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有理参数下第一广义Stieltjes常数闭式求值的一个定理及相关求和

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摘要

最近有人猜测,第一个广义的Stieltjesconstantat有理论点可能总是用Euler的常数、第一个Stieltjes常数、有理参数处的gamma函数和一些相对简单的,甚至是初等的函数来表示。这个猜想是基于对伽马1(1/2)、伽马1(1/3)、伽马1(2/3)、伽马1(1/4)、伽马1(3/4)、伽马1(1/6)、伽马1(5/6)的评估,可以用这种方式表示。本文完成了之前的研究,并提供了一个优雅的定理,它允许在任何有理参数下计算第一个广义Stieltjes常数。文中还介绍了求解第一类Stieltjes常数和Digamma函数的几个相关求和公式。同时,还得到了有理参数下Γ-函数对数的一个有趣的积分表示。最后,证明了高阶Stieltjes-constantsas可以很好地导出相似定理;特别地,对于第二个Stieltjes-constantt定理是以显式形式提供的。

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... 这里我们可以看到当a=1时,(22)减为(1)。有关常数γn(a)的历史和结果调查,请参见[6]. 正如Blagouchine所提到的,这些常数比Euler-Stieltjes常数γn要少得多。。。
... 2015年,Blagouchine[5,p.103]推测“任何形式为γ1(r/q)的广义Stieltjes常数,其中r和q是正整数,使得r<q,可以用Euler常数γ,第一个Stieltjes常数γ1,有理参数下Γ函数的对数来表示以及一些相对简单的,也许是初等的函数。”通过大量涉及马尔姆斯滕积分的计算,这个猜想在2015年由Blagouchine自己通过证明[6,定理1]四个等价的闭式表达式来解决[6,式37,50,53,55]对于第一个广义Stieltjes常数γ1(r/q)。。。
... 对于第一广义Stieltjes常数γ1(r/q),37,50,53,55]。特别是方程式50 In[6]是以下身份。。。
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本文的目的是双重的。首先,我们引入常数ζk(α,r,q)其中α(0,1)并沿着欧拉常数所做的功来研究它们在算术级数γ(r,q)中,Briggs,Dilcher,Knopfmacher,Lehmer和其他一些作者。这些常数用于计算某些积分具有同余条件的Dirichlet除数问题的含误差项并给出了一类Dirichlet值的闭式表达式任何真临界点的L-级数。在本文的后半部分,我们考虑主特征的Laurent-Stieltjes常数γk(χ)的行为χ. 特别地,我们研究了“广义欧拉常数”的推广2008年由戴蒙德和福特推出。我们用一个简短的证据来结束第一广义Stieltjes常数γ1(r/q)的闭式表达式2015年由Blagouchine提供。
... 这项早期工作的发现使我2011年的大部分论文不再密切相关,因此我没有发表它(Blagouchine)[7]请参考他2015年广泛发表的有关Stieltjes常数的论文中的部分结果。记录如下:。。。
... 我们注意到上述11.5    包含四个涉及Hurwitz-zeta函数二阶导数的项。正如Blagouchine所说[7]在某些情况下,采用适当的函数方程可以减少项的数目。。。
... 和[5]。这种身份是由丹尼格[15]在1984年报告的,也是由布拉古辛衍生出来的[7]2014年。。。
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近年来,Stieltjes常数引起了广泛的关注许多作者,包括现在的作者,已经考虑过计算这些常数的方法。主要目的是论文是为了迟来强调的事实,丹宁实际上确定了早在1984年,第一个在有理数论证中推广的Stieltjes常数所有更高的常数(在有理参数下)都是在Chakraborty,Kanemitsu和Kuzumaki于2009年提出的原则。等效结果穆瑟的论文于2011年获得。上述论文的作者简单地将常数称为劳伦特系数解释了为什么进行各种电子搜索作者对于Stieltjes常数并没有轻易地强调这些特定来源。在本文中,作者使用了一个稍微不同的论点来获得Chakraborty等人最初推导的结果的一个简单表达式。2009年。
... 还记得数字γn=γn(½),其中nN、 称为Stieltjes常数。有关这些常数的最新背景,请参见,例如Blagouchine[16,17] 以及布拉古奇和科波[19](另见南岳和威廉姆斯[68])。已知这些常数满足γ¼(x)=ψ(x)和γ¼=γ以及每个q的以下恒等式N。。。
... 我们注意到,在Blagouchine提出的q=½的特殊情况下,得到了一个更实用的公式[16]作为Gauss digamma定理的推广。。。
... 16(67)中左和的一个类似的渐近展开式可以用格雷戈里公式的一般形式得到(见命题6.20)。。。
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在开半直线$(0,infty)$上,我们给出了差分方程$\Delta f=g$的最终$p$-凸和最终$p$-凹解的唯一性和存在性,其中$p$是一个给定的非负整数,$g$是满足序列$n\mapsto\Delta^p g(n)渐近性质的给定函数$收敛到零。这些解,我们称之为$\log\Gamma_p$-型函数,包括各种特殊函数,如polygamma函数、Barnes$G$-函数的对数和Hurwitz-zeta函数。我们的结果推广到任何一个非负整数$p$,这是Krull和Webster得到的当$p=1$时的特例,他们都推广了Bohr-Mollerup-Artin对gamma函数的刻画。我们还遵循和推广了韦伯斯特的方法,给出了$\log\Gamma_$-型函数的欧拉无穷积、Weierstrass的无穷积、高斯的极限、高斯的乘法公式、勒让德的重复公式、欧拉常数、斯特林常数、斯特林公式、沃利斯积公式,以及Raabe的伽马函数公式。我们还介绍和讨论了宾内函数、伯恩赛德公式、丰塔纳马斯切罗尼级数、欧拉反射公式和高斯迪伽玛定理的类比。最后,我们将我们的结果应用于几个特殊函数,包括Hurwitz-zeta函数和广义Stieltjes常数,并通过这些例子说明我们的理论在几乎系统地产生公式和恒等式方面的强大能力。
... (n) n(1),8以及第一类规范化Cauchy数c1,n。它们是有理的,可以通过它们的生成函数zln(1+z)=1+n=1 G n z n,| z |<1。。。
... 7查尔斯赫米特甚至试图得到一个更一般的表达式(更多细节见定理3和脚注19)。8见下文第(52)条以及[57,145-147,462页],[53,第。。。
... 14关于γm的更多信息,见[30,第166页及以下内容],[10],[8],以及其中给出的文献。。。
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本文讨论了zeta函数的serhasse级数表示,以及一些密切相关的结果。关于Ser和Hasse表示的注记是作为定理给出的,而相关的展开式要么是作为单独的定理,要么是在注释和推论中作为形式给出的。在第一个定理中,我们证明了著名的Hasse的zeta函数级数,于1930年获得,并以德国数学家Helmut Hasse的名字命名,它等价于一个鲜为人知的法国数学家约瑟夫·瑟(Joseph Ser)在1926年给出的一个表达式。在第二个定理中,我们导出了涉及第二类Cauchy数(Nørlund数)的zeta函数的相似级数表示。在第三个定理中,借助于一些特殊的多项式,我们将前面的结果推广到Hurwitz-zeta函数。在第四个定理中,我们得到了一个具有高阶Gregory系数的相似级数,它也可以看作zeta函数的一个函数方程。在第五定理中,我们将第三定理的结果推广到一类Dirichlet级数上。因此,我们得到了zeta函数的几个全局收敛级数。它们是Hasse级数的补充,包含相同的有限差分,也推广了Ser的结果。本文还证明了用有限差分理论可以更容易地求出Hasse级数,并证明了存在许多相同性质的级数。在第六定理中,我们证明了Hasse级数是涉及第一类Stirling数的一类更一般的级数的一个简单的特例。文中给出了gamma-hur函数的对数级数,包括gamma-hur函数的代数项。在整篇文章中,我们还提到了查尔斯·赫米特的几篇“未发表”的文章,它们与哈斯和塞尔的研究结果非常接近。最后,在附录中,我们证明了第二类Bernoulli多项式的一个有趣的积分表示,它的前身是Fontana-Bessel多项式。
... 因为我们依赖于(3.8)和(3.9),它只对0<x<1有效。正如Blagouchine最近指出的那样[5],Kummer的傅立叶级数实际上是由Malmstén[24]在1846年首次发现的。。。
... 大家都知道([5],[11]。。。
... 阿达姆奇克的推导[1]相当简洁,可以在[15]中找到扩展的阐述。正如Blagouchine最近指出的那样[5]...
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特别地,我们提出了一个涉及广义Stieltjes常数的Fourier级数。
... 众所周知,γ0=γEuler常数,见示例[128],[19,公式(14)。。。
... 这个级数的收敛速度,如图1所示,是相对缓慢的,并且至少对于中等数量的项,取决于m:阶数m越大,收敛速度越慢。为了更准确地描述这种依赖性,以及收敛速度的精确值,都需要对(十九),这将在下一节中执行。(19) —(20),对数刻度。。。
... 级数收敛性分析(十九)研究它的一般项,它是由指数k上的有限截尾和给出的。这个和只有奇数项,因此,通过初等变换,可以简化为同时包含奇数项和偶数项的和。。。
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本文给出了广义Euler常数(Stieltjes常数)γm的两个新的级数展开式。第一次展开涉及第一类斯特林数,包含π中的多项式2具有有理系数,收敛性略优于欧拉级数n2第二个展开式是一个只有有理系数的半收敛级数。这种展开式特别简单,涉及伯努利数与广义调和数的非线性组合。它还允许导出一个有趣的估计广义欧拉常数,这是更准确的几个著名的估计。最后,在附录A中,读者还将找到第一类斯特林数的两个简单的积分定义,以及它们的上界。
... 注意,特殊情况k=0给出了Euler-Briggs-Lehmer常数,如中所述(二). 关于γk(r,m)的许多重要性质及其应用,读者可以参考k.Dilcher在[9]。。。
... 涉及ψk(z)的有限和由Dilcher在[9]中(见推论11)和Ramanujan在[1]中研究(见条目22)。最近,Blagouchine在有理参数下研究了涉及ψ(z)的各种有限和[2]. 如果是ψr,q k(Ω, z) 我们有以下等式作为定理1.5的推论。。。
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本文考虑了Stieltjes常数的一个推广,并研究了它与某些Dirichlet级数特殊值的关系。此外,我们展示了这些常数与Digamma函数的推广之间的联系。得到的一些结果是Gauss,Lehmer,Dilcher和许多其他作者恒等式的自然推广。
... Gosper给出了许多关于sinqz和cos qz的恒等式,这些恒等式很容易从函数θ1(z |τ)的定义和基本性质中得到。例如,他从中得出(五)罪恶。。。
... 众所周知,我们证明了函数f是周期M的周期函数,它满足条件mk=1f(k)=0。现在用定理1来完成(a)部分的证明。至于(b)部分,让q1英寸(17)和(18)Blagouchine[5]计算了涉及digamma函数和三角函数的各种有限和。例如,他证明了对于任何正整数M。。。
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我们证明了一些涉及$q$-三角函数和$q$-digamma函数及其相关函数的周期性。我们对项为周期函数的无穷级数的超越性结果进行了评估和说明。关键论点是作者最近提出的Gosper的一个$q$-三角猜想。
... 在上述工作中使用的积分表示似乎不方便达到这一目的,因为它们涉及非光滑函数(周期伯努利多项式)或需要对几个积分求和。一个更好的起点似乎是Jensen-Franel公式(由Blagouchine讨论)[3]) ...
... 屈服[3],因为原点处没有需要分析的可移动奇点,所以更方便。在数学实现中(例如,mpelt 10)已经失去了数学基础的精确性≈ −2.21·10 6883,但mpmath 1.0计算1.25·10 6800)。。。
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Stieltjes常数$\gamma\\n$是出现在Riemann-zeta函数的Laurent级数中的系数,在$s=1$。我们给出了一个简单而有效的方法来计算$\gamma\\n$的$p$位近似,并给出了严格的误差界。从Blagouchine的积分表示开始,我们移动轮廓以消除对消。然后在ball算法中使用Petras算法对积分进行数值计算,并对鞍点附近的边界使用Taylor展开。对于$n$和$p$,这似乎是第一个计算Stieltjes常数的算法,其复杂度一致较低。Arb库中提供了一个实现。例如,我们可以在一分钟内计算出任何$n\le10^{100}$的$\gamma\\n$到1000位。
... 其中b k是第二类伯努利数(或格雷戈里系数)[4,26日]。Stieltjes常数和Riemann-zeta函数有一个特殊的关系。。。
... 它们出现在包含一些重要函数的级数和积分的计算中(例如,见[1,6,8-11,13,14,16,18,21,23,30,37,42])。此外,还研究了它们的上下界(例如[3,5,19,27,29,31,32,36,39,40,47]),并给出了一些计算公式(例如见[4,41,25…)。。。
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本文给出了由与超调和数相关的Dirichlet级数产生的Euler-Mascheroni常数的两个新的推广。我们还给出了一些与上下估计有关的不等式,以及评价公式。
... Blagouchine于2015年给出了第一个广义Stieltjes常数γ1(r/q)的闭式表达式[7](更简单的证明见[10])。在这里,借助定理7,我们导出了有理参数下第k个广义常数γk(r/q)的级数表示。。。
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本文导出了部分zeta函数的Laurent级数展开式中广义Stieltjes常数的级数表示。在这一过程中,我们引入了一个广义伽马函数,并按照Dilcher在1994年提出的广义gamma函数的研究思路,推导了它的函数方程、Weierstrass积和反射公式等性质。利用这些性质得到了周期系数Dirichlet级数在s=1点的k阶导数的级数表示。另一个应用程序涉及对一类无限乘积,其特例包括一个Ramanujan的恒等式。
... 上述积分计算结果与文献[1]中的公式(31)一致。[3],以及参考文献[10]中的公式(6.441.6)。。。
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在最近的一项工作中,Farhi在区间$(0,1)$上为函数$\,\ln{\Gamma(x)}\,$发展了一个富里叶级数展开式,这使得他能够导出常数$\,\eta:=2\int_0^1{\ln{\Gamma(x)}\,\sin{(2\pix)}\,dx}$。在那篇论文的最后,他问是否可以用其他已知的数学常数来写$\eta$。在本文中,在推导了$\eta$的一个简单的闭式表达式之后,我展示了如何使用它来计算其他相关的积分,以及某些对数级数,它允许以连续函数$\eta(x)$,$x\ in[0,1]$的形式进行推广。最后,从$\,\ln{\Gamma(x)}$,$x\ in(0,1)$的Fourier级数展开式出发,利用Parseval定理导出了$\,\int{\ln^2{\Gamma(x)}~dx}$的闭式表达式。
... 一些引理。我们首先需要一些Hurwitz-zeta函数的有限求和公式,这些公式来自于第587页的前两个对齐公式[3]. ...
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我们将讨论S.Seo和a.J.Yee的一个猜想,即$1/(q,-q^3;q^4)infty$的级数展开具有非负系数。我们的方法依赖于一般非模无穷乘积$1/(q^a;q^M)infty$的近似值,其中$M$是正整数,$a$是$1,2,\ldots,M$中的任何一个。
... 常量。最近的文章数量惊人(参见[356号,357]),比我们在这里总结的还要多。如果dk(n)表示正整数的序列数x1,x2,…,xk,使得n=x1x2··xk,则[358359360。。。
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我们谦恭而简短地提供对剑桥大学出版社出版的《数学常数》(2003)和《数学常数II》(2019)的更正和补充。欢迎评论。
... 该公式归因于Almkvist和Meurman,他们通过计算Hurwitz-zeta函数ζ(s,v)在有理v下相对于s的导数而得到,见[2]。卡尔最近发现了这个公式的等价物[5])这一公式的一个基本证明将在命题2。。。
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在本文中,我们回顾了Kummer对1-周期函数的Fourier级数展开这与单位间隔(0,1)上伽马函数的对数一致,我们使用求一些与广义Stieltjes常数有关的数值级数的闭式,以及一些涉及函数x的积分lnln(1/x)。
... 在有理数论证下,第一个和第二个Stieltjes常数的计算最近已经给出[3,12] 一。这些分解是有效的Fourier级数,因此意味着许多扩展和应用,它们补充了文献[7]中给出的关系式。。。
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Stieltjes常数$\gamma_k(a)$作为Hurwitz zeta函数$\zeta(s,a)$的劳伦特展开的正则部分中的系数,大约$s=1$。推广了文[4]对$\gamma_k(a=1)$的积分和斯特林数级数结果。在此过程中,我们指出了$\gamma_k(a)$的另一个渐近发展,它为即使是较小的$k$值也提供了方便和准确的结果。
... 备注。方程(19)[20]使用了欧拉-马斯切罗尼常数的推广用于算术级数和有限傅立叶级数,另见附录B[6]. 最后,我们必须提到ψ(q/p)+γ实际上是超验的。。。
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幂级数的Abel连续性定理是计算和和和证明特殊函数性质的有力工具。然而,除了两个基本的例子外,这在分析课程中不再占有一席之地。本笔记是一个邀请,以了解这个定理,它的历史,和它的许多应用分散在文献中。
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由此给出了复函数幂和的一个显式恒等式,给出了任意给定非零复数下Riemann-zeta函数的一个闭式公式,这个闭式公式说明了Riemann-zeta函数对任何给定的非零复数都没有唯一解,这意味着Riemann-zeta函数是完全的发散的。Riemann-zeta函数的无穷多个零点不幸地产生了这些零点也给出了Riemann-zeta函数的非零值。在这些零点中,有些是黎曼假设的零点。本文还讨论了与Riemann-zeta函数行为完全相同的eta函数(交替Riemannzeta函数)
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Bernoulli函数$\operatorname{B}(s,v)=-s\,\zeta(1-s,v)$插值伯努利数,但可以独立于zeta函数引入。出发点是根据J.Jansen给出的积分表示对Stieltjes常数的修正。研究$\operatorname{B}(s,v)$的函数方程及其与Riemann$\zeta$和$\xi$函数的关系。Hadamard、Worpitzky和Hasse的经典结果是用$\operatorname{B}(s,v)重铸的。$扩展的Bernoulli函数定义了与Euler在1735年研究的有理数相协调的奇指数的Bernoulli数,它是通向Euler和Andr\'{e}数的桥梁。给出了有符号和无符号情况下的插值函数。瑞士刀多项式使得Euler-Bernoulli族的整数序列很容易计算。
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本文提出并研究了Γ-函数对数的两个新级数。我们还得到了它们的多聚体类似物并进行了讨论。这些级数包含第一类Stirling数,并且对于某些与π有关的参数,它只包含有理系数1特别是对于lnΓ(n/2±απ)形式的任何值1) 和ψk(n/2±απ1) 式中ψk代表第k个polygamma函数,α是大于π/6的正有理数,n是整数,k是非负整数,这些级数只有有理项。在指定的收敛区域内,导出级数以与总和(n ln^m n)^(2) ,其中m=1,2,3,…,取决于polygamma函数的阶数。对于最吸引人的值,如lnΓ(π),给出了有理系数级数的显式展开式1) ,lnΓ(2π)1) ,lnΓ(12+π1) ,ψ(π1) ,ψ(1/2+π1) 和ψk(π1) 一。此外,在本文中,读者还将发现一些涉及斯特林数、格雷戈里系数(对数数,也称为第二类伯努利数)、柯西数和广义伯努利数的系列。最后,得到了Gregory系数、Cauchy数、某些广义Bernoulli数以及某些带有Stirling数的和的估计和完全渐近性。特别是,这包括格雷戈里系数和第二类柯西数的严格界限。
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本文讨论了最近在数学文献中讨论过的一类对数积分,以及一些密切相关的结果。首先,它表明这个问题比通常报告的问题要早得多。特别是所谓的Vardi积分,它是被考虑的积分族的一个特例,由Carl Malmsten和他的同事在1842年首次进行了评估。在一定条件下,等高线积分法可以成功地用于这些积分(称为马尔姆斯滕积分)的计算。与现代欧拉函数的“重函数”不同,现代欧拉函数不需要“重函数”。此外,还讨论了对反正切积分族的直接扩展。对所提出的方法稍作修改,还计算了一些含有多伽玛函数的积分。马尔姆斯滕积分通常依赖于几个参数,包括离散参数。证明了离散实参数的Malmsten积分可以用一种有限的Fourier级数来表示,其系数是用Γ-函数及其对数导数来表示的。通过研究这种正交展开式,证明了关于有理参数下Γ-函数值的几个有趣的定理。相反,连续复参数的Malmsten积分与广义Stieltjes常数有关。这种联系对于用初等函数确定(0,1)范围内七个有理参数的第一广义Stieltjes常数、Euler常数γ、第一Stieltjes常数γ是有用的1和Γ-函数。然而,不知道是否任何第一个广义Stieltjes常数在有理参数下可以用相同的方式表示。本文还提供了Stieltjes常数的乘法定理、递推关系和反射公式。手稿的一部分专门讨论与马尔姆斯滕积分有关的对数和三角级数。结果表明,相对简单的对数三角级数可以通过Γ-函数及其对数导数、Hurwitzζ-函数的导数或第一广义Stieltjes常数的反导数求得。顺便指出,关于Γ-函数对数的Fourier级数展开式的作者错误地归因于Ernst Kummer:Malmsten和他的同事早在1842年就得到了这个展开式,而Kummer只是在1847年才得到它。有趣的是,用余弦代替正弦的一个相似的Fourier级数可以得到Hurwitzζ函数的二阶导数和第一个广义Stieltjes常数的反导数。最后,在著名的Gradshteyn&Ryzhik的积分表和Prudnikov等人的表中发现了与对数和反正切积分有关的几个错误和印刷错误。
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出版商:对于这本廉价的平装版的开创性经典,作者已经广泛地重新安排,重写和扩大的材料。这本书的独特之处在于它强调频率方法及其在解决问题中的应用。内容包括:基本原理和算法;多项式逼近—经典理论;傅立叶近似;现代理论;指数近似。
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Stieltjes常数gamma(k)出现在Riemann-zeta函数zeta(s)的Laurent展开的正则部分的系数中。我们给出了k>>1的伽马(k)的渐近表达式。这种形式包含了领先增长率和k的振荡。此外,我们的结果对于计算是有效的,即使是中等的k值,我们的结果也一致(对于大小和符号)。并与一些早期的工作作了比较。
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在(jest-zetz)公式中,α(jest-zetz)的广义幂次函数α(jest-zet)是省略的。证明了关于广义Stieltjes常数的一些结果。
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靠近奇点s=1,zeta函数可以用(s-1)中的Laurent级数表示。这个系列中的系数被称为Stieltjes常数,第一个常数是在100年前计算出来的。为了研究它们有点出乎意料的行为,我们定义了一个相关的函数,我们称之为Stieltjes函数,并检查了它的属性。
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这本书是第一卷的作品可以描述一下作为第二部分的最新版本。惠特克和沃森著名的“现代分析”的先验功能。贝特曼(谁惠塔克的学生)计划了一个巨大规模的“功能指南”。除了详细的财产说明在最重要的功能中,这项工作包括有关的基本公式和参考文献的起源和定义对于所有发明或研究过的特殊功能。这些职能部门将被编入目录,并分为12个不同的部门按幂级数定义的标题,生成函数,无穷积,重复微分,不定积分,定积分,微分方程,差分方程,泛函方程,三角级数,正交函数系列,或积分方程。代表每个函数的定积分表一些新函数的数字表将成为“指南”的一部分。定积分的扩展表和数值表指南的特殊功能被规划为配套工程。
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12五十、 尼伦伯格,非线性柯西-科瓦莱夫斯基定理的抽象形式,微分几何,6(1972)561-576。
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TextLetχ是原Dirichlet字符模q和let(1) nγn(χ)/n!(1) γ(γ)/n!(对于n大于0)是相关Dirichlet L-级数z=1z=1附近的第n个Laurent系数。当χ是非主变量时(1) nγn(χ)(1) nγn(χ)是L(z,χ)L(z,χ)在z=1z=1时的n阶导数的值。本文给出了q的|γn(χ)| |γn(χ)|的一个显式上界π2e(n+1)/2n+1。特别是,当q=1q=1时,我们得到的显式上界比之前的工作得到了改进。本文的结论是,在这些证明中,我们完全可以省去L(z,χ)L(z,χ)的函数方程http://www.youtube.com/watch?v=q340UciEvAA。