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计算机物理通信

第206卷,2016年9月,第45-63页
计算机物理通信

维里亚托:强磁化流体动力学等离子体动力学的Fourier-Hermite谱码

https://doi.org/10.1016/j.cpc.2016.05.004获取权限和内容

摘要

我们报告算法和数值方法用于维里亚托,一个新的流体-动力学代码,它解决了两组不同的方程组:(i)动力学约化电子加热模型(KREHM)方程组(Zocco和Schekochihin,2011)(在适当的限度内将其简化为标准的简化MHD方程组)和(ii)动力学约化MHD(KRMHD)方程组(Schekochihin等人,2009年)。这些方程的两个主要应用是磁化的(Alfvénic)等离子体湍流以及磁场重联。维里亚托使用算符分裂(Strang或Godunov)来分离平行于和垂直于周围磁场(假设强)的动力学。沿着磁场,维里亚托考虑二阶精度的MacCormack方法,或更高精度的谱型格式,包括时间导数的总变差减小(TVD)三阶龙格-库塔法和通量的七阶迎风格式的组合。垂直于场维里亚托为伪谱,时间积分采用迭代预估-校正方案。此外维里亚托是它的吗光谱表示通过扰动分布函数的Hermite表示实现的平行速度空间依赖性。本文介绍了一系列线性和非线性基准和试验,包括二维和三维Orszag–Tang型衰减湍流的详细分析,包括流体和动力学两个方面。

介绍

磁化等离子体动力学是天文、空间和实验室物理中许多有趣现象的核心。太阳风[1]和星际介质[2]、太阳[3]、恒星[4]和吸积盘耀斑[5]、地球磁层亚暴[6]、磁化聚变实验中的湍流输运和不稳定性[7],这只是一些值得注意的物理问题的例子,它们的解决方法确实是通过理解磁化环境中等离子体的行为来确定的。

在许多这样的情况下,(i)碰撞频率远低于感兴趣的物理现象的典型频率(例如湍流、磁重联),即等离子体是弱碰撞的;轨道的大小比系统的大小小几个数量级。弱碰撞意味着在感兴趣的时间尺度上,等离子体不能被视为流体,而是需要一种动力学描述来演化粒子的分布函数。从计算的角度来看,这是相当不幸的,因为完全动力学模型存在于六维相空间(每个粒子都有其位置和速度矢量的特征)。然而,强磁化意味着等离子体是高度各向异性的,粒子沿磁场方向和穿过磁场方向的运动截然不同。这种各向异性可以通过分析来得到简化的动力学模型,即将相空间缩小到5D甚至4D的渐近描述。这导致了巨大的计算节省,并有效地实现了在今天的超级计算机上不可行的可能的计算。

回转动力学[8]、[9]、[10]、[11]、[12]是对强磁化、弱碰撞等离子体的严格描述。回转动力学形式背后的关键思想是,由于强磁场(引导)的作用,粒子的拉莫尔旋转频率远高于动力学感兴趣的频率,因此可以平均化。这使得系统的维数从6D(三位置和三个速度坐标)降到5D(三个位置坐标,速度平行于和垂直于磁场),同时保留所有基本的物理效应。回转动力学最初的动机是试图模拟磁聚变实验中的微观不稳定性;在这方面,它是相当成功的[10],[11]。由于认识到其有用性,近年来回转动力学的应用范围有所扩大;现在它被常规地应用于研究磁化天体物理系统中的湍流[9]、[13]、[14]、[15],也有一些研究开创了它在磁重联问题上的应用[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。

从数值的角度来看,回转动力学允许的系统维数的降低是非常有利的。然而,本质上的多尺度问题,如动力学湍流和重联,仍然是令人生畏的计算挑战。因此,在可能的情况下进一步简化是可取的。

Zocco和Schekochihin最近提出了一种可能的回旋动力学简化方法:动力学约化电子加热模型(KREHM),这是一种严格的回旋动力学渐近极限,适用于等离子体,如βee/,哪里βe=8πn0eT0e/B02β是电子,n0e,T0e分别是背景电子密度和温度,以及B0是背景磁场。在此假设下,参考文献[21]表明,可以将等离子体动力学降低到4D相空间(位置和速度与磁场平行),同时保留关键物理,如相位混合和电子朗道阻尼、离子有限拉莫尔半径效应、电子惯性、电子碰撞和欧姆电阻率。这是对完整动力学描述的一个非常重要的简化,使真正的多尺度动力学模拟成为可能;注意,4D描述比5D更有效,至少是GK代码在方向-通常在20到100之间(如果分辨率决定积分时间步长;另外,由于在方向)。尤其是因为没有临时的采用流体闭合,KREHM可用于详细研究动力学湍流和重联中的能量转换和耗散,包括通过相混合和Landau阻尼进行的电子加热。

如果从字面上看,公式(1)所施加的次序有点限制,显然排除了许多感兴趣的等离子体。等离子体的例子包括日冕的一些区域[22],[23],加州大学洛杉矶分校的大型等离子体装置(LAPD)实验[24],以及一些托卡马克的边缘区域[25]。1然而,人们可以合理地预期,KREHM捕捉到的等离子体行为将在质量上超过其严格的适用范围,就像许多其他简化等离子体模型(MHD是一个臭名昭著的例子,它的工作原理远远超出了它的严格有效限值)。第7.3节提供了可能确实是这种情况的提示,其中直接将KREHM与线性无碰撞撕裂模问题的(非简化)回转动力学模型进行比较,结果在值为βe显著大于e/.

本文报告了在维里亚托,第一个求解这组特殊方程组的数值代码。还介绍了一系列广泛的测试和基准测试。对Orszag-Tang型衰变湍流进行了大量的研究,包括流体和动力学两个方面。感兴趣的读者将本规范和物理模型应用于磁重联问题[26],其中首次证明了通过朗道阻尼进行电子加热在重联中的重要性。

第二组方程由维里亚托动力学约化MHD(KRMHD)方程[14]描述了该区域可压缩涨落(密度和平行磁场)的演化kρ1. (k垂直于典型微扰导场的波数,以及ρ离子拉莫尔半径。)这些方程在结构上与KREHM的相同,因此它们的数值实现在维里亚托直截了当。我们还注意到,KREHM在适当的限制下(即当波动的波长远大于所有的动力学标度时),KREHM简化为标准的简化MHD(RMHD)方程组[27],[28]。因此,维里亚托也可以用作RMHD代码(在二维或三维板几何体中)。最后,我们注意到在电子等温闭合的情况下,KREHM简化为文献[1]中处理的简单双场陀螺流体模型。[29],[30](这是Snyder等人[31]和Schep等人[32]更完整模型的限制。

本文组织如下。第2节介绍了由维里亚托动力学方程通过Hermite展开法求解,这需要某种形式的闭合(或截断)。这在第3节讨论,其中导出了Hermite矩族的渐近精确非线性闭包。第四节给出了闭KREHM模型的能量演化方程;我们采用的规范化在第5节中列出。第6节讨论方程的数值离散化,在第6.2节中,讨论了沿引导场方向平流的类谱方案的实现:时间导数的最佳三阶总变差减小(TVD)Runge–Kutta[33]与通量的七阶迎风格式的组合[34]。第7节介绍了该规范的一系列线性和非线性基准,重点介绍了Orszag–Tang型衰减湍流试验案例。第8节报告了一系列代码的收敛性测试,而第9节展示了弱和强并行可伸缩性测试的结果。第10节总结了本文的主要观点和结果。附录A包括最近提出的对KREHM模型的修改,以考虑背景电子温度梯度[35]。附录B阐明了在维里亚托Godunov和Strang(见第6节)。最后,附录C对我们在第6.1节中描述的迭代预测-校正方法(它只是对文献[30]中最初推导的许多方程的扩展)和一次迭代Crank-Nicolson方法[36]进行了比较研究。

节代码段

方程组由维里亚托

维里亚托求解两组不同的方程组:(i)动力学约化电子加热模型(KREHM)方程[21]和(ii)动力学约化MHD(KRMHD)方程[14]。下面简要讨论这些模型;我们让感兴趣的读者参考原始参考文献,详细推导每个模型的方程。

Hermite闭合

Hermite展开式将原来的电子漂移动力学方程(9)转化为一组无限耦合的类流体方程组(12)[或者,对于KRHMD,等式(17)转化为等式(18)–(20)]。形式上,这两种表示形式完全等价,即引入Hermite表示不会丢失任何信息。然而,方程的数值实现。显然,需要截短一些的矩,,有必要

能量

在没有碰撞的情况下,等式。(7)–(9)保存通常称为自由能的二次不变量[14]。此数量可定义为W=W流体+He,其中[21]W流体=k[1+1τ(1Γ0)]1τ(1Γ0)e2n0e|φk|22T0e+dr|A|2+de2|2A|28π是自由能的“流体”(电磁)部分,以及He=drdT0ege22F0e是电子自由能(即与还原电子分布函数相关的自由能ge).

在引入Hermite展开ge,式(11),

规范化

我们对KREHM方程组采用的规范化。(7)、(8)、(10)、(12)为:

长度刻度:(ˆ,是的ˆ)=(,是的)/;zˆ=z/,哪里,分别为垂直和平行(与导光区)的参考长度标度。

次数:tˆ=t/τA,哪里τA=/A是平行的阿尔芬时间。

领域:(nˆe,gˆ)=τAΩ(δnen0e,g),φˆ=cB0τA2φ,Aˆ=AB0.

在这些正常化条件下η变成ηˆ=2/2S1,与SLundquist数定义为S=A/η,以及碰撞

数值离散化

等式。(38)–(41)方便地分为在垂直方向上操作的操作员(,是的:泊松括号)或平行线(z)到向导区。这表明积分这些方程的一种有效方法是使用算子分裂技术,例如单独处理每一类(垂直或平行)的算子。维里亚托同时考虑到Godunov[58]或Strang splitting[59]。虽然Godunov分裂形式上只有一阶精确,直接

数值试验

在本节中,我们报告了一套广泛的线性和非线性基准维里亚托.

数值收敛

如前几节所述,维里亚托采用算子分裂技术和各种数值方法,在时间和空间上具有不同的精度。因此,它不是,先验的明确代码的全局收敛顺序。为了澄清这一点,我们使用第7.4.2节Eqs中研究的Orszag–Tang配置进行了一系列完全非线性的4D运行。(82)–(83),对于积分时间步长的不同值,Δt.所有的案子都会一直查到

性能

维里亚托已经在各种计算集群上使用,具有不同的体系结构。它很容易安装和运行,只依赖于标准的、广泛使用的库,如LAPACK[68]和FFTW[94]。它的并行化依赖于标准的MPI例程。

如第6节中详细描述的,平行于引导场的方向可以通过两种不同的数值方法进行集成,这两种方法在并行性能方面都具有相当的可伸缩性。相反,方向

结论

本文描述了维里亚托,一个新的程序被开发用来研究强磁化,弱碰撞,流体动力学等离子体动力学在(二维或三维)平板几何。维里亚托求解了两组不同的方程组:Zocco&Schekochihin[21]的动力学约化电子加热模型(KREHM)(在适当的限度内简化为常规的约化MHD[27]、[28])和Schekochihin等人[14]的动力学约化磁流体动力学(KRMHD)方程。

主要数值方法及总体情况

致谢

作者们非常感谢Alex Schekochihin的许多讨论和想法,这些都是这项工作的基础。NFL感谢Paul Dellar指出了参考文献[57]中的高阶傅里叶平滑方法,Ravi Samtaney对对流型偏微分方程的高阶积分格式进行了讨论,Ryusuke Numata提供了阿童木如本文图4所示。本文也从许多方面受益匪浅

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