902902, 80490527739, 84911527648, 93497450408,115397414704, 118266684888, 122256909967, 124374538831, 128551622624,129440489539, 132638590595, 135169942385, 140820590944, 143570578744,149563926065, 153903366948, 154627494580, 154833907731, 159822348654.
你能找到8个连续史密斯数的最小集吗？.
k-史密斯数
1987年，韦恩·麦克·丹尼尔证明了存在无限多个Smith数[8]。Mc Daniel定义k-Smith数作为素数的位数之和等于k乘以位数之和的数，即。Sp（N）=k*S（N）并表明存在无穷大通过构造一个无限序列，每个k对应多个k-Smith数。
例如，42是一个2-Smith数，因为42的数字和即S（42）=4+2=6，而其素因子的数字之和即Sp（42）=Sp（2*3*7）=12。因此，Sp（N）=2*S（N）。（斯隆的A104390号).
全部2-Smith数字低于104是：32, 42, 60, 70, 104, 152, 231, 315, 316, 322, 330, 342,361, 406, 430, 450, 540, 602, 610, 612, 632, 703, 722, 812, 1016, 1027, 1029, 1108, 1162, 1190, 1246, 1261, 1304, 1314, 1316, 1351, 1406, 1470, 1510, 1603, 2013, 2054, 2065, 2070, 2071, 2106, 2114, 2121, 2134, 2216, 2230, 2233, 2280, 2322, 2324, 2410, 2413, 2422, 2425, 2506, 2522, 2611, 2701, 2702, 3007, 3030, 3108, 3122, 3130, 3136, 3206, 3212, 3216, 3241, 3302, 3310, 3311, 3412, 3451, 3512, 3560, 3601, 3710, 4025, 4033, 4042, 4080, 4142, 4210, 4440, 4501, 4512, 5002, 5022, 5026, 5073, 5131, 5215, 5222, 5306, 5402, 5900, 6010, 6014, 6031, 6132, 6152, 6201, 6202, 6224, 6251, 6321, 7012, 7016, 7111, 7160, 7202, 7250, 7310、7410、7511、8024、8232、8302、9002、9030、9104和9322。
有2824664个2-Smith数字低于109.
如果存在复合数N，则Sp（N）=3*S（N）。这些可以称为3-史密斯数字（斯隆的A104391号).
全部3-史密斯数字低于105是：402, 510, 700, 1113, 1131, 1311, 2006, 2022, 2130, 2211, 2240, 3102, 3111, 3204, 3210, 3220, 4031, 4300, 4410, 5310, 6004, 6100, 6300, 7031, 7120, 9000, 10034, 10125, 10206, 10251, 10304, 10413, 10521, 10612, 10800、11033、11111、11114、11116、11121、11141、11305、11520、11800、12150，12240, 12304, 12311, 12320, 12502, 13005, 13022, 13031, 13034, 13223, 13301, 13302, 13320, 13410, 14032, 14141, 14320, 14500, 15022, 15030, 15100, 17101, 20016、20031、20052、20114、20153、20213、20216、20301、21030、21052、21111，21250, 21251, 21510, 21511, 21520, 22015, 22202, 22230, 22300, 22410, 23001, 23002, 23022, 23130, 23140, 23212, 23500, 24011, 24021, 24100, 24500, 26011, 30005、30015、30051、30131、30221、30303、30304、30331、30413、31061、31211，31230, 31300, 31521, 32004, 32201, 33022, 33100, 33320, 33400, 35100, 36001, 38000, 40040, 40132, 41013, 41400, 41500, 42003, 42100, 42120, 44003, 45030, 50020, 50031, 50032, 51101, 51113, 51120, 51121, 51220, 51400, 52003, 53010, 53400、60100、61012、61201、62410、63101、70021、71010、71020、74000、80122和90100
有147982个3-史密斯数字低于109.
如果存在复合数N，则Sp（N）=4*S（N）。这些可以称为4-Smith数字（斯隆的A103125号).
全部4-Smith数字低于105是：2401, 5010, 7000, 10005, 10311, 10410, 10411, 11060, 11102, 11203, 12103, 13002, 13021, 13101, 14001, 14101, 14210, 20022, 20121, 20203, 20401, 21103, 21112, 21120, 21201, 22040, 22101, 22201, 23030, 30003, 30031, 30320, 31002, 31101, 31111, 32101, 32200, 32300, 40002, 41101, 43000, 50001、50211、51200、60001、61000、61110、70002和71100。
有13609个4-Smith数字低于106.
如果存在复合数N，则Sp（N）=5*S（N）。这些可以称为5-Smith数字（斯隆的A103126号).
全部5-Smith数字低于106是：2030, 10203, 12110, 20210, 20310, 21004, 21010, 24000, 24010、31010、41001、50010、70000、100004、100012、100210、100310、100320，101020, 101041, 102022, 103200, 104010, 104101, 104110, 105020, 106001, 110020, 110202, 110212, 110400, 111013, 112002, 112030, 120010, 120050, 121030、121201、122001、130200、130210、132000、140011、141010、200030、，201103, 201111, 201131, 201202, 202003, 202030, 204010, 210210, 211030, 211101, 211120, 211220, 222010, 223010, 300004, 300013, 300300, 300310, 310400、311001、311011、311110、320010、321010、322000、330020、350000，401010、410002、410011、411010、430000、500002、501011、510110、600010和610000
有4204个5-Smith数字低于109.
如果存在复合数N，则Sp（N）=k*S（N）。这些可以称为k-Smith数。
对于K=6、7和8k-Smith数。低于109是1238、409和218分别是。
对于K=6、7和8，最小值k-Smith数是10112、10和200分别是。
k个-1-史密斯数字
麦克·丹尼尔[8] 已定义 k个-1-史密斯号码作为复合整数N，这样Sp（N）=k-1*序号即S（N）=k*Sp（N）。
例如88是一个2-1-史密斯号码因为88的数字和，即S（88）=8+8=16，等于其素因子数字和的2倍，即2 x Sp（88）=2 x SpA050224号).
全部2-1-史密斯数字低于104是：88, 169, 286, 484, 598, 682, 808, 844, 897, 961, 1339, 1573, 1599, 1878, 1986, 2266, 2488, 2626, 2662, 2743, 2938, 3193, 3289, 3751, 3887、4084、4444、4642、4738、4804、4972、4976、4983、5566、5665、5764、5797，5863, 5876, 6198, 6262, 6541, 6565, 6578, 6655, 6695, 6738, 6868, 6877, 6929, 7278, 7359, 7386, 7458, 7579, 7818, 7843, 7865, 7926, 7953, 7999, 8044, 8086, 8248、8349、8446、8488、8646、8824、8897、8998、9269、9292、9476、9696、9706，9784、9889、9922、9944和9988。.
有10871522-1-史密斯数低于109.
如果有一个复合数N，其数字和S（N）等于其素因子的数字和的3倍，即S（N）=3*Sp（N）。这些可以称为三-1-史密斯数字（斯隆的A050225号).
全部三-1-史密斯数字低于106是：6969, 19998, 36399, 39693, 66099, 69663, 69897, 89769, 99363, 99759, 109989, 118899, 181998, 191799, 199089, 297099, 306939, 333399, 336963, 339933, 363099, 396363, 397998, 399333, 399729, 588969, 606666, 606909, 639633, 660693, 666633, 678666, 693363, 693759, 696333, 759099, 759693, 786666, 787179, 798699, 828759, 834969, 897069, 915969, 928089, 938997、975963、990363和993729。
有6575个三-1-史密斯数字低于109.
如果有一个复合数N，其数字和S（N）等于其素因子的数字和的4倍，即S（N）=4*Sp（N）。这些可以称为4-1-史密斯数字（斯隆的A103123号).
全部4-1-史密斯数字低于108是：19899699 , 36969999 , 36999699 , 39699969 , 39999399, 39999993 , 66699699 , 66798798 , 67967799 , 67987986, 69759897 , 69889389 , 69966699 , 69996993 , 76668999, 79488798 , 79866798 , 85994799 , 86686886 , 8976975989866568、93999993、98736968和99968199。
有251个4-1-史密斯数字低于109.
如果有一个复合数N，其数字和S（N）等于其素因子的数字和的5倍，即S（N）=5*Sp（N）。这些可以称为5-1-史密斯数（斯隆的A103124号).
全部5-1-史密斯数低于109是：399996663、666609999、669969663、690696969和69996663。
麦克·丹尼尔在他的论文[8]中推测的存在无限多 k个-1-史密斯数字每k>1。
你能证明麦克丹尼尔猜想吗？。
史密斯数的构造
没有通用公式来生成所有史密斯数。
1983年，Oltikar和Wayland[12] 建造的史密斯数字使用重定素数例如，1540·卢比是一个史密斯号码对于每个重定素数Rn。还有很多其他可能的乘数，包括
1540, 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 23590, 24490, 25228, 29080, 31528, 31780, 33544, 34390, 35380, 39970, 40870, 42490, 42598, 43480, 44380, 45955, 46270, 46810, 46990, 47908, 48790, 49960, 51490, 51625, 52345, 52570, 53290, 57070, 57160, 57880, 59770, 60625, 62146, 63928, 64360, 64540, 65080, 66970, 67528, 69355, 71380, 72982, 73810, 74440, 74710, 76780, 78040, 79030, 79570, 80470, 80740, 82270, 82990, 84790, 85330, 85870, 86590, 87490, 87580, 87850, 88228, 89560, 89740, 89830, 92440, 92620, 95266, 97030, 97048, 98875, 108955 ...（斯隆的A104167号).
我们发现，所有这些乘数的数字根都是1，数字因子和也可以被9整除，有关详细信息，请单击在这里。
任意倍数重定素数Rn>11乘3304还生产史密斯数[6][12].Oltikar和Wayland[12] 提到每一个数字都是0和1的素数都有一些倍数，可以作为史密斯数[2].
1984年，Pat Costello生产了75台史密斯数字表单的p·q·10k个 其中p是一个小素数，q是一个梅森素数。最大的史密斯号码生产的是
191 · (2216091- 1) · 10266包括65319位数。
1987年，韦恩·麦克·丹尼尔取得了重大突破证明存在无穷多个Smith数[8]。麦克·丹尼尔介绍k-Smith数其中素因子的位数之和等于k乘以位数之和，表明存在无穷大许多的k-Smith数为每个k构造一个无限序列。
凯西·刘易斯[2] 产生了另一个无限序列形式11的史密斯数k个·9卢比·10米.
Smith数v/s素数的分布
在Fortran中开发了一个计算机程序来研究Smith数。调查的目的是了解在给定极限和最大素数下，Smith数与素数的比例史密斯数的因子。设Smith数到x的数量表示为SN（x）和直到x的素数乘以pi（x）。序号（x）和pi（x）的值小于等于x=10米对于m=1,2,3。表1中列出了11个。比率r=pi（x）/SN（x）如表1第4列所示。
从表1中可以看出Smith数的百分比随着x的增加而减小。例如，对于x=105，Smith数的百分比高达x=3.294%，当x=10时降至2.9928%6. The素数的百分比也减少了随着x的增加。可以观察到，比值r随着x代表x=10米（对于m>2），这表明史密斯数的减少速度较慢，然后是质数的减少。
表1
|
x个 |
序号（x） |
π（x） |
pi（x）/SN（x） |
|
101 |
1 |
4 |
4 |
|
102 |
6 |
25 |
4.16667 |
|
10三 |
49 |
168 |
3.42857 |
|
104 |
376 |
1229 |
3.26862 |
|
105 |
3294 |
9592 |
2.91196 |
|
106 |
29928 |
78498 |
2.62289 |
|
107 |
278411 |
664579 |
2.38704 |
|
108 |
2632758 |
5761455 |
2.18837 |
|
109 |
25154060 |
50847534 |
2.02144 |
|
1010 |
241882509 |
455052511 |
1.88129 |
|
1011 |
2335807857 |
4118054813 |
1.76301 |
调查期间也注意到那个Smith数在10之间的分布米和10米+1在这个范围内通常呈现上升趋势。因此通常SN（2 x 10米)-序号（10米)低于SN（10米+1) -序号（9 x 10米).
例如：对于m=7，
序号（2 x 107) -序号（107) = 527739 -278411 = 249328
序号（108) -序号（9 x 107) = 2632758 -2353482 = 279276
对于m=8，
序号（2 x 108) -序号（108) = 5029891 -2632758 = 2397133
序号（109) -序号（9 x 108) = 25154060 -22497704 = 2656356
Smith分布的这种行为数字与素数不同，素数呈下降趋势。确实如此对于大x，SN（x）可能会超过pi（x可能小于1。因此，我们提出以下推测。
猜想： 存在一个数字x，其中史密斯的数量等于底漆数量以及SN（10米)>pi（10米)对于m的值为10米>x。
它寻找x的最小值（这可能是一项有趣的研究大，超过1018)其中SN（x）＝pi（x）。
高度可分解的Smith数
让表示数字n的素因子数（计数多重性）通过Ω（n），则n可以称为高度分解数如果每n1<n，Ω（n1）<Ω（n）。很明显第个 高度分解数是2我其中，i=1,2,3,4。。。
同样，对于每个Smith数N1<N，如果Ω（N1）<Ω（N），则N可以是称为高度可分解的Smith数[4]. 换句话说，史密斯号码它从第一个Smith开始，记录了素数因子的数量数字可以称为高度可分解的Smith数（斯隆的A104169号). 最小的史密斯带有n个素因子（不一定是不同的）的数字在表中列出2（斯隆的A104168号). 发现Smith数的素因子的最大个数1010是27。
可以看出从表2，的顺序高度可分解的Smith数是
4,27,378、576、2688中，17496, 44928, 75776, 168960, 319488, 958464, 2883584, 5767168, 7077888,279969792, 544997376, 778567680, 2579496960, 3875536896 . . .
需要注意的是，除了数字27,所有其他高度可分解的Smith数势均力敌。
表2
|
不。基本因子的 |
最小的史密斯号码 |
|
2 |
4 |
|
三 |
27 |
|
4 |
636 |
|
5 |
378 |
|
6 |
729 |
|
7 |
648 |
|
8 |
576 |
|
9 |
2688 |
|
10 |
17496 |
|
11 |
44928 |
|
12 |
75776 |
|
13 |
168960 |
|
14 |
765952 |
|
15 |
319488 |
|
16 |
958464 |
|
17 |
5537792 |
|
18 |
5963776 |
|
19 |
2883584 |
|
20 |
5767168 |
|
21 |
7077888 |
|
22 |
279969792 |
|
23 |
544997376 |
|
24 |
778567680 |
|
25 |
2579496960 |
|
26 |
4567597056 |
|
27 |
3875536896 |
猜想：所有大于27的高度可分解Smith数都是偶数。
找到一个反例或证明上述猜想可能很有趣。
一些有趣的观察
- 31是最小的素数，是二的和史密斯数字。
- 将一个数字乘以10不会改变数字和，而是将7（=2+5）加到素因子的数字和上。
- 最小和最大Pandigital公司（即包含0到9的所有数字）史密斯数是1023465798和9876542103
- 最小和最大无零泛数字（即包含从1到9的所有数字）史密斯数是123456879和987653214
- 728729是由两个连续的史密斯数串联而成的素数。
- 第9轮1031*(1028572+8*1014286+1)1027* 102722434是已知最大的史密斯数包括32066910位数由Patrick Costello发现[1]。
- 第9轮1031*(1069882+3*1034941+1)1476*103913210是一个史密斯数包括107060074位数.
- 如果m和n是正整数，那么Sp（mn）=Sp（m）+Sp（n）其中，Sp（n）表示n的素因子的位数之和。因此，Sp是一个加法函数。
- A类史密斯数如果数字根不是4，则必须是两个以上质数的乘积。
- 2227是由两个连续的史密斯数串联而成的最小的史密斯数。
- 27、58和85连续三次史密斯数和27 + 58 = 85 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
参考文献：
[1] 帕特里克·科斯特洛。“一个新的最大Smith数，”斐波那契季刊，卷40（4），2002年，第369-371页。[2] 科斯特洛、帕特里克和刘易斯、凯西。“很多史密斯，”数学杂志第75（3）卷，2002年，第223-226页。
[3] 美国达德利，“史密斯数字”，数学杂志第67页（1994年），第62-65页。
[4] Gupta，Shyam Sunder“史密斯数字”数学频谱第37页（2004/5），第27-29页。
[5] 盖伊，R.K。“史密斯号码”§B49数论中未解决的问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第103-104页，1994年。
[6] P.霍夫曼。只爱数字的人：保罗·鄂尔多斯的故事以及对数学真理的探索。纽约：Hyperion，第205-206页，1998年。
[7] McDaniel，W.L.，“回文史密斯数字”，娱乐数学杂志，19（1987），第34-37页。
[8] McDaniel，W.L.，“无限多k-Smith数的存在性”，斐波纳契季刊，25（1987），第76-80页。
[9] McDaniel，W.L.，“强大的k-Smith数”，斐波纳契季刊，25（1987），第225-228页。
[10] McDaniel，W.L.和Yates，Samuel，“数字和函数及其在推广Smith数问题中的应用”，Nieuw Archief Voor Wiskunde，7，No，1-2，March/7，（1989），39-51。
[11] McDaniel，W.L.，“关于基b Smith数和Niven数集的交集《数字》，密苏里数学科学杂志第2期（1990年），132-136页。
[12] 奥尔蒂卡尔、沙姆和基思韦兰德。“Smith数的构造，”数学杂志，第56卷（1），1983,
第36-37页。
[13] Clifford A.Pickover，《史密斯数字简史》，第104章数字奇观：数学、思维和含义。英国牛津：牛津大学出版社，第247-248页，2001年。
[14] 新泽西州斯隆。A。和Plouffe，S。整数序列百科全书。加州圣地亚哥：学术出版社，1995年。
[15] 新泽西州斯隆。A。序列A006753号,A033662号,A033663号,A050218号,A050224号,A050225号,A059754号,A063844号,A098834号,A098835号,A098836号,A098837号,A098838号,A098839号,A098840号,A103123号,A103124号,A103125号,A103126号,A104166号,A104167号,A104168号,A104169号,1970年1月,A104171号,A104390号和A104391号，在“在线整数百科全书”中序列。"
[16] 大卫·威尔斯。企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅出版社，1997年。
[17] Wilansky，A.“史密斯数字”，两年制大学数学杂志，13（1982），第21页。
[18]Yates，S.，“史密斯数等于4（mod 9）”，休闲杂志数学，19（1987），第139-141页。
此页面创建于2005年3月10日。
后退主页