大数字-注释

本页详细介绍了与大型上描述的数字和快速增长函数大数字页。有关主题，请参阅与该页上的顺序相同。

指向移动内容的链接

我的笔记古戈尔和googolplex公司已移至另一篇文章：

Googol和Googolplex

我对扩展的描述超4reals的函数有转到我的Hyper4文章：

我对实值参数的扩展.

我对Ackermann函数的不同版本的描述如下在我的“大数字-长笔记”文章中：

阿克曼函数的版本.

我对1997年Marxen-Buntrock Busy Beaver唱片的分析已建立BB₆>=95524079位于当前页面的后面部分：

1997年Marxen-Buntrock BB分析₆录音机.

“忙碌的海狸和BB候选录音机”列表转到它自己的文章，繁忙的海狸图灵机器记录的历史.

关于费马数的注记

费马数，斯隆的A000215号，都是形式2的数字^{2^N个}+1:

三
5
17
257
65537
4294967297
18446744073709551617
340282366920938463463374607431768211457
...

它们的因子分解为：

三
5
17
257
65537
641 × 6700417
274177 × 67280421310721
59649589127497217 × 5704689200685129054721
...

所有费马数的所有因子，按升序排列命令，按照斯隆的顺序A023394号最小的不是这里显示的是114689，哪些因素F类₁₂=2^2¹²+1.有一个共享计算项目，类似于梅森素数搜索，查找其中的所有术语序列；在上查看我的页面A023394号.

存在无限个素数的Goldbach证明

素数的“无限性”有许多证明。列出了11个保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim）的一本书中[52].

这是哥德巴赫在写给欧拉的信中给出的证据1730年。我从考德威尔那里扩展并重写了它¹⁴

引理（哥德巴赫，1730）：任意两个费马数 F类_n个=2^{2^n个}+1相对来说是最好的。

证明：首先注意

F类_x个-2=2^{2^x个}- 1

现在设置

F类_n+1- 2 = 2^2ⁿ⁺¹- 1

替代a ^2-1对于（a-1）×（a+1）在右侧：

F类_n+1- 2 = (2^{2^n个}- 1) × (2^{2^n个}+ 1)

因此（替换x个对于n+1)我们有

F类_x个-2=（F_x-1型-2）×F_x轴-1

我们也有

F类₁-2=F₀

因此（通过归纳），总的来说是正确的

F类_n个-2=F₀×F₁× ... ×F_n-1个

让米小于以下任意整数n个.F类_米是上的条款之一右侧。让d日按以下任何公因数F类_米和F类_n个。自F类_米出现在右侧，d日必须是一个因素属于F类_n个-2。自d日是一个因素F类_n个和，共F类_n个-2,d日是2的因子。但每个费马数都是奇数，所以d日必须为1。因此，任何费马数和任何其他数的唯一公因数较小的费马数是1：所以这两个费马数相对而言素数。

定理（哥德巴赫，1730）：素数无穷多。

证明：对于每个费马数F类_n个，选择单个素数除数第页_n个.由于费马数相对来说是质数（刚刚证明）我们知道任何两个素数第页_米和第页_n个是不同。因此，至少有一个素数第页_n个每个费马数F类_n个，也就是说，每个整数至少有一个素数n个.

由于任何两个费马数都是相对质数费马序列称为两两互质的.任何其他两两相对素数序列也可以用来证明素数是无限的。下面是另一个示例：

w个₁= 2
w个₂=w₁+ 1
w个_三=w₁×宽₂+ 1
w个₄=w₁×宽₂×宽_三+ 1
等。

（如果更改初始值，则会产生其他有效序列2和1位于任何其他数字对的后续行的末尾相对最好）。同一序列的另一种形式是：

一₁= 2
一_n+1=一个_n个²-一个_n个+ 1

这叫做西尔维斯特序列（斯隆的A000058号). 这个序列开始：

2 （主要）
三（主要）
7 （主要）
43 （主要）
1807 = 13 × 139
3263443 （主要）
10650056950807 = 547 × 607 × 1033 × 31051
113423713055421844361000443 = 29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
等。

其他序列，例如梅森数是相对素数，但没有简单的迭代公式来生成他们。

完美数字

以下是较小的完全数都是这样的

P（P）_第页= 2^第1页(2^第页-1)

哪里第页是其中之一梅森素数列出如下所示。问题奇数完全数仍未解决。

n个第页 P（P）_第页
1 2 6
2 三 28
三 5 496
4 7 8128
5 13 33550336
6 17 8589869056
7 19 137438691328
8 31 2305843008139952128
9 61 2658455991569831744654692615953842176
10 89 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
11 107 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
12 127 14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
13 521 2⁵²⁰(2⁵²¹-1) ≈ 2.356272×10³¹³（有点长，无法显示所有数字）
14 607 2⁶⁰⁶*(2⁶⁰⁷-1） ≈1.410537×10³⁶⁵

要获得更多完美数字，请查看梅森素数并使用公式P_第页=2^第1页(2^第页-1).

梅森数

这个梅森数是形式2的数字^第页-1其中第页是素数。这是前25个。因为梅森夫妇是成对的相对素数，每个素数在因素此表的列：

第页 2^第页-1 因素
2 三（主要）
三 7 （主要）
5 31 （主要）
7 127 （主要）
11 2047 = 23 × 89
13 8191 （主要）
17 131071 （主要）
19 524287 （主要）
23 8388607 = 47 × 178481
29 536870911 = 233 × 1103 × 2089
31 2147483647 （主要）
37 137438953471 = 223 × 616318177
41 2199023255551 = 13367 × 164511353
43 8796093022207 = 431 × 9719 × 2099863
47 140737488355327 = 2351 × 4513 × 13264529
53 9007199254740991 = 6361 × 69431 × 20394401
59 576460752303423487 =179951×3203431780337
61 2305843009213693951 （主要）
67 147573952589676412927 = 193707721 × 761838257287
71 2361183241434822606847 = 228479 × 48544121 × 212885833
73 9444732965739290427391 = 439 × 2298041 × 9361973132609
79 604462909807314587353087 = 2687 × 202029703 × 1113491139767
83 9671406556917033397649407 = 167 × 57912614113275649087721
89 618970019642690137449562111 （主要）
97 158456325028528675187087900671 = 11447 × 13842607235828485645766393

梅森Primes

梅森数是梅森素数如果它是质数。在上面列表中，梅森素数是M（M）₂= 3,M（M）_三＝7，M（M）₅= 31,M（M）₇= 127,M（M）₁₃=8191等。每个梅森素数都有也是一个完美的数字P（P）_第页由提供

P（P）_第页= 2^第1页(2^第页-1).

下面是已知素数的（相当完整的）列表第页为此M（M）_第页是梅森素数。对于最初的几个，“发现”的功劳指发现相应的完全数:

n个第页数字
单位：M_第页数字
单位：P_第页年
建立发现者
1 2 1 1 约公元前500年未知的
2 三 1 2 约公元前275年欧几里得
三 5 2 三约公元前275年欧几里得
4 7 三 4 约公元前275年欧几里得
5 13 4 8 1456 未知的
6 17 6 10 1588 卡塔尔迪
7 19 6 12 1588 卡塔尔迪
8 31 10 19 1772 欧拉
9 61 19 37 1883 Pervouchine（或“Pervushin”）
10 89 27 54 1911 权力
11 107 33 65 1914 Powers（也由Fauquembergue声称）
12 127 39 77 1876 卢卡斯
13 521 157 314 19520130 罗宾逊
14 607 183 366 19520130 罗宾逊
15 1279 386 770 19520626 罗宾逊
16 2203 664 1327 19521007 罗宾逊
17 2281 687 1373 19521009 罗宾逊
18 3217 969 1937 19570908 里塞尔
19 4253 1281 2561 19611103 赫尔维茨和塞尔弗里奇
20 4423 1332 2663 19611103 赫尔维茨和塞尔弗里奇
21 9689 2917 5834 19630511 吉利斯
22 9941 2993 5985 19630516 吉利斯
23 11213 3376 6751 19630602 吉利斯
24 19937 6002 12003 19710304 塔克曼
25 21701 6533 13066 19781030 诺尔镍合金
26 23209 6987 13973 19790209 诺尔
27 44497 13395 26790 19790408 Nelson&Slowinski
28 86243 25962 51924 19821025 斯洛文斯基
29 110503 33265 66530 19880128 科尔奎特和威尔士
30 132049 39751 79502 19830919 斯洛文斯基
31 216091 65050 130100 19850901 斯洛文斯基
32 756839 227832 455663 19920401 斯洛温斯基和盖奇
33 859433 258716 517430 19940201 斯洛文斯基和盖奇
34 1257787 378632 757263 19960903 斯洛文斯基和盖奇
35 1398269 420921 841842 19961113 Armengaud、Woltman等人。
36 2976221 895932 1791864 19970824 Spence、Woltman等人。
37 3021377 909526 1819050 19980127 Clarkson、Woltman、Kurowski等人。
38 6972593 2098960 4197919 19990601 Hajratwala、Woltman、Kurowski等人。
39 13466917 4053946 8107892 20011114 Cameron、Woltman、Kurowski等人。
40 20996011 6320430 12640858 20031202 Shafer、GIMPS等人。
41 24036583 7235733 14471465 20040515 芬德利、GIMPS等人。
42 25964951 7816230 15632458 20050218 Nowak、GIMPS等人。
43 30402457 9152052 18304103 20051215 Cooper、Boone、GIMPS等人。
44 32582657 9808358 19616714 20060904 Cooper、Boone、GIMPS等人。
45 37156667 11185272 22370543 20080906 Elvenich、GIMPS等人。
46 42643801 12837064 25674127 20090412 Strindmo、GIMPS等人。
47 43112609 12978188 25956377 20080823 Smith，GIMPS等人。
48 57885161 17425170 34850340 20130125 Cooper、GIMPS等人。
?? 74207281 22338618 44677235 20160107 Cooper、GIMPS等人。
?? 77232917 23249425 46498850 20180103 佩斯，GIMPS等人。
?? 82589933 24862048 49724095 20181221 Laroche、GIMPS等人。

（来源：GIMPS公司,主页

对于列表末尾标有“？？”的素数，则不是知道它们之间的区域是否有梅森素数，因为合格的素数并没有全部经过测试。（例如，第29次梅森期是在1988年，也就是紧邻梅森素数之前和之后。）的所有值第页测试了少于4395400个（只有质数需要被测试，因为第页必须是的素数M（M）_第页= 2^第页-1将成为素数。）请参阅Mersenne Search Status页面¹⁵获取最新信息（并了解如何设置计算机加入搜索！）。

梅森素数的搜索被一些特殊的简化了通常不适用于搜索所有素数的测试。例如，如果第页是质数，那么N个= 2^第页-1，代表时以二进制表示，具有第页1和0。它不是3的倍数（除了为了这个案子第页=2）因为二进制数字的数量是奇数-所以如果将二进制数字分组为2组，并将模3（a）相加类似于“剔除9”的过程）您将得到剩余的1。A类31人组的类似过程表明N个不是倍数第7页，除本案外第页=3.

高度复合数字

至少包含古戈尔显著因子约为4.57936…×10⁹¹⁷.其数字（成组共30个）为：457936006084633875 260691932542213506579481395376080192442872707759996212114957 373537195900697943283211344130969977204683723647091975242566 556807073476262370119366712949612051508874565615465951982148 103948322515169952026557331614199239782652240565877185274882 891122589783986489974588207230026310073238799349251084594897 863556829085566422093207975001895285824382289647389848615424 710629561529529589935914349946023950287863307022313442880758 800532983282085207377266536998146723331964258315488766981883 904240306133944424567760471103539279962416731476757145320641 439420037963516042879919957607890943287019373144639492683640 803862704805497501551907216898677744138585826270309663329962 841518933729157858558919253022063551926057138672786596389094 200184031909805595086778342937081605771699885426749776777391 919555685119629369584896777148250878775274042686107865894781 763500774758450843791837394393056896301600021929961984000000.

我的个人大数兴趣

我几乎一生都对大量数据感兴趣。5岁时100是我知道的最大的数字，到了6岁1000000，7岁的时候我问妈妈想要什么1000和100万，她告诉我关于（较少的）10亿和万亿(10¹²); 在8岁的时候，我了解到灯盏花(10⁶³)在一本书中学校图书馆。我喜欢灯盏花我把它写在沙子上在校园里：

1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

引起了其他孩子的大量骚扰！

同年，我在排队等待午餐时感到无聊，决定每当我排队时都要数一数。我的计数从一天开始下一个，总是从我停下的地方开始几个月后大约35000人，那时我失去了位置很多次，我都觉得这不值得。

我做的个人Chuquet扩展10岁时，发明名字，比如重婚=10⁹³,雪莲花=10¹²³,等（继续使用字母表中的不同字母）以允许十个名称的连续集合，如无鞭毛=10⁹⁶,双倍放大=10⁹⁹等等。这个系统有很多问题-例如，假设标准美式英语发音，至少两个雪莲花,吉吉蒂利翁和西吉蒂利翁听起来一定是一样的。很快我意识到我可以使用丁字裤获得更大的射程(布林金币,布林蒂利翁, ...) 我的系统对现有标准-my重婚与标准相同三万亿一两个月内，我转向了科学记谱法，永不回头。（作为兰德尔·门罗说, "生活也是如此坐下来数零，然后查拉丁语大数字的前缀".)

我坚持下去：到10岁时，我已经（重新）发明了更高的并元算子到13岁时，我就知道斯坦豪斯-莫瑟记数法。那差不多也一样高因为当时有人走了，所以我把注意力转向了电脑并开始编写程序来操作大型2级数字。我在这方面的最新成就面积为超计算器，最初是作为一个计算器程序Palm Pilot，现在有Perl和JavaScript版本。从字面上看不能溢出，即使运行在无休止地替换具有自身阶乘的数字。

. . .转到第2页. . .最后一页（第8页）

此页面是用“令人尴尬的可读性”标记语言编写的右侧TF，部分章节上次更新时间为2023年11月3日。

第30节

2	（主要）
三	（主要）
7	（主要）
43	（主要）
1807	= 13 × 139
3263443	（主要）
10650056950807	= 547 × 607 × 1033 × 31051
113423713055421844361000443	= 29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
	等。

n个	第页	P（P）_第页
1	2	6
2	三	28
三	5	496
4	7	8128
5	13	33550336
6	17	8589869056
7	19	137438691328
8	31	2305843008139952128
9	61	2658455991569831744654692615953842176
10	89	191561942608236107294793378084303638130997321548169216
11	107	13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
12	127	14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
13	521	2⁵²⁰(2⁵²¹-1) ≈ 2.356272×10³¹³（有点长，无法显示所有数字）
14	607	2⁶⁰⁶*(2⁶⁰⁷-1） ≈1.410537×10³⁶⁵

第页	2^第页-1	因素
2	三	（主要）
三	7	（主要）
5	31	（主要）
7	127	（主要）
11	2047	= 23 × 89
13	8191	（主要）
17	131071	（主要）
19	524287	（主要）
23	8388607	= 47 × 178481
29	536870911	= 233 × 1103 × 2089
31	2147483647	（主要）
37	137438953471	= 223 × 616318177
41	2199023255551	= 13367 × 164511353
43	8796093022207	= 431 × 9719 × 2099863
47	140737488355327	= 2351 × 4513 × 13264529
53	9007199254740991	= 6361 × 69431 × 20394401
59	576460752303423487	=179951×3203431780337
61	2305843009213693951	（主要）
67	147573952589676412927	= 193707721 × 761838257287
71	2361183241434822606847	= 228479 × 48544121 × 212885833
73	9444732965739290427391	= 439 × 2298041 × 9361973132609
79	604462909807314587353087	= 2687 × 202029703 × 1113491139767
83	9671406556917033397649407	= 167 × 57912614113275649087721
89	618970019642690137449562111	（主要）
97	158456325028528675187087900671	= 11447 × 13842607235828485645766393

n个	第页	数字单位：M_第页	数字单位：P_第页	年建立	发现者
1	2	1	1	约公元前500年	未知的
2	三	1	2	约公元前275年	欧几里得
三	5	2	三	约公元前275年	欧几里得
4	7	三	4	约公元前275年	欧几里得
5	13	4	8	1456	未知的
6	17	6	10	1588	卡塔尔迪
7	19	6	12	1588	卡塔尔迪
8	31	10	19	1772	欧拉
9	61	19	37	1883	Pervouchine（或“Pervushin”）
10	89	27	54	1911	权力
11	107	33	65	1914	Powers（也由Fauquembergue声称）
12	127	39	77	1876	卢卡斯
13	521	157	314	19520130	罗宾逊
14	607	183	366	19520130	罗宾逊
15	1279	386	770	19520626	罗宾逊
16	2203	664	1327	19521007	罗宾逊
17	2281	687	1373	19521009	罗宾逊
18	3217	969	1937	19570908	里塞尔
19	4253	1281	2561	19611103	赫尔维茨和塞尔弗里奇
20	4423	1332	2663	19611103	赫尔维茨和塞尔弗里奇
21	9689	2917	5834	19630511	吉利斯
22	9941	2993	5985	19630516	吉利斯
23	11213	3376	6751	19630602	吉利斯
24	19937	6002	12003	19710304	塔克曼
25	21701	6533	13066	19781030	诺尔镍合金
26	23209	6987	13973	19790209	诺尔
27	44497	13395	26790	19790408	Nelson&Slowinski
28	86243	25962	51924	19821025	斯洛文斯基
29	110503	33265	66530	19880128	科尔奎特和威尔士
30	132049	39751	79502	19830919	斯洛文斯基
31	216091	65050	130100	19850901	斯洛文斯基
32	756839	227832	455663	19920401	斯洛温斯基和盖奇
33	859433	258716	517430	19940201	斯洛文斯基和盖奇
34	1257787	378632	757263	19960903	斯洛文斯基和盖奇
35	1398269	420921	841842	19961113	Armengaud、Woltman等人。
36	2976221	895932	1791864	19970824	Spence、Woltman等人。
37	3021377	909526	1819050	19980127	Clarkson、Woltman、Kurowski等人。
38	6972593	2098960	4197919	19990601	Hajratwala、Woltman、Kurowski等人。
39	13466917	4053946	8107892	20011114	Cameron、Woltman、Kurowski等人。
40	20996011	6320430	12640858	20031202	Shafer、GIMPS等人。
41	24036583	7235733	14471465	20040515	芬德利、GIMPS等人。
42	25964951	7816230	15632458	20050218	Nowak、GIMPS等人。
43	30402457	9152052	18304103	20051215	Cooper、Boone、GIMPS等人。
44	32582657	9808358	19616714	20060904	Cooper、Boone、GIMPS等人。
45	37156667	11185272	22370543	20080906	Elvenich、GIMPS等人。
46	42643801	12837064	25674127	20090412	Strindmo、GIMPS等人。
47	43112609	12978188	25956377	20080823	Smith，GIMPS等人。
48	57885161	17425170	34850340	20130125	Cooper、GIMPS等人。
??	74207281	22338618	44677235	20160107	Cooper、GIMPS等人。
??	77232917	23249425	46498850	20180103	佩斯，GIMPS等人。
??	82589933	24862048	49724095	20181221	Laroche、GIMPS等人。