转型音乐理论的GAP教程

[1.1]GAP（Groups，Algorithms，and Programming的缩写）是一个数学软件包，对于转型音乐理论的研究人员和学生来说，它是一个极具潜力的工具。音乐理论家在研究音高类集合理论和系列理论时可以使用许多计算机资源——音高类集计算器、矩阵生成器等，如果有的话，用户可以自己构造、分析和操作代数系统。然而，这些技术在转换理论家的方法论中所占的比例越来越大。通常有必要考虑诸如群的子群结构之类的概念，或者确定群的自同构。虽然可以手动进行此类计算，但GAP执行这些计算的速度可以显著提高研究的时间效率。从教育学的角度来看，GAP为转换理论的学生提供了一个资源丰富、有效的实验环境，并为他们的结果提供了初步的实证证据。

[1.2]GAP是由数学家和其他计算科学家开发的。该项目始于1986年，由德国北莱茵-威斯特伐利亚州亚琛市RWTH亚琛大学的四名学生发起：约翰内斯·梅耶、爱丽丝·尼迈耶、沃纳·尼克尔和马丁·舍内特。其第一次公开发布是在1988年，版本为2.4。自那时以来，它经历了多次修订，并获得了世界认可，⁽¹⁾虽然它在音乐理论研究中没有得到太多的关注。⁽²⁾GAP 4.4.12是最新版本。它是免费的，适用于Windows，Macintosh和UNIX操作系统及其所有文档，请访问www.gap-system.org也可通过Sage获得交互式在线版本（见下文[2.18]）。

[1.3]本教程试图在熟悉的变换理论概念的背景下，向音乐理论界介绍GAP中的一些实用程序：变换群及其行为、Klumpenhouwer网络和新黎曼理论。因此，它预设了对这些概念的基本而非高级理解，并且没有GAP的先验知识。在第一节描述了GAP环境的基础知识（如何输入命令、解释输出、获取帮助等）之后，我们生成了换位组吨、转置和倒置组T/I公司，和仿射群TTO公司我们研究了这些组如何作用于音高类集和音高类集合，并进行了各种测试，将它们与众所周知的抽象代数结构联系起来。接下来，我们使用GAP研究Klumpenhouwer网络，生成K网络等值线导出的自同构群。最后，我们考虑常步和韦克塞尔新黎曼理论组，它如何与转置和倒置组相关，这些是如何成为胡克的子群(2002)一致（和准一致）三元变换，以及如何生成其他相关的上下文操作组。

[2] 正交约定和GAP命令

[2.1]在本教程中，我们使用了某些正交（即符号）约定，这些约定有时与音乐理论中常用的约定不同。在某些情况下，GAP需要这些约定；在其他时候，它们不是必需的，但更符合标准的数学约定。例如，尽管GAP不需要它，但我们用小写字母表示所有操作：

克:= (1,2,3)
小时:= (1,2)

这种符号不同于音乐理论中对某些操作符（如T）使用大写字母的常见做法_n个对于这些特定的操作符，我们使用t吨^n个和我（参见下文第[3]节）。运算也以循环表示法出现。在以下情况下克上面的插入表达式（1,2,3）告诉我们，在克，整数1移到2，2移到3，3移回1。结果是一个3阶的置换（即一个3循环）。相反，在小时，1移到2，2直接移回1（即2循环或渐开线）。然后克和小时,生长激素=（1,2,3）（1,2），根据克，然后2回到1以下小时因此，它修复（或稳定）1。此外，它在下发送2到3克，它仍在下面小时；并在下发送3到1克和1到2以下小时。总的来说，它稳定了1，发送2到3，发送3到2，所以生长激素= (2,3).⁽³⁾

[2.2]我们使用乘法表示法而不是加法表示法，即使对于交换群：

克×小时，或生长激素
（而不是克+小时)

此外，GAP使用右功能正字法（即从右向左读取）。也就是说，在作文中生长激素，执行克首先，然后小时这种做法不同于音乐理论中常用的左函数记谱法，例如，T运算_n个I表示先反转（I），然后通过n个（T_n个).

[2.3]我们用大写字母表示集合、群和其他代数结构：

G公司:=克,小时

这里，尖括号表示G公司是由生成的组克和小时此外，我们给出了用希腊字母将这些结构相互映射（态射）的函数；但由于GAP只读取ASCII字符，我们拼出了这些希腊字母：

圆周率:G公司^圆周率→H（H），其中克^圆周率×小时^圆周率= (克×小时)^圆周率,
为所有人克,小时∈G公司

在GAP中，我们对函数使用指数表示法，如上例所示，而不是前缀表示法，这在音乐理论写作中更为常见。换句话说，我们写G公司^圆周率，而不是圆周率(G公司)。在这种情况下，G公司^圆周率表示函数圆周率那张地图G公司到H（H），其中克^圆周率是的图像克在映射中，小时^圆周率是的图像小时这样的函数可以是同态，如本例所示；同构，一对一；满射同态；或自同构，这是一个组对其自身的同构。

[2.4]右函数正字法也与GAP对函数使用指数表示法相一致。函数的乘积阿尔法和贝塔（按顺序）应用于结构G公司接收指数表示法：

(G公司^阿尔法)^贝塔=G公司^{阿尔法⋅贝塔}

而在前缀表示法中，我们有：

贝塔(阿尔法(G公司)) =贝塔⋅阿尔法(G公司)

从右向左阅读。

[2.5]在以下情况下生长激素表示作用于集合的组元素的组合S公司，或在成员上x个对于该集合，我们再次使用指数表示法，例如S公司^生长激素，或x个^生长激素，而不是前缀表示法，例如小时(克(S公司))或小时(克(x个)). 最后，因为我们使用乘法表示法，所以我们也对通常意义上的指数（幂）使用指数表示法：

克×克=克²,克×克×克=克³等。

[2.6]在本教程中，GAP命令在红色，GAP的相应输出显示在蓝色.⁽⁴⁾注意：GAP区分大小写。在GAP提示符下输入所有命令“间隙>“（请参见示例1)，并以分号结尾（后跟[输入]）。键入的GAP命令可以有空格，也可以没有空格。在GAP中，我们可以使用标准符号“:=“用于定义。这些对象包括操作：

间隙>g：=（1,2,3）；
(1,2,3)
间隙>h:=（1,2）；
(1,2)

GAP将输出放在定义命令下面的行上。在这种情况下，输出通过重新显示循环排列来确认定义克和小时代表。

[2.7]我们可以类似地定义代数结构：

gap>G:=组（G，h）；
组（[（1,2,3），（1,2）]）
gap>N:=亚组（G，[G]）；
组（[（1,2,3）]）

同样，输出确认了正在定义的结构：由克和小时在第一种情况下G公司由生成克在第二场比赛中。然而，请注意，仅第二个命令的输出并不表示N个是的子组G公司由生成克.

[2.8]我们还可以调用GAP库中的对象：

间隙>D_6：=二面体群（6）；
<带2台发电机的6号pc组>

这里，六阶二面体群是一个纯粹抽象的代数结构，而不是像G公司以上。输出确认了组的大小，告诉GAP用来构建组的生成器数量，并引用了一种特定类型的抽象结构：“pc组”。输出中的术语“pc”并不像音乐理论中常见的那样缩写为“音高类”。相反，它代表“多环”，一种包含二面体群的群结构。然后D类₆不是排列，例如（1,2,3）和（1,2），而是抽象生成器f1（2阶）和f2（3阶）的组合，如以下命令的输出所示。

[2.9]我们可以定义形态和其他映射：

gap>pi:=同构群（D_6，G）；
[f1，f2]->[（2,3），（1,2,3）]

此命令的输出告诉我们，GAP已从D类₆到G公司；否则，输出将显示“失败“（注意：在这种情况下，如果存在多个可能的同构，GAP只选择一个进行显示。）同构圆周率是的每个元素的映射D类₆至其中一个G公司，但输出仅以的（抽象）生成器的形式呈现这种同构D类₆、f1和f2及其图像G公司从中可以导出附加群元素的映射（e。克.,小时=（1,2）=（2,3）（1,2,3）英寸G公司是中f1●f2的图像D类₆).表1为每个组中的所有六个元素提供映射。

[2.10]我们可以显示对象，包括先前定义的对象：

间隙>g；
(1,2,3)
间隙>列表（G）；
[ (), (1,3,2), (1,2,3), (2,3), (1,3), (1,2) ]

鉴于“克；“上面的命令显示单个循环排列，”列表（G）；“展示了G公司空括号，()在后一个命令之后的输出中，表示组的标识元素，例如平凡置换，它发送集合中的每个成员G公司作用于自身（即整数1、2和3）。

[2.11]此外，我们可以确定产品、因子、商等：

间隙>g*h；
(2,3)
间隙>g^2；
(1,3,2)
间隙>DirectProduct（G，D_6）；
<带有4台发电机的36号机组>
间隙>G/N；
组（[f1]）

上述前两个命令的输出在前面的讨论中已经足够简单，但第三个和第四个命令的输入需要进一步说明。第三个命令的输出告诉我们，直接积是一组36阶（或6阶）²因此，由于直接乘积中的两个组的大小为6），并且它有四个生成器（即G公司和D类₆:克和小时以及f1和f2）。第四个命令调用商组，该商组由N个在里面G公司。此行的输出中的f1表示这些陪集之一，而不是指上面的另一个f1（的生成器D类₆).

[2.12]在GAP中，我们可以执行各种功能、算术等：

间隙>1*2*3；
6
间隙>尺寸（G）；
6

并运行各种测试：

间隙>尺寸（G）=阶乘（3）；
真的
间隙>g*h=h*g；
假
gap>IsAbelian（G）；
假

[2.13]我们可以在一行上输入两个或多个命令（每个命令后面跟着一个分号），GAP在相邻的连续行上显示它们各自的输出：

gap>H:=亚组（G，[H]）；尺寸（H）；
组（[（1,2）]）
2

长命令可能会被中断（输入），然后到达分号。在这些情况下，GAP在随后的一行中继续命令行，并使用简单的“>“提示：

间隙>大小（InnerAutomorphismsAutomorphaisGroup(
>自同构群（G））；
1

上述命令的语法很复杂，但遵循一定的逻辑。在一系列的附加说明中，我们首先要求GAP为建立自同构群G公司(自同构组(G公司)); 其次，为了确定这个群中的哪个自同构是内部的，因此从群元素的共轭中导出(内部自同构自同构组); 最后，显示存在多少内部自同构(大小)。输出告诉我们G公司只包含一个成员。

[2.14]我们可以通过在命令后面加上两个分号来抑制通常会产生该命令的输出：

间隙>列表（H）；；

GAP存储任何一个会话的命令行历史记录。用户可以使用↑根据需要重复使用（up-arrow）键，和/或使用↓（向下箭头）键，滚动历史记录。最后，要结束会话，我们使用：

差距>退出；

[2.15]我们可以创建程序，将其存储为普通文本文件，而不是在每个会话中重新键入GAP命令。然后可以将程序加载到GAP会话中。这样，我们可以很容易地建立一个持续实验的环境。例如，本教程第[3]-[5]节中使用的所有命令都显示在文本文件中“示例GAPprogram.txt“这是本文的主题。要将此程序加载到GAP会话中，我们使用以下命令：⁽⁵⁾

间隙>读取（“SampleGAPprogram.txt”）；

请注意，此命令后没有输出，即使程序包含的命令通常会产生输出。因此，程序不需要包含定义以外的命令。一旦读取了这样的程序，用户就可以简单地调用显示命令、描述进一步的定义、运行测试等等。程序也可能包含注释，GAP不将其视为命令。备注以磅符号开头，不要以分号结尾：

gap这是一句话，不是命令。

同样，没有输出。

[2.16]可以通过多种方式为GAP用户提供帮助。首先，GAP网站提供了许多在线手册，包括教程、常见问题解答、示例和加入GAP论坛电子邮件分发列表的说明。GAP会话中也提供帮助；您可以通过键入前面带有问号的搜索词（同样，不使用分号）来查找特定主题的帮助：

间隙>？轨道
帮助：有几个条目与此主题类型匹配？2获得匹配[2]
[1] 教程：动态观察
[2] 参考：动态观察
[3] 参考文献：多环群轨道稳定器方法
[4] 参考：轨道
[5] 参考：轨道！操作/属性
[6] 参考：轨道域
[7] 参考：OrbitLength
[8] 参考：轨道长度
[9] 参考：OrbitLengthsDomain
[10] 参考：轨道稳定器
[11] 参考：轨道稳定器算法
[12] 参考：OrbitPerms
[13] 参考：OrbitsPerms
[14] 参考：OrbitStabChain
[15] 参考：OrbitPowerMaps
[16] 参考：OrbitFusions
[17] 延伸：轨道
[18] 扩展：轨道操作
[19] 扩展：OrbitishFO
[20] 新功能：OrbitGenerator
[21]新功能：OrbitGeneratorsInv
[22]新功能：OrbitGeneratorsOfGroup

在随后的GAP提示下（无需立即），我们可以在问号后输入想要阅读的条目编号：

间隙>？2
>轨道（<G>[，<欧米茄>]，<pnt>，[<gens>，<行为>，]<act>）

点的轨道<pnt>是的所有图像的列表<pnt>下的操作。

（请注意，此列表中的点的排列不是由操作定义的。）

轨道<pnt>始终包含一个*等于*的元素<pnt>，但出于性能原因，此元素不一定与<pnt>，特别是如果<pnt>是可变的。

间隙>g：=组（（1,3,2），（2,4,3））；；
间隙>轨道（g，1）；
[ 1, 3, 2, 4 ]
间隙>轨道（g，[1,2]，OnSets）；
[ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 1, 4 ], [ 2, 3 ], [ 3, 4 ], [ 2, 4 ] ]

（有关具体操作的信息，请参阅“基本操作”一节。）

>轨道（<G>，<种子>[，<gens>，<行为>][，<act>]）！
{操作/属性}

>轨道（<xset>）！{操作/属性}

--<space>页面，<n>下一行，<b>后面，<p>后场，退出--

然后，GAP提示以某种形式继续或退出手册；例如，n个或q个

这个[空格],n个等，后面没有分号（也没有).

[2.17]遇到错误时，输出会提供问题的描述，无论是语法问题：

间隙>尺寸（组（g）；
语法错误：应为）
大小（组（g）；
             ^

或逻辑：

间隙>G/H；
错误，<N> 必须是<G>的正规子组，从调用
<功能>（<arguments>）从read-eval-loop调用
正在进入break read-eval-print循环。。。
你可以“退出；”退出外循环，或
您可以“return；”继续
brk（刹车）>

在后一种情况下，我们有机会通过键入退出描述

brk>退出；

在中断提示下，或通过继续描述：

brk>返回；
错误，<H> 必须包含在<G> 从呼叫
从调用了oper（super，sub）
从调用索引（G，N）
从调用了oper（super，sub）
通过NormalSubgroupNCOrig（G，N）调用的自然同态
通过NormalSubgroupNC（G，N）调用的自然同态
...
正在进入break read-eval-print循环。。。
你可以“退出；”退出外循环，或
您可以“return；”继续
brk（刹车）>

输入其中之一brk>返回；或brk>退出；此时，继续或退出相应的描述。

[2.18]用户还可以通过数学软件系统Sage访问万维网上的GAP：http://www.sagemath.org/.包括GAP，Sage有Mathematica、Magma和其他一些对音乐理论家有用的数学应用程序的接口。因此，除了计算离散代数之外，Sage还可以用于研究其他代数、微积分、数论、密码学、数值计算、组合学、图论等。

[2.19]要在Sage中进行在线GAP会话，请创建笔记本（或编辑预先存在的笔记本）。首先，转到网址：www.sagenb.org。然后，要么登录到现有帐户，要么注册一个新帐户并登录。对于新笔记本，单击“新工作表”并为其命名。这会将您带到一个工作表（请参阅示例2)。从顶部附近的下拉菜单中，选择“gap”（默认为“sage”）。在第一个单元格中键入GAP命令，然后单击相应的“evaluate”链接以显示其输出。此时会出现一个新单元格，您可以在其中键入下一个命令，依此类推。您可以保存工作表（通过单击“保存”按钮），然后发布工作表（单击“发布”按钮）。后者为您提供一个URL，其他人可以通过该URL查看您的笔记本。例如，包含本教程中所有命令的笔记本“GAP–MTO”可能位于http://sagenb.org/pub/1117/. 

[3] 正在生成吨,T/I公司、和TTO公司组

[3.1]现在让我们用GAP建立一些熟悉的音乐理论小组。在本节中，我们生成换位组吨、转置和倒置组吨/升，和仿射群TTO公司这包括转置、反转和各种乘法运算。我们还研究了GAP如何在音高类和音高类集合上对这些组的动作进行建模，以及它们与各种抽象代数结构的关系。

[3.2]致电吨音乐转置组（数学上称为翻译组）。⁽⁶⁾ 吨对集合有操作过程控制系统十二个音高类（在非谐波和八度音高等价下，色音高无限集的剩余类）。我们可以使用GAP来建模组，例如吨在正整数的某些子集上使用置换表示。GAP中的此类表示不包含整数0，而节距类C通常映射到该整数。⁽⁷⁾相反，我们将音高类C映射为整数12。

[3.3]出售

C类♯= 1
D=2
E类♭= 3
∶
B=11
C=12

因此，我们可以定义单位转置t吨（翻译），一个音高类换位“上”一个半音：

间隙>t:=（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）；
（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）

换句话说，t吨只是更常见的T操作的另一种符号₁，改用小写字母作为变量名。输出显示t吨循环记数法：在t吨，音高等级1映射到2，2到3，以此类推，直到11到12，12再映射到1。

[3.4]我们可以使用乘法组合运算符，例如t吨具有t吨（T₁带T₁):

间隙>t*t；
(1,3,5,7,9,11)(2,4,6,8,10,12)

请注意，此命令的输出包含两个周期：一个通过偶数节距类，另一个通过奇数节距类别。根据定义，这种循环是不同的。

[3.5]我们还可以使用由自身组成的算子的指数，如前所述：⁽⁸⁾

间隙>t^2；
(1,3,5,7,9,11)(2,4,6,8,10,12)

在这里，t吨²与通常用T表示的运算一致₂.

[3.6]我们可以显示反比：⁽⁹⁾

间隙>t^-1；
(1,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2)
间隙>（t^2）^-1；
(1,11,9,7,5,3)(2,12,10,8,6,4)

换句话说，t吨^-1符合T₁₁（=T_-1)、和(t吨²)^-1=t吨^-2至T₁₀（=T_-2)。我们还可以测试这些等效性：

间隙>（t^2）^-1=t^10；
真的

[3.7]我们可以使用t吨作为一个群体的生成者，吨:

gap>T:=组（T）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）]）

此命令的输出确认吨是由生成的组t吨，其中t吨是置换（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）。吨与12阶循环群同构，C类₁₂:

间隙>同构群（T，循环群（12））；
[ (1,5,9)(2,6,10)(3,7,11)(4,8,12), (1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12) ] ->
[f3，f1*f2]

这个命令的输出需要一些解释。首先，GAP告诉我们，它从吨至C12；否则，它将返回消息“fail”。然而，它不是用生成器描述同构t吨属于吨我们之前定义的，GAP使用t吨³和t吨⁴（T₃和T₄)，它们一起也生成吨（选择生成器的具体原因与GAP的内部编程逻辑有关，有点超出了本教程的范围。）然后，GAP将这些生成器映射到f3和f1●f2，这是存储在GAP内部库中的12阶循环组的抽象生成器。同样，这里重要的一点是同构的存在。

[3.8]我们可以核实吨:

间隙>大小(吨);
12

间隙>列表（T）；
[ (), (1,9,5)(2,10,6)(3,11,7)(4,12,8),(1,5,9)(2,6,10)(3,7,11)(4,8,12),
 (1,11,9,7,5,3)(2,12,10,8,6,4), (1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12),
（1,3,5,7,9,11）（2,4,6,8,10,12），（1,12,11,10,9,8,7,6,54,3,2），
 (1,8,3,10,5,12,7,2,9,4,11,6), (1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12),
 (1,10,7,4)(2,11,8,5)(3,12,9,6), (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8),
 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) ]

在这个输出中，GAP按顺序以循环符号返回元素t吨⁰,t吨⁸,t吨⁴,t吨¹⁰,t吨⁶,t吨¹¹,t吨⁷,t吨³,t吨⁹,t吨⁵,t吨（T₀，T型₈，T型₄，T型₁₀等）。（如前所述，GAP根据此方案列出元素的逻辑超出了本教程的范围，但在接下来的几节中也将介绍此顺序。）

[3.9]GAP可以确定在吨组，此处使用节距等级1显示：

间隙>轨道（T，1）；
[ 1, 9, 5, 11, 7, 3, 12, 8, 4, 10, 6, 2 ]

轨道由俯仰类集合的成员组成，俯仰类1在吨组。也就是说，1映射到1下t吨⁰（T₀)，小于等于9t吨⁸（T₈)，小于等于5t吨⁴（T₄)等等。请注意，GAP在输出中对音高类的排序遵循与“列表(吨);”命令。此外，因为吨在过程控制系统是可传递的，

间隙>IsTransitive（T）；
真的

音高类别1映射到音高类别集合的所有12个成员。

[3.10]GAP还可以显示一组无序音调类（一个pcset）的轨道，例如C主三元组{0,4,7}（回想一下，我们使用整数12代替音调类0）：

gap>轨道（T，[4,7,12]，OnSets）；
[ [ 4, 7, 12 ], [ 4, 8, 11 ], [ 3, 8, 12 ], [ 2, 6, 9 ], [ 1, 6, 10 ],
[ 2, 5, 10 ], [ 1, 5, 8 ], [ 5, 9, 12 ], [ 1, 4, 9 ], [ 3, 7, 10 ],
[ 2, 7, 11 ], [ 3, 6, 11 ] ]

在这里，输出显示（以连续的平方拍集表示）C大调三和弦在转置组成员下映射到的音高类集：C大调、E大调、，A类♭大调、D大调、，F类♯大调，以此类推，通过所有十二个大调三和弦。同样，将C大三元组带到这些不同的其他三元组的操作符的排序与上面[3.9]中的排序有关，只是这个序列中的操作符是前面排序中这些操作符的各自倒数。值得注意的是，尽管GAP考虑{0,4,7}在此上下文中，作为无序pcset，我们必须按升序输入“[4,7,12]“在命令中；否则，我们会收到一条错误消息。

[3.11]GAP还可以建模pcset的轨道吨不忠实，例如扩充三元组{0,4,8}：

间隙>轨道（T，[4,8,12]，OnSets）；
[ [ 4, 8, 12 ], [ 2, 6, 10 ], [ 1, 5, 9 ], [ 3, 7, 11 ] ]

在这里，输出显示了{0,4,8}可以映射到转置组成员下的四个增强三元组。我们说吨不忠实于这组集合，因为组的某些非同一元素（特别是t吨⁴【T】₄]和t吨⁸【T】₈])无法区分t吨⁰【T】₀]; 也就是说，它们保持所有四个增强三元组不变。

[3.12]接下来，定义反转操作我（我们在GAP中用于操作I或I的标签₀):

间隙>i:=（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7）；
(1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7)

此命令的输出仅回显我们用于定义操作的音高类的周期。（注意：输入和输出都省略了俯仰类0[=12，在GAP]和6的单粒子循环，这两个类在反演下都保持不变）。此外，由于GAP使用右功能正字法而不是左功能正字术，因此我们对转置倒装构图的表示法总是以与音乐理论中常见的顺序相反的顺序出现。例如，操作T₁我（或我）₁)显示为它；吨₂我（或我）₂)作为它²；等等。

[3.13]合在一起，t吨和我生成换位和反转组T/I公司:

gap>TI:=组（t，i）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7）]）

同样，输出显示了我们用来生成组的操作周期。T/I公司与24阶二面体群同构，D类₂₄:

间隙>同构群（TI，二面体群（24））；
[ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ] ->
[f2，f1*f3*f4^2]

与上述命令的输出一样，它演示了吨到C类₁₂，此输出告诉我们GAP发现了来自T/I公司到D类₂₄；和前面一样，它给出了各个群的不同生成元的同构。与前面的例子不同，其中GAP取代了生成器t吨³【T】₃]和t吨⁴【T】₄]第页，共页吨用于发电机t吨【T】₁]我们用来定义组的GAP在本例中没有进行这样的替换。相反，它使用发电机t吨【T】₁]和我[我₀]第页，共页T/I公司我们提供的。然后，同构将这些生成器映射到抽象组的生成器D类₂₄、f2和f1●f3●f4²存储在GAP库中的。

[3.14]我们合并了莫里斯(1982)乘法运算米（通常为M或M₅（在音乐理论著作中）在音高课上。那就是，米:x个↦ 5x个2012年款，适用于所有车型x个∈过程控制系统:⁽¹¹⁾

间隙>m：=（1,5）（2,10）（4,8）（7,11）；
(1,5)(2,10)(4,8)(7,11)

同样，输出确认了我们输入的周期，输入和输出都省略了单例周期。

[3.15]相邻米到吨/升产生一个群TTO公司48阶的仿射变换集ℤ₁₂:

gap>TTO:=组（t，i，m）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7），
(1,5)(2,10)(4,8)(7,11) ])

此命令的输出确认TTO公司是这些循环生成的组。TTO公司与6阶和8阶二面体群的直积同构，D类₆×D类₈:

间隙>同构组(TTO公司，DirectProduct(
>二面体组（6）、二面体组（8））；
[ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7),
（1,5）（2,10）（4,8）（7,11）]->[f2*f4，f1*f3*f4*f5，f1*f5]

在该命令的输出中，生成器t吨【T】₁]，我[我]₀]、和米【M】₅]第页，共页TTO公司映射到f1、f2、f3、f4和f5的乘积，GAP的内部库使用这些生成器来构造顺序为48的相关抽象组。同样，这里重要的一点是，GAP确实定位了同构。

[4] Klumpenhouwer网络等值线

[4.1]我们使用GAP作为音乐理论工具的一种方法是研究Klumpenhouwer网络(Lewin 1990年,Klumpenhouwer 1991年)。Klumpenhouwer网络或K-net是有向图，节点（顶点）标记在节距类集合中，箭头（边）标记在T/I公司组（请参见图1).

间隙>t^2；i*t^3；i*t^5；
(1,3,5,7,9,11)(2,4,6,8,10,12)
(1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8)
（1,4）（2,3）（5,12）（6,11）（7,10）（8,9）

如上所述，在GAP中输入与箭头相对应的标签，将生成一个显示节点内容所在循环的输出。例如，将由pc 9填充的节点连接到由11填充的节点的（单头）箭头标记为t吨²（T₂); 其循环如下：

(1, 3, 5, 7,9, 11)(2, 4, 6, 8, 10, 12)

音高等级9映射到音高等级11（带下划线），然后依次映射到1、3、5、7，最后映射回9。因此，它是一个长度为6的周期（一个6周期）。因为音高等级11继续为1，并且不会直接返回到9，所以我们在网络中使用单箭头。

[4.2]另一方面，图1中连接节距等级9和6、11和6的操作循环-它³和它⁵（一）₃和我₅)分别是退化。也就是说，它们是它们自己的反比。输入相应的箭头标签会产生以下长度为2的循环（2个循环）：

(1, 2)(3, 12)(4, 11)(5, 10)(第6页，第9页)(7, 8)
(1, 4)(2, 3)(5, 12)(6, 11)(7, 10)(8, 9)

在第一个2周期中，节距等级6映射到9，以及9映射到6；在第二种情况下，6映射到11，反之亦然。因此，网络采用双头箭头连接其相关节点。

[4.3]整个网络可以通过等值线相互关联，等值线对应于T/I公司,Aut（奥特）(T/I公司):

gap>AutTI:=自同构组（TI）；
<带4台发电机的48号机组>

输出表明Aut（奥特）(TT/I公司)是一个48阶的组，它给出了GAP用来构建它的生成器的数量Lewin 1990年他指出，这个组织对24名T/I公司-与同构TTO公司我们称之为同构阿尔法:⁽¹²⁾

gap>alpha:=同构组（TTO，AutTI）；
[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7），（1,5）（2,10）（4,8）（7,11）]->
[ [ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,3)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9) ] ->
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8) ],
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,3)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9) ] ->
[ (1,8,3,10,5,12,7,2,9,4,11,6), (1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8) ],
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,3)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9) ] ->
[ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ] ]

低于阿尔法，GAP发送先前定义的生成器TTO公司:t吨,我、和米（T₁，我₀、和M₅)，到的三个自同构T/I公司共同生成Aut（奥特）(T/I公司)小组。这些自同构出现在输出中（在第一个箭头之后“->“）就其各自对（任意）发电机的作用而言T/I公司组：t吨⁵和它⁴（T₅和我₄).⁽¹³⁾我们可以用勒温的(Lewin 1990年)标记这些自同构的符号：Fu个,j个，哪个映射t吨^n个到t吨^联合国（T_n个至T_联合国)、和它^n个到它^联合国+j（一）_n个对我来说_联合国+j)，其中u个∈{1,5,7,11}和j个∈ℤ₁₂.我们观察到t吨（T₁)低于阿尔法映射到T/I公司发送的自同构t吨⁵到t吨⁵（T₅至T₅)、和它⁴到它³（一）₄对我来说₃)Lewin会称之为F1,11。接下来，我（一）₀)低于阿尔法映射到发送的自同构t吨⁵到t吨⁷（T₅至T₇)、和它⁴到它³（一）₄对我来说₃)，因此为F11,7以勒温的符号表示。最后，在阿尔法,米（百万）₅)映射到发送的自同构t吨⁵到t吨（T₅至T₁)、和它⁴到我（一）₄对我来说₀)，或F5,4根据勒温的说法。那么，F1,11，F11,7、和F5,4一起确实会产生Aut（奥特）(T/I公司)48级组。

[4.4]作为Aut（奥特）(T/I公司)同构于TTO公司、和TTO公司包含T/I公司作为一个子组，其结果如下Aut（奥特）(T/I公司)包含同构于的子组T/I公司；我们称之为小组海普(T/I公司)（或超链接-T/I公司)。它包括T/I公司具有的自同构u个∈ {1,11}. 将从自同构派生的等高线称为u个=1阳性u个=11负。我们可以选择T/I公司自同构是t吨（T₁)低于阿尔法，F1,11，作为该子群的一个生成器；并采取的形象是我（一）₀)低于阿尔法，F11,7，作为另一个：

gap>HypTI:=组（t^alpha，i^alpha）；
<带2个发电机的组>

我们从[2.4]中回忆起，该命令中使用的指数表示法（例如，“t^α“）表示函数，在本例中是同构。然后，输出只是对生成的结构进行了简要描述：一个有两个生成器的组；但它并不表示规模或任何其他外部信息。

[4.5]使用勒温后期的改编(Lewin 1994年)超符号-T/I公司当前正字法的操作符-t吨^j个对于F1,j个、和它^j个对于F11,j个 -我们注意到GAP映射t吨（T₁)低于阿尔法到的自同构T/I公司这就是所谓的t吨¹¹：发送的内容t吨^n个到t吨^n个（T_n个至T_n个)、和它^n个到它ⁿ⁺¹¹（一）_n个对我来说_n个+11)。因此，要定义超-t吨（超T₁)操作员，t吨，发送t吨^n个到t吨^n个（T_n个至T_n个)、和它^n个到它ⁿ⁺¹（一）_n个对我来说_n个+1)，F也是1,j个，放置

间隙>hyp_t:=（t^11）^alpha；
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8) ] ->
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,3)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9) ]

请注意，在该命令的输出中，生成器t吨⁵（T₅)第页，共页吨/升映射到自身和生成器它³（一）₃)映射到它³⁺¹=它⁴（一）₄).

[4.6]同样，GAP地图我（一）₀)低于阿尔法我们称之为自同构它⁷；也就是说，它与发送t吨^n个到t吨^-n个（T_n个至T_-n个)、和它^n个到它^-n个+7（一）_n个对我来说_-n个+7)。因此，要定义超-我（超I₀)操作我发送t吨^n个到t吨^-n个（T_n个至T_-n个)、和它^n个到它^-n个+0（一）_n个对我来说_-n个+0)，放置

间隙>hyp_i:=（i^alpha）*（（t^7）^alpha）；
[ (1,8,3,10,5,12,7,2,9,4,11,6), (1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8) ] ->
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,8)(2,7)(3,6)(4,5)(9,12)(10,11) ]

同样，此命令的输出显示对生成器的操作T/I公司导致组映射到自身的组；具体来说，它演示了t吨⁷到t吨⁵（T₇至T₅)、和它³映射到它^(-3+0)=它⁹（一）₃对我来说₉).

[4.7]遵循菲利普·兰伯特的(兰伯特2002)分析，示例3提出了Arnold Schoenberg的前六个度量Sechs kleine Klavierstücke公司，作品19，编号6。⁽¹⁴⁾

[4.8]我们注意到，在图2-对应于示例中标记为“a”的三字，对应于标记为（b）的三字t吨²。具体来说，标有换位运算符的箭头t吨²（T₂)（a）映射到（b）中具有相同标签的对应箭头；箭头标记了反转操作符它³和它⁵（一）₃和我₅)在（a）中映射到它³⁺²=它⁵和它⁵⁺²=它⁷（一）₅和我₇)在（b）中。输出显示了网络（b）的循环，这是以下（a）循环的图像t吨²:

间隙>（t^2）^（hyp_t^2）；
（i*t^3）^（hyp_t^2）；（i*t^5）^（hyp_t^2）；
(1,3,5,7,9,11)(2,4,6,8,10,12)
(1,4)(2,3)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9)
(1,6)(2,5)(3,4)(7,12)(8,11)(9,10)

我们记得，作为一名超级运营商，t吨²是上的函数T/I公司（即群自同构），因此我们在GAP中使用指数表示法应用它。也就是说，命令“（t^2）^（hyp_t^2）;” 指示GAP显示t吨²（T₂)低于t吨²（超T₂)，依此类推剩余的箭头标签。

[4.9]类似地，在图3关联方式它³（超I₃)标记为（d’）的单词-同样，在示例3中标记三字之后⁽¹⁵⁾-反之亦然它³是一种内卷。特别是t吨²（T₂)（a）中的箭头映射到t吨^-2=t吨¹⁰（T₁₀)箭头（d'）；和它³和它⁵（一）₃和我₅)（a）中的箭头分别映射到它^-3+3=它⁰和它^-5+3=它¹⁰（一）₀和我₁₀)在（d’）中。

间隙>（t^2）^（hyp_i*hyp_t^3）；
(1,11,9,7,5,3)(2,12,10,8,6,4)
间隙>（i*t^3）^（hyp_i*hyp_t^3）；
(1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7)
间隙>（i*t^5）^（hyp_i*hyp_t^3）；
(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)(10,12)

同样，输出显示了相关超运算符下网络（a）箭头的图像（以循环符号表示），它³，我们在命令中呈现为“（高度_ i*高度_ t ^3）.“生成的循环符合网络（d'）中标记箭头的运算符：t吨¹⁰,我、和我¹⁰（T₁₀，我₀和我₁₀).

[4.10]现在可以使用与（a）到（b）和（a）至（d'）相关的超运算符来确定网络（b）到（d’）的超运算符。我们已经知道了t吨²（a）与（b）有关；因此，它的逆函数，t吨^2-1，与（b）至（a）有关。⁽¹⁶⁾我们还知道（a）映射到（d'）下它³因此，根据t吨^2-1和它³，按顺序。以下输出显示了此合成在箭头标签（b）上的相应操作，它生成（d’）的循环：

间隙>（t^2）^（（（（hyp_t^2））^-1）*hyp_i*hyp_t ^3）；
(1,11,9,7,5,3)(2,12,10,8,6,4)
间隙>（i*t^5）^（（（（hyp_t^2）^-1）*hyp_i*hyp_t ^3）；
(1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7)
间隙>（i*t^7）^（（（（hyp_t^2）^-1）*hyp_i*hyp_t ^3）；
(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)(10,12)

输出中的循环与标记（d’）中箭头的操作符的循环一致，t吨¹⁰,我、和它¹⁰（T₁₀，我₀和我₁₀).

[4.11]超运算符的组成t吨^2-1和它³产量它⁵（超I₅):

间隙>（（hyp_t^2）^-1）*hyp_i*hyp_t ^3=hyp_i*hyp_t^5；
真的

我们可以将其与t吨²和它³为了演示Lambert描述的网络（a）和我们标记为（r）的超网络（Lambert的示例5）之间的递归关系。在我们的图4、（r）的节点由网络（a）、（b）和（d'）填充，箭头标记在连字符(吨/升).

[4.12]我们可以进一步定义超-米（超M₅)操作米，以下是Lewin 1990年,⁽¹⁷⁾它发送t吨^n个到t吨^5n个（T_n个至T_5n个)、和它^n个到它^5n个+0（一）_n个对我来说^5n个+0):

间隙>hyp_m:=m^alpha*((t吨^4） ^α）；
[ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ] ->
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ]

如前所述，这里的输出显示了超运算符对T/I公司组：t吨（T₁)和i（我₀)，发送到t吨⁵（T₅)和我（一）₀)分别是。

[4.13]然后，定义一个超-惯性矩操作惯性矩如下：

间隙>hyp_mi:=hyp_m*hyp_i；
[ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ] ->
[ (1,8,3,10,5,12,7,2,9,4,11,6), (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ]

后一个超操作员发送t吨^n个到t吨^7n个、和它^n个到它^7n个+0，如T/I公司发电机输出。

[4.14]克伦本豪威尔(Klumpenhouwer 1998年)然而，观察到勒温的行为海普(T/I公司)网络运营商不一定同意T/I公司在同余网络的节点上。例如，图5中标记为（b）的网络与t吨¹⁰（超T₁₀)到那个标记为（c）-分别对应于示例3中标记为“b”和“c”的三叉，但网络的全等节点由t吨⁵（T₅)，不是t吨¹⁰也就是说，（b）中左上方节点中的俯仰等级5移动了t吨⁵（c）左上节点中的俯仰等级为10，而不是t吨¹⁰对于其他同余节点的有序对，依此类推。（请参见图5.)因此，Klumpenhouwer主张使用从内部自同构群导出的超算子T/I公司,客栈(T/I公司),

gap>InnTI:=内部自同构自同构组（AutTI）；
<带2个发电机的组>

它的自然作用是T/I公司自身。在这里，命令“内部自同构自同构组（AutTI）；“告诉GAP在自同构组中定位内部自同构的子集Aut（奥特）(T/I公司).

[4.15]内自同构实际上形成了全自同构群的正规子群，Aut（奥特）(T/I公司)，由那些由群元素共轭派生的自同构组成，其中元素共轭一通过b条等于成分b条^-1ab公司（GAP也使用指数表示共轭；因此，一^b条表示一共轭的b条因此，Klumpenhouwer描述了超-t吨操作[t吨^x个]，在方括号中，将T/I公司通过t吨^x个（T共轭_x个).⁽¹⁸⁾这种共轭发送t吨^n个到t吨^-x个(t吨^n个)t吨^x个=t吨^n个（T_n个至T_n个)、和它^n个到t吨-x个(它^n个)t吨^x个=它^{n个+2个x个}（一）_n个对我来说_{n个+2个x个}); 和超链接-它^x个操作[它^x个]那个发送t吨^n个至(它^x个)^-1(t吨^n个)它^x个=t吨^-n个（T_n个至T_-n个)、和它^n个至(它^x个)^-1(它^n个)它^x个=它^{-n个+2个x个} （一）_n个对我来说_{-n个+2个x个})。因此，图5中的网络（b）由[t吨⁵]（T共轭₅)与（c）中的匹配t吨⁵上的操作过程控制系统与同余节点相关的：

间隙>（t^2）^（t^5）；（i*t^5）^（t ^5）；
（i*t^7）^（t^5）；(1,3,5,7,9,11)(2,4,6,8,10,12)
(1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8)
(1,4)(2,3)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9)

输出显示了标记（c）中箭头的适当操作符循环。还要注意在命令（e。克., “（t^2）（t^5）；“），表示变位t吨⁵（T₅).

[4.16]我们无法描述两者之间的同构连字符(T/I公司)和客栈(T/I公司)，作为海普(T/I公司)尺寸为24，并且客栈(T/I公司)只有12号。然而，我们可以描述一个群同态贝塔那张地图海普(T/I公司)至客栈(T/I公司):

gap>beta:=动作同态（HypTI，InnTI）；
<动作同态>

此命令的输出仅表示同态的存在。的核心贝塔-这些元素海普(吨/升)映射到的身份元素客栈(T/I公司)-非常重要：

gap>ker_beta:=内核（beta）；
<带1个发电机的组>
间隙>大小（ker_beta）；
2

如输出所示，内核由以下两个元素组成海普(T/I公司)。使用“列表“命令，我们发现这两个元素由超运算符组成t吨⁰和t吨⁶（超T₀和超T₆).

gap>列表（ker_beta）；
[身份映射（组[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），
 (1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7) ]) ),
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)(11,12) ] ->
[ (1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8), (1,4)(2,3)(5,12)(6,11)(7,10)(8,9) ] ]

第一，t吨⁰在输出中显示为“身份映射（组（[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7），“的自同构T/I公司将组中的每个元素映射到自身；其次，剩余的输出给出t吨⁶根据T/I公司发电机t吨⁵（T₅)和它¹¹（一）₁₁)，分别映射到t吨⁵和它¹¹⁺⁶=它⁵（T₅和我₅)。我们注意到内核等于海普(T/I公司)。后一点是交换属性的结果：中心成员(Zentrum公司)组的元素是与组中所有其他元素通勤的元素。在这种情况下，Z轴(海普(吨/升)=========================================================================={t吨⁰,t吨⁶}. 由于任何群元素与另一个与之交换的群元素的共轭是微不足道的（通过群的公理结合性质）Z轴(海普(T/I公司)映射到的身份客栈(T/I公司):

gap>ker_beta=中心（HypTI）；
真的

[4.17]因此，我们无法区分T/I公司由共轭引起的t吨⁰或t吨⁶（T₀或T₆)，显示在发电机上t吨和我:

间隙>t吨^（t^0）=t^（t^6）；i^（t^0）=i^；
真的
真的

或由内核的任何陪集（左或右）的不同成员：⁽¹⁹⁾

间隙>t^（t^1）=t^；i^（t^1）=i^；
真的
真的
间隙>t^（i*t^4）=t^；i^（i*t^4）=i^；
真的
真的

对于所有其他陪集，依此类推。

[5] 新黎曼理论

[5.1]GAP对音乐理论研究的另一个有用的领域是新黎曼理论。该理论主要处理辅音三和弦集合的上下文操作，或克朗日.⁽²⁰⁾为此，将任意辅音（大或小）三和弦定义为无序的音高类集（pcset）：⁽²¹⁾

间隙>CM：=[4,7,12]；
[ 4, 7, 12 ]

将一个俯仰类的轨道称为T/I公司集合类（在本例中，C主三元组在T/I公司group），并标记辅音三和弦的集合类K（K）:

间隙>K：=轨道（TI、CM、OnSets）；
[ [ 4, 7, 12 ], [ 1, 5, 8 ], [ 5, 8, 12 ], [ 2, 6, 9 ], [ 4, 7, 11 ],
[ 1, 6, 9 ], [ 3, 7, 10 ], [ 3, 6, 10 ], [ 2, 7, 10 ], [ 3, 6, 11 ],
[4，8，11]，[2，5，9]，[3，8，11]，[2，5，10]，[5，9，12]，
[1，4，8]，[4，9，12]，[1，4，9]，[1，6，10]，[3，7，12]，
[ 1, 5, 10 ], [ 3, 8, 12 ], [ 2, 7, 11 ], [ 2, 6, 11 ] ]

K（K）作为一个集合，有24个成员（12个大三合会和12个小三合会，均在上面表示），其中T/I公司行为：⁽²²⁾

间隙>TI_K：=动作（TI，K，OnSets）；
组（[（1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10）(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5),
(1,3)(2,5)(4,8)(6,10)(7,12)(9,14)(11,16)(13,18)(15,20)(17,22)(19,24)(21,23) ])

在输出中，我们看到GAP映射了K（K）到整数[1..24]。事实上，它的特定映射K（K）这些整数的基础是我们在[3.13]中定义的T/I公司作为由t吨和我（T₁和我₀)。如果我们将订单号分配给前一个命令输出中的24个三元组，那么C major[4, 7, 12]是1，C大调[1, 5, 8]是2，F小调[5, 8, 12]是3，D大调[2, 6, 9]是4，E小调[4, 7, 11]5，依此类推。然后，发电机t吨（T₁)携带1到2、2到4、4到7等。；和我（一）₀)需要1到3、2到5等等。表2提供了这些空间坐标轴及其相应标签的列表。的操作T/I公司12个音高类集合上的群与它对24个成员的作用是同构的K（K）.称之为同构伽马射线:

gap>gamma:=同构群（TI，TI_K）；
[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12），（1,11）（2,10）（3,9）（4,8）（5,7）]->
[ (1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10)(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5),
(1,8)(2,12)(3,14)(4,16)(5,10)(6,18)(7,20)(9,22)(11,24)(13,23)(15,21)(17,19) ]

定义的图像t吨在下面伽马射线:

间隙>t_K：=图像（伽马，t）；
(1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10)(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5)

和我在下面的形象伽马射线:

间隙>i_K：=图像（gamma，i）；
(1,8)(2,12)(3,14)(4,16)(5,10)(6,18)(7,20)(9,22)(11,24)(13,23)(15,21)(17,19)

[5.2]T/I公司的操作K（K）[1..24]上有一个置换表示，它是该集合上对称群的一个子群：⁽²³⁾

间隙>S_24：=对称组（24）；
Sym（[1..24]）
间隙>Is子群（S_24，TI_K）；
真的

转型音乐理论的经典成果(勒温1987)说明扶正器S公司₂₄属于T/I公司的操作K（K）是Schritt/Wechsel公司组，S公司/W公司新黎曼理论：⁽²⁴⁾

间隙>SW:=扶正器（S_24，TI_K）；
组（[（1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10）(3,5,8,12,16,20,24,21,17,13,9,6),
(1,3)(2,6)(4,9)(5,10)(7,13)(8,14)(11,17)(12,18)(15,21)(16,22)(19,24)(20,23) ])

（此处的输出显示了特定的常步和韦克塞尔配对作为的生成器S公司/W公司.）这个结果与置换群理论中的一个结果有关，该理论指出，由于T/I公司在K（K）是常规的（简单传递），

间隙>IsRegular（TI_K）；
真的

它与扶正器同构(Dixon和Mortimer，1996年)。称之为同构三角洲:

间隙>增量：=同构组（TI_K，SW）；
[ (1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10)(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5),
(1,3)(2,5)(4,8)(6,10)(7,12)(9,14)(11,16)(13,18)(15,20)(17,22)(19,24)(21,23) ] ->
[ (1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10)(3,5,8,12,16,20,24,21,17,13,9,6),
(1,3)(2,6)(4,9)(5,10)(7,13)(8,14)(11,17)(12,18)(15,21)(16,22)(19,24)(20,23) ]

我们注意到三角洲发送T/I公司到S公司/W公司，当发电机作用于各个组时，在发电机的输出项中显示哪个GAPK（K）.

[5.3]呼叫秒（单位常步)的图像t吨在下面三角洲:

gap>s:=图像（delta，t_K）；
(1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10)(3,5,8,12,16,20,24,21,17,13,9,6)

它通过半音（C大调，C类♯大调等）和小调三和弦“向下”的数量相同（C小调、b小调等）。此外，请致电w个的图像我在下面三角洲:

间隙>w：=图像（delta，i_K）；
(1,9)(2,13)(3,14)(4,17)(5,18)(6,10)(7,21)(8,22)(11,24)(12,23)(15,20)(16,19)

回忆一下表2中的映射。我们注意到w个是一个韦克塞尔它将每个大三和弦发送到一个小三和弦，反之亦然，其中各自的三和弦根形成一个一致的间隔：1到9（C大调到G小调），2到13(C类♯大调到降A小调[G公司♯minor）等。然后常步和韦克塞尔出现在定义S公司/W公司[5.2]中的秒和ws公司².

[5.4]与简约语音引导（并行、相对和引导-对讲机）的标准新黎曼交换可定义如下：

间隙>p:=w*s^7；
(1,20)(2,16)(3,15)(4,12)(5,11)(6,19)(7,8)(9,23)(10,24)(13,22)(14,21)(17,18)
间隙>r:=w*s^10；
（1,17）（2,21）（3,22）（4,24）（5,23）（6,18）（7,20）（8,19）（9,14）（10,13）（11,16）（12,15）
间隙>l:=w*s^3；
(1,5)(2,3)(4,6)(7,9)(8,10)(11,13)(12,14)(15,17)(16,18)(19,21)(20,22)(23,24)

此外，其他有用的操作，如科恩的(科恩2004)六音极，可以定义为这些交换的组成：

间隙>马力：=l*p*l；
(1,13)(2,17)(3,18)(4,21)(5,22)(6,14)(7,24)(8,23)(9,10)(11,20)(12,19)(15,16)

[5.5]接下来，生成循环吨作用于辅音三和弦的组：

间隙>T_K：=组（T_K）；
组（[（1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10）(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5) ])

同样，输出显示发电机的循环t吨（T₁)当它作用于K（K）.中的扶正器S公司₂₄属于吨的操作K（K）是新黎曼理论中另一个著名的群体，胡克(挂钩2002)288个均匀三元变换的集合(UTT公司s） ，

间隙>CinS_24ofT_K:=扶正器(S公司_24,吨_K） ；
组（[（1,2,4,7,11,15,19,23,22,18,14,10）(3,6,9,13,17,21,24,20,16,12,8,5),
(3,5,8,12,16,20,24,21,17,13,9,6), (1,3)(2,6)(4,9)(5,10)(7,13)(8,14)(11,17)
(12,18)(15,21)(16,22)(19,24)(20,23) ])
间隙>大小（CinS_24ofT_K）；
288

其中S公司/W公司是一个子组：

差距>Is子组（CinS_24ofT_K，SW）；
真的

[5.6]我们可以在[1..24]上得到一个同构结构，这可能更直观。让[1..12]表示作为主要三和弦根的音高类，让[13..24]表示次要三和弦的根，其中x个和x个+12属于相同的音高类别。（也就是说，1和13都是映射到音高等级C#；2和14到D。。。，12和24至C）参见表3.

[5.7]挂钩UTT公司s以表格形式给出σ,t吨⁺,t吨^-，其中σ∈{+，-}，保留模式（+）或反转模式（-）：⁽²⁵⁾

间隙>负：=（1,13）（2,14）（3,15）（4,16）（5,17）（6,18）
>(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24);
(1,13)(2,14)(3,15)(4,16)(5,17)(6,18)(7,19)(8,20)(9,21)(10,22)(11,23)(12,24)
间隙>加号：=减号^2；
()

然后，t吨⁺表示吨-主要三元组的轨道，

缺口>t^plus；
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

我们现在共轭t吨（T₁，因为它作用于[1..12]）；和t吨^-在小三合会上，

间隙>t^-；
(13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24)

通过共轭给出t吨通过“减号”运算，将[1..12]作为集合携带到[13..24]。

[5.8]我们可以建模UTT公司如Hyer’s(Hyer 1995年)主导关系d=+, 5, 5和Smyth的(Smyth 2008年)近六阶极点非霍奇金淋巴瘤=- ,3, 9在GAP中，如下所示：

间隙>d：=（t^plus）^5*（t^-buse）^5*plus；
（1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8）（13,18,23,16,21,14,19,24,17,22,15,20）
间隙>nhp:=（t^加）^3*（t^减）^9*减；
(1,16)(2,17)(3,18)(4,19)(5,20)(6,21)(7,22)(8,23)(9,24)(10,13)(11,14)(12,15)

第一个命令的输出在一个轨道上发送1到6到11等；还有13到18到23，等等。在我们的新标记系统中，这些整数表示C类♯专业，F类♯第一轨道上的大调、B大调等；和C类♯未成年人，F类♯小调和B小调等。第二个命令的输出显示了十二个交换：1到16，16回到1；2变为17，17变为2；等等。再次，根据我们的新标记系统，我们注意到C#大调与E小调交换，D大调与F小调交换等等。

[5.9]挂钩2002进一步描述了一个更大的群体，QTT公司，它将通常的反转操作与UTT公司s.我们可以将此组作为花环产品T/I公司根据[1..12]行事S公司₂（2次对称群，由两个置换（）和（1,2）组成）。

间隙>QTT:=WreathProduct（TI，对称群（2））；
<大小为1152的置换组，带有5个生成器>

QTT公司包含几个与音乐相关的24阶子组，包括克劳夫的(克拉夫1998)阿贝尔（所谓）S公司/我组：⁽²⁶⁾

间隙>schritt:=t^plus*（t^minus）^-1*plus；
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)(13,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14)
间隙>反转：=i^加*i^减*-；
(1,23)(2,22)(3,21)(4,20)(5,19)(6,18)(7,17)(8,16)(9,15)(10,14)(11,13)(12,24)
gap>SI:=群（schritt，反演）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14），
(1,23)(2,22)(3,21)(4,20)(5,19)(6,18)(7,17)(8,16)(9,15)(10,14)(11,13)(12,24) ])
间隙>IsAbelian（SI）；
真的

[5.10]除了通常的反转操作外，科查维2002描述了五个上下文反转操作符(首席信息官)可能作用于一组辅音三和弦：⁽²⁷⁾

间隙>i215:=m^加*m^减*减；
(1,17)(2,22)(3,15)(4,20)(5,13)(6,18)(7,23)(8,16)(9,21)(10,14)(11,19)(12,24)
间隙>i216:=（m*i）^加*（m*i）^减*减；
(1,19)(2,14)(3,21)(4,16)(5,23)(6,18)(7,13)(8,20)(9,15)(10,22)(11,17)(12,24)
间隙>i217：=i^加*i^减*（t^减）^6*减；
(1,23,7,17)(2,22,8,16)(3,21,9,15)(4,20,10,14)(5,19,11,13)(6,18,12,24)
间隙>i218:=（m*i）^加*（m*i）^减*（t^减）^6*减；
(1,19,7,13)(2,14,8,20)(3,21,9,15)(4,16,10,22)(5,23,11,17)(6,18,12,24)
间隙>i219：=m^加*m^减*（t^减）^3*减；
(1,17,4,20,7,23,10,14)(2,22,5,13,8,16,11,19)(3,15,6,18,9,21,12,24)

这些首席信息官可以与一起使用t吨（作用于[1..24]）以生成具有12阶元素的非贝拉阶24群：

间隙>TI215:=组（t^加*t^减，i215）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24），
(1,17)(2,22)(3,15)(4,20)(5,13)(6,18)(7,23)(8,16)(9,21)(10,14)(11,19)(12,24) ])
间隙>TI216:=组（t^加*t^减，i216）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24），
(1,19)(2,14)(3,21)(4,16)(5,23)(6,18)(7,13)(8,20)(9,15)(10,22)(11,17)(12,24) ])
间隙>TI217:=组（t^加*t^减，i217）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24），
(1,23,7,17)(2,22,8,16)(3,21,9,15)(4,20,10,14)(5,19,11,13)(6,18,12,24) ])
间隙>TI218:=组（t^加*t^减，i218）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24），
(1,19,7,13)(2,14,8,20)(3,21,9,15)(4,16,10,22)(5,23,11,17)(6,18,12,24) ])
间隙>TI219:=组（t^加*t^减，i219）；
组（[（1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）（13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24），
(1,17,4,20,7,23,10,14)(2,22,5,13,8,16,11,19)(3,15,6,18,9,21,12,24) ])

现在我们可以使用GAP的Small Group Library（参见表4⁽²⁸⁾):⁽²⁹⁾

间隙>IdGroup（TI）；
[ 24, 6 ]
间隙>IdGroup（TI215）；
[ 24, 5 ]
间隙>IdGroup（TI216）；
[ 24, 10 ]
间隙>IdGroup（TI217）；
[ 24, 4 ]
间隙>IdGroup（TI218）；
[ 24, 11 ]
间隙>IdGroup（TI219）；
[24，1]

[5.11]鉴于QTT公司包含同构于具有12阶元素的24阶所有群的子组，⁽³⁰⁾它不包含这些特定的子组。相反，Douthett和Peck 2007给一组命令4608，M（M），里面确实有Kochavi的首席信息官.⁽³¹⁾ M（M）是TTO公司根据[1..12]行事S公司₂:

间隙>M：=圈积（t（TTO，对称群（2））；
<大小为4608的置换组，带有7个生成器>

[5.12]具有12阶元素的24阶阿贝尔群也作为子群出现在M（M）.Clough的S公司/I组（见上文[5.9]）就是一个例子：

间隙>IdGroup（SI）；
[ 24, 9 ]

其同构类如下：

S公司/我[24,9]≅C类₁₂×C类₂

剩下的案例留给读者练习。⁽³²⁾

[6] 结论

[6.1]前面的讨论旨在证明GAP在研究变革型音乐理论方面的有用性。虽然大多数示例都重现了众所周知的模型，但我们在此并不是为了发现新的结果。然而，GAP在追求新的理论体系方面可能会发挥相当有效的作用。此外，它可以成为转换理论教学法中的一个有价值的工具，为教师和学生提供一个实验现有或原创概念的环境。

[6.2]除了我们迄今为止讨论的标准群体理论主题外，GAP还有许多其他应用。它可以用于研究其他离散代数结构，如幺半群、半群、域、环、向量空间、矩阵等。GAP所不能做的（至少没有效率）是处理连续空间和其他无限空间，例如Callendar、Quinn和Tymoczko 2008年这些主题也可以通过计算进行探索，但使用的是GAP以外的应用程序。

罗伯特·W·派克
路易斯安那州立大学
巴吞鲁日，LA 70803
rpeck@lsu.edu

引用的作品

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多特、杰克和罗伯特·佩克。2007年，“1152号令三位一体变换组及其与现有音乐理论结构的相关性”，在路易斯安那州新奥尔良举行的“音乐分析中的数学技术特别会议”上发表的论文。

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脚注

1部分参考书目，包括数百篇引用GAP的已出版作品，可在以下网址找到：<www.gap-system.org/Doc/Bib/gap-published.html>.
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2GAP在音乐理论背景下的一个使用示例是派克2005.
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三。感兴趣的读者也可以咨询Dixon and Mortimer 1996年了解更多信息。
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4GAP不使用此颜色编码；这里使用它是为了表达清晰。
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5要使GAP读取此处给出的命令，程序需要存储在启动GAP的同一目录中。例如，使用Windows的默认安装，该目录为C:\gap4r4\bin。
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6数学家指的是音乐理论家们通常称之为“转换”的操作。从数学上讲，转换在同一方向上使每个点移动相同的距离，而转换只交换集合中的两个元素，并保持所有其他元素不变。
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7事实上，GAP确实允许使用模块化算法，但在这里包含它会增加复杂性，这对于我们的目的来说是不必要的。请参阅下面的帮助手册间隙>？模.
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8插入符号“^“在GAP中有几个可能的含义，都与指数符号有关。这里，它的字面意思是指数（即。，t吨平方）。它也可以表示函数（见[4.3]）或共轭（见[4.15]）。
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9请注意在随后的第二个GAP命令（“间隙>（t^2）^-1；”). 它们是必要的，因为求幂通常是非关联的。
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10音乐理论家经常将记谱法纳入其中T/I公司“用于通常的换位和倒置组。这种符号可能会让数学家感到困惑，他们可能会将其解释为商（或因子）群，吨国防部我。作为由生成的子组我未被规范化吨然而，这样的商数是不可能的。因此，如果我们试图标记此组，GAP将显示错误“T/I公司，“因此我们仅使用”技术信息“在GAP中。
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11对于早期的账户米操作，特别是在串行理论的背景下，请参见斯塔尔和莫里斯1974和1977–78、和斯塔尔1978。有关更全面的后续处理，请参阅莫里斯1987.
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12注意：当阅读附带的程序“SampleGAPprogram.txt”时，GAP可能会将阿尔法不同的同构TTO公司到Aut（奥特）(T/I公司)比这里输出中显示的要多：例如，它可以发送托发电机t吨,我、和米超级运营商F类1,7,F类11,5、和F类5,8因此，我们在示例程序中为超-t吨和超链接-我而不是下文[4.5]和[4.6]中出现的内容；即put间隙>hyp_t:=（t^7）^alpha；和间隙>hypi:=i^alpha*t^alpha（在这个特定的映射下，超-米[4.12]中的操作不需要重新定义。）在线Sage笔记本“GAP-MTO”中出现的定义再次略有不同。
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13我们的GAP代表T/I公司组可以由任何t吨订单操作员12(t吨,t吨⁵,t吨⁷，或t吨¹¹)以及任何它^n个。为什么GAP选择这里在生成器上建模这些自同构t吨⁵和它⁴可能看起来很武断，但实际上它的编程基础超出了本教程的范围。顺便提一下，GAP可能会选择除t吨⁵和它⁴在运行完全相同软件的不同计算机上，或者在读取程序与一系列键入命令时。在这些情况下，我们需要重新定义超-t吨,-我、和-米[4.5]、[4.6]和[4.9]中的相应操作。
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14反过来，兰伯特的(2002)对作品19第6号的分析采用了勒温的(1990)分析作品的三种声音作为出发点。
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15兰伯特(2002)在我们的示例3中，最初对标记为“d”的三字给出了不同的解释，他称之为“（d）”。随后，他提供了一个重新解释，并将其标记为“（d'）”。当我们在这里合并后一种解释时，我们保留了其标记。
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16我们可以想当然地认为这里存在一个逆，因为群的自同构本身形成了一个群，而群公理地为其每个元素提供了一个逆。
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17K-网理论的扩展见Lewin 1990年在这里，他使用了他早期的符号来表示这些自同构：因此，F5,0为超级用户-米操作米我们在这里描述；和F类7,0对于hyper-惯性矩,惯性矩.
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18请注意Klumpenhouwer 1998年将方括号[]用于从内自同构群（即在共轭下获得的超算子），与尖括号形成对比 勒温1994用于从海普(T/I公司)组。
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19因为内核是一个正规子群(间隙>IsNormal（HypTI，ker_beta）； 真的)，在形成陪集时，我们是在左边乘还是在右边乘并不重要。
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20 勒温1987包含了新黎曼理论的第一部主要著作，尽管在这方面它借鉴了他早期工作的某些方面（例如勒温1984).科恩1998还对该理论进行了很好的介绍；事实上，整个问题音乐理论杂志42，编号2(Satyendra 1998年)致力于新黎曼主题。
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21在阅读后面的命令时，回想一下我们之前对音高等级C使用的整数12。此外，新里曼理论通常使用符号“+”表示大三和弦，“-”表示小三和弦。在GAP中，我们不能在变量名中使用这些符号，因为GAP认为它们是算术运算符。因此，我们使用“M（M）“对于专业（例如，”厘米”）。
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22与[4.3]中的情况类似，fn。12，GAP分配不同的映射K（K）当阅读“SampleGAPprogram.txt”时，我们得到了新黎曼操作Schritt的不同顺序秒和Wechselw个见下文[5.3]。因此，在程序中，我们必须重新定义操作第页,第页、和我[5.4]中相应地间隙>p:=w*s^9；，间隙>r：=w；、和间隙>l:=w*s^5；另一个类似的情况出现在Sage笔记本“GAP-MTO”中
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23 S公司₂₄是一个相当大的群体，数量为24！(间隙>尺寸（S_24）；620448401733239439360000)。尽管如此，GAP能够几乎即时地处理包含它的后续命令。
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24中的扶正器S公司₂₄属于T/I公司的操作K（K）由[1..24]上与每个成员通勤的所有排列组成T/I公司.
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25减法运算(减)在随后的命令中定义，本质上是并行交换；这是一种内卷化C类♯+至C类♯-(1,13)，D+到D-(2,14)。。。，C++到C-(12,24)反之亦然。加号操作(加)那么，它是微不足道的，这里给出它只是为了提供与Hook标记的一致性(2002)符号。
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26 克拉夫1998表示作用于单位生成的辅音三和弦的组常步和一个倒置，他将其称为“S/I公司组。”而该组确实包含12个熟悉的施里茨，它不包含所有12个反转。（很明显，两个倒置构成了一个换位，而不是常步）同样，他描述了一个同构“变压器/整流器组。”挂钩2002在QTT公司组。
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27我们对Kochavi的标签(2002)上下文反转(我₂₁₅,我₂₁₆, ...,我₂₁₉)遵循其论文中数字的编号（分别为图2.15、2.16、…、2.19），这些数字在论文中呈现（或未标记）。
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28在表4中，符号“骰子₆“指24阶的双环群（=4×6）；“问₈“到8阶四元数群；和“C类₃ C类₈“到的半直积C类₃通过C类₈.
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29后续的输出间隙>IdGroup（TI）；命令显示[ 24, 6 ]，这告诉我们吨/升与GAP 24级15组分类中列出的第六组同构。Sage没有安装Small Group Library；因此，这里给出的最后七个命令不包括在Sage笔记本“GAP-MTO”中
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30存在15个24级（直到同构）的组，但其中7个没有12级的元素，如果我们想在这些组中建模转置之类的操作，这是必需的。
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31 M（M），在Douthett和Peck 2007，代表“母亲集团”。不要与莫里斯集团混淆(1982)M（M）操作。
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32也可以参考挂钩2002.
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注意：当阅读附带的程序“SampleGAPprogram.txt”时，GAP可能会将阿尔法不同的同构TTO公司到Aut（奥特）(T/I公司)比这里输出中显示的要多：例如，它可以发送TTO公司发电机t吨,我、和米超级操作员F类1,7,F类11,5、和F类5,8因此，我们在示例程序中为超-t吨和hyper-我比下面[4.5]和[4.6]中出现的那些；即put间隙>hyp_t:=（t^7）^alpha；和间隙>hypi:=i^alpha*t^alpha（在这个特定的映射下，超-米[4.12]中的操作不需要重新定义。）在线Sage笔记本“GAP-MTO”中出现的定义再次略有不同。

K-网理论的扩展见Lewin 1990年在这里，他使用了他早期的符号来表示这些自同构：因此，F5,0为超级用户-米操作米我们在这里描述；和F类7,0对于hyper-惯性矩,惯性矩.

请注意Klumpenhouwer 1998年与尖括号相比，将方括号[]用于从内部自同构群（即在共轭下获得的超算子）中获得的超运算符 Lewin 1994年用于从海普(T/I公司)小组。

在表4中，符号“骰子₆“是指24阶的双环基团（=4·6）；“问₈“到8阶四元数群；和“C类₃ C类₈“到的半直积C类₃通过C类₈.

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