使用斐波那契数来表示整数 首先，我们展示了如何使用斐波那契数来表示每个整数，以及如何使用它 在英里和公里之间轻松转换 系统简单 与兔子序列的联系。 所有这些都是从头开始的，只使用学校数学。 本页上的计算器需要JavaScript，但您似乎已经关闭了JavaScript （已禁用）。 如果要使用 计算器，然后重新加载此页面。
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我们写数字的方式是基于十位数的系统 十进制 。每个列的值是其右侧列的十倍，因此 列表示十的幂。 这是三千六百（不是十）和七 显示在表格中，各个数字的值显示为列标题。
列值 ... 1000 100 10 1 列乘数 三 6 0 7 总和 3000 600 7 = 3607
由于每列是右边的十倍，我们需要十个符号 表示每列中的十个值：0、1、2、3、4、5、6、7、8和9，称为 数字 .
每个正数在十进制中都有唯一的表示。 为什么使用10？ 原因几乎可以肯定，早期的写作系统是基于 用手指数数。 [我们的承诺 数字 来自拉丁语 手指。 ] 计数系统是在 木棍（计数棒），如果成批分组，则更容易阅读 5或10，方便使用。
如果我们使用另一种电源或 基础 而不是十个？ 二元的 使用2的幂，我们得到 二元的 系统，几乎用于所有计算机。 这里的列标记为2的幂，只有2个 b条 二进制挖掘 它的 、0和1，已调用 位 .
列值 ... 16 8 4 2 1 列乘数 1 0 1 1 总和 8 2 1 =十一
为了区分11（十一）和另一个基地的11，我们将 把 基作为 下标 （有时在括号中）在表示之后，以避免混淆。 所以二进制中的1011等于11 以10为基数写为： 1011 2 = 11 10 请注意，基数（此处为2和10）总是 普通十进制数。
在下一节中，我们将看到二进制系统用于音乐记谱。 五线谱 如果一个胯部被视为持续一个节拍， 那么半短音是4拍，最小2拍， 颤抖 1 / 2 ，半个四分之一 1 / 4 和 半隔离是 1 / 8 . 它们以音乐符号书写，如下所示：
注释 符号 持续时间 （节拍） Semi-breve公司 4 最小值 2 克罗切特 1 Quaver公司 1/2 Semiquaver公司 1/4 半四分之一 1/8
A类 点 放在要添加的注释之后 一半 它的价值。 因此，点叉是叉加上四分之一，持续时间为1.5个时间单位； 分叉后面的两个点表示1+1/2+1/4=1.75个单位的持续时间。
数字秤和计算机简介 ，Longmans，1965年， 第65页，他说他认为威尔第的圆点记录是4 安魂曲 在中 雷克斯·特雷门达。 当一个长音符后面跟着一个快音符，而下一个音符是“按节拍”时，这很有用。
二进制分数使用列标题编写，如下所示：
... 8 4 2 1 · 1/2 1/4 1/8 ... 因此1/4=0.01 2 和3/8=0·011 2 因为它是1/4+1/8。 在二进制语言中，叉集后面的一个点在分数列中加一：
叉=1 叉点=1.1 2 胯部点=1.1 2 叉点-点-点=1·111 2 等等。 更多基础 基8被称为 八进制 并且可能由使用 智能章鱼（或者应该是 章鱼 )! 它使用“数字”0、1、2、3、4、5、6和7。 基数3为 三元的 并且只使用0、1和2。 这里是 一百 用2到9的所有基数表示： 1100100 2 = 10201 三 = 1210 4 = 400 5 = 244 6 = 202 7 = 144 8 = 121 9 = 100 10
基2被称为 二元的 , 基3被称为 三元的 , 基4被称为 第四纪的 , 基5被称为 五元的 , 基6被称为 老年人 , 基7被称为 七周年纪念日 , 基8被称为 八进制的 或 八进制 , 基9被称为 不纳税的 , 以10为基数 十进制 或 十进制的 , 以下继续。。。 基础1？ 以1为底的数字的列是1的幂，所以它们都是1！ 但我们需要 只有一种列条目（因为B基中有B符号），所以我们使用“1”。 你可能会这么想 这个基础不是很好，但实际上它是最早的书面数字系统。 在底座1中， 2是11，3是111，4是1111，等等，所以我们做标记（1）来计算这个数字。 这用于计数系统，其工作原理如下： 假设我借给你5只羊在你的田里吃草， 我会在一根棍子上为每只羊做一个标记。 然后 棍子会纵向折断一半（穿过标记），所以我们每个人都有5个标记的副本。 那两根棍子就可以 比较一下，看他们是否算了（同意），以防我在棍子上加上记号或你擦去记号。 我们的英语单词 分数 因为一方在比赛中得分的数量也意味着“削球”。 从十二世纪到1826年，英国财政部广泛使用该系统（见Oystein Ore的书 下面的图片）。 当收集 1836年，旧的木制计票器被烧毁，导致年旧的木制议会大楼起火 伦敦并将其烧毁。 当前 国会大厦 （威斯敏斯特宫）是为了取代它们而建造的。 大于10的基数怎么办？ 我们不能使用任何大于零的整数是没有逻辑上的原因的 作为基地。 唯一的问题是在 单一的 列？ 我们需要为基数B中从0到B-1的每个值使用一个符号。 通常使用大写字母A、B、C等，使我们达到 以36为底（使用10位数字和26个字母）-之后，由您决定！
10 10 =A，11 10 =B，12 10 ＝C等等。
这里是 一百 同样，这个时间用大于10的基数表示： 100 10 =91 11 = 84 12 = 79 13 = 72 14 =6A 15
以11为基数 十一进制 , 基12被称为 十二指肠或双十进制 , 以16为基数通常称为 十六进制 -晚20点 第个 世纪 为电子计算机应用发明的术语。 乍得湖 犹他大学有一个很好的页面，介绍他所说的 Snake算法 用于在纸上从一个底座转换到另一个底座。 这是他在印第安纳大学上的一门课程的网页。
从一个基准转换为另一个基准 以下是对 将数字表示为斐波那契数之和 . 首先，让我们用任意一个斐波那契数来计算我们得到的结果。 例如：
1是一个单独的总和！ 所以只有一个斐波那契数和，和是1！ 1+1=2，但我们不允许将其作为斐波那契和，因为我们不止一次使用了1！ 然而，2是一个由斐波那契数构成的和，但只有一个数。 1+2=3，3也是一个斐波那契数，所以有 两笔款项 用于3。 1+3=4是 唯一的办法 只使用斐波那契数来计算总共4个。 2+3=5，5又是一个斐波那契数，所以有 两笔款项 用于5 查找 二 总计6。 求7的单和。 你有多少种方法可以达到8？ 你还记得上面最后一个例子中8也是一个斐波那契数吗？ 如果是这样， 你会发现 三种方式 将8作为斐波那契和。
1 是斐波那契和中只有一个数字的最小数字 三 是具有两个斐波那契和的第一个数字； 8 是有三个这样的和的最小数：1+2+5=3+5=8 ？ 4个斐波那契和的最小值是多少？ （提示：小于20） ？ 有5个斐波那契和的最小数字是什么？ （提示：小于30） ... 你能继续这个系列吗 具有n个斐波那契和的最小数 ？
您可能已经注意到，我们假设。。。。
每个数字 是一组斐波那契数的总和 注：由 设置 这里我们指的是数学术语 收藏 独特的 项目 ，没有 正在重复的项目。 集合{1,3,5}可以作为斐波那契数的集合 加起来是9 因为集合中的每个数字只出现一次 （所有项目都是唯一的）。 但{2,2,5}被排除为 设置 总计9 尽管所有的数字都是斐波那契数字 因为里面有一个重复的数字。 这个结果确实是真的，但我们并没有在这里证明。 它形成了背后的想法 用斐波那契数来表示数字 我们会的 现在在本页的其余部分以不同的形式进行调查。 我们的十进制系统依赖于以下事实 每个数字 是我们可以使用的十种力量的总和 每十次方到十次方。
A013583号 是斯隆的系列 最小的数字 可以写成 n个 唯一斐波那契数 ：用它来检查你的答案。
你可能会认为斐波那契和中的数字越多，第一个数字就越大 我们发现有这么一个总数，总的来说，你是对的。 但请注意，这个系列并不总是在增加！ 因此，您将能够找到数字a和b，其中 a小于b，但a会 更多 斐波那契和数比这个列表中较大的数字b还要多！
斐波那契和计算器 你做数学题。。。
斐波那契数本身的斐波那奇和的数量是多少？ 我们已经看到了1和2的斐波那契和的数量是1； 对于3，对于5为2； 8等于3。 13岁怎么样？ 和21？ 这里的模式是什么？ 你能解释一下吗？ 这些数字的斐波那契和的数量有什么特别之处： 1,2,4,7,12,20,... ? 接下来两个具有相同属性的数字是什么？ 为这个系列中的数字建议一个简单的公式。 再说一遍，你能不能 证明或解释 你的结果？ 找出只有2个斐波那契和的数字序列。 [提示：它由两个交错序列组成。] 关于这个系列，现在已经知道了很多：n作为唯一斐波那契数列之和的表示数 数字( 斯隆的A000119 )称为R（n）。 这是从1到143的n的R（n）图。 起初它看起来相当随机，但仔细看，你会发现 找到几个分形图案的例子，其中图案的一部分重复但被包围 之前和之后按另一种模式。 使用右侧的按钮查看范围内n的图形 1到600和1到1000。 如果你对上述问题的答案有很好的解释或证明，或者你找到了一些 其他模式， 请给我发电子邮件 使用本页底部的地址。
回到十进制数字系统， 如果我们用 斐波那契数 相反 10的幂？ 我们遵循较大列大小位于左侧的常规惯例： ... 13 8 5 3 2 1
我们将通过放置 小谎 之后：例如： 这与 一万零一十 （10010）以十进制表示。 这一次还不清楚我们应该在列中使用什么数字。 例如，有 在这个系统中以及在上面的例子中表示值10的多种方法：
10 =2 5 = 2000 小谎
= 5 + 3 + 2 = 1110 小谎 =3 3+1=301 小谎 = 10 1=A 小谎
通常，如果数字表示系统具有 唯一表示法 每个整数的 . 如果我们使用 只有数字0和1 然后我们得到上一节的斐波那契和。 但我们看到了，尽管 每个数字都有这样的总和 （即它是 可代表的 ), 一些数字有 不止一笔款项 因此，它们的代表性并不是唯一的。
我们可以找到一种方法将每个数字写成斐波那契数的和，如果我们也有 规则是 不能在同一个和中使用两个连续的斐波那契数 . 就以斐波那契数列为标题的基本体系而言，这意味着 那个 没有两个可以紧挨着发生 . 最后一个条件是因为任意两个连续斐波那契数的和是 只有下面的斐波那契数，所以我们总是可以替换。。 011..通过。。 100.. .
为了说服自己，每个数字都可以在这个系统中表示，请写下 从1到40的所有数字的斐波那契表示法。 它开始了 如下：
十进制的 斐波那契 0 0 1 1 2 10 三 100 4 101 5 1000 6 1001 7 1010 8 10000 9 10001
十进制的 斐波那契 10 10010 11 10100 12 10101 13 100000 14 100001 15 100010 16 100100 17 100101 18 101000 19 101001
十进制的 斐波那契 20 101010 21 1000000 22 1000001 23 1000010 24 1000100 25 1000101 26 1001000 27 1001001 28 1001010 29 1010000
关于“Zeckendorf Representation”名称的历史注释 该系统也称为 泽肯多夫 后面的数字表示 爱德华·泽肯多夫 1972年他用法语写了这篇文章。 他证明了 数字的每个表示 n个 作为不同斐波那契数的总和， 但是没有使用两个连续的斐波那契数（并且只有一列 标题为“1”），是唯一的。 他提到他在1939年证明了这一点，但直到1972年才发表。 莱克尔克尔 1952年，他用荷兰语（公开）写下了这一陈述，表明 在这个系统中，只有一种方法可以写一个数字，但由于通常只有在结果发布时才被识别， 该系统现在通常称为Zeckendorf’s。
斐波那契基数计算器：Zeckendorf表示 你做数学题。。。
Zeckendorf系统使用带有 最小斐波那契数 在它里面。用 最 斐波那契数 和为n时，每个斐波那契数最多使用一次？ 这称为 最大斐波那契比特表示 “比特”是指 表示中唯一的数字是0和1。 因此，Zeckendorf的 最小Fibonacci位表示 . 制作一个表，列出从1到25的n的最大位表示。 4的Zeckendorf表示 101 小谎 =3+1。 它也是 只有 一组求和为4的斐波那契数列。 其他数字只有一组 斐波那契数和它们的和？ 调查 Zeckendorf表示中的位数 .什么模式 你能找到吗？ 你能用数学公式表达你的模式吗？ 最大集合的大小是什么（最大比特表示中的个数）？ 这个函数有公式吗（从n到最大集合的大小）？
斐波那契数表示的应用 英里和公里之间的换算 每5英里大约有8公里。 因为这两个都是斐波那契数 那么1英里内大约有Phi（1.618.）公里和Phi（0.618.）英里 在1公里内。
实际数字更像是1英里1.6093公里。 这来自 精确的 1英寸的定义正好等于2.54厘米， 10万厘米等于1公里。 在帝国 系统，36英寸是1码，1760码是1英里。
将每个斐波那契数替换为 前面一个 有减少它的效果 乘以大约0.618（φ）倍（斐波那契数与前面的斐波那奇数之比 接近φ）。
所以到 将13公里换算为英里 ，将13替换为之前的斐波那契数8，以及 13公里约为8英里。 同样，5公里约为3英里 2公里约为1英里。
现在假设我们要将20公里转换为英里，其中20不是斐波那契数。 我们可以将20表示为 斐波那契数之和 并分别转换每个数字 然后把它们加起来。
因此，20=13+5+2。 使用 代表 近似等于 用8替换13，用3替换5，用1替换2
20公里 = 13+5+2公里 8+3+1英里 = 12英里。
收件人 将英里换算成公里 , 我们把英里数写成斐波那契的总和 数字，然后用下一个数字替换 更大的 斐波那契数：
20英里 = 13+5+2英里 21+8+3公里 = 32公里。
没有必要使用 这个 数字的斐波那契表示法，使用 斐波那契数最少，但您可以使用任何数字组合，将 您正在转换的数字。 例如，40公里等于2 我们刚刚看到了 20公里等于12英里。 所以40公里等于2公里 12=24英里 大约。
[感谢Paul V S Townsend提醒我这个申请。]
你做数学题。。。
几年前，美国的限速为每小时55英里（mph）。 每小时公里数（km/h）是多少？
英国高速公路的限速为每小时70英里。 这是多少公里每小时？ 中的速度限制 英国的建成区是每小时30英里。每小时30公里是多少？ 如果出现以下情况，您认为“30”标志将被替换为什么 路标采用公制，即将换算成最接近的5 km/h？
目前的列车速度记录为552 km/h，设定于1999年4月14日 在日本。 使用斐波那契方法计算的等效速度（单位：mph）是多少？ 使用换算系数的等效速度（单位：mph）是多少 每英里1.6093公里？
A类 想想数字 魔术技巧 这是一个涉及纸牌的魔术，魔术师要求某人想出一个数字，魔术师会告诉他这个数字是什么。 魔术师把一组卡片递给那个人，让他们选择那个上面有他的数字的卡片。 因为每张卡片上都有很多数字 虽然不容易看出所有纸牌都有哪些共同点，但魔术师会立即宣布想到的数字。 为了说明发生了什么，这里有一组4张卡片，其中要考虑的数字在1到12之间：
斐波那契基数 n个 8 5 三 2 1 1 . . . . 1 2 . . . 1 0 三 . . 1 0 0 4 . . 1 0 1 5 . 1 0 0 0 6 . 1 0 0 1 7 . 1 0 1 0 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 0 1 10 1 0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 12 1 0 1 0 1
A类 1 4 6 9 12 B类 2 7 10 C类 3 4 11 12 D类 5 6 7 E类 8 9 10 11 12
作为魔术师，诀窍的秘诀是将每一张交给你的卡片上的第一个（最小的）数字相加 这就是我们想到的数字。 所以假设我想到了9。 我会把以1开头的卡片A和以8开头的卡片E还给你。 你可以把它们加起来，然后宣布9是我想到的数字。 这个技巧的工作原理是在第一张卡片上列出所有这些数字，并在其斐波那契基表示的单位列中加上1。 第二张卡片包含第二列中带有1的所有数字； 第三张牌-所有第三列中有1的牌； 等等。
如果每张卡片上都有许多数字，那么这个技巧看起来会更令人印象深刻，因为在这个小例子中它相当简单 在上面找出递给你的卡片上的通用数字。 因此，这里有一个计算器，可以为您要求某人从中选择的任何范围的数字生成一组卡片：
想一个数字 卡片生成器
埃及人有一种简单的方法将两个整数相乘，只需要加倍 数字和加法-无需学习乘法表，也无需计算器 （除了做加法）。 例如，19 x 65。 我们将这两个数字写在两列的前面，选择一列 保持加倍，另一个保持减半 忽略余数 , 直到半柱达到1: 减半双奇数？ 19 65 + 9 130 + 4 260 2 520 1 1040 + 任何一行 减半 列条目是 古怪的 标记为（此处为+），我们 从加倍列中添加相应的值 . 在我们的示例中 65+130+1040=1235是19和65的乘积。 该方法有效，因为如果我们在 二进制系统 我们有 16+2+1=10011（2），因此19x65=（16+2+1）x65为16*65+2*65+1*65。 即， 上面加倍列中的第1、第2和第5个值。 你做数学题。。。
检查如果将65列减半，19列加倍，方法仍然有效 作品。 在32x65上尝试埃及方法。 在31x65上试用。
一个类似的系统使用斐波那契表示来替换 埃及加法。 让我们举一个同样的例子：19x65。 这一次，我们只取一个数字，比如65，作为右栏的标题 左列以1开头。 第二排左边有2个，我们加倍65得到130 在右边。 现在，每一个连续的行是它上面前两个条目的总和，取 每列单独列出。 因此，从左边的1和2开始，我们将得到3、5、8，。。。 也就是说 斐波那契数列在左手边。 找到斐波那契数时停下来 它比产品中的其他数字大-这里是19：
1 65 + 2 130 3 195 5 325 + 8 520 13 845 + 21 这一次，我们通过在左栏中找到总计19个条目来标记行。 有很多方法可以做这个选择，但任何方法都可以。这里我们选择了13+5+1。 如果我们将这些行上的右侧条目相加，我们得到：65+325+845=1235，这也是 19x65。 你做数学题。。。
反过来试试，从19开始，当斐波那契数到 超过65。 尝试与上述相同的乘法：32x65和31x65。 请查阅首次提出此想法的文章： 斐波那契、卢卡斯和埃及人 作者：S La Barbera 斐波纳契季刊 1971年第9卷，第177-187页。
斐波那契表示中的模式 在基数10中，如果我们列出1中的所有整数，那么就有模式 在列中： 十进制模式 第1列（单位）循环显示所有数字 重复0、1、2、3、4、5、6、7、8和9； 第2列（十位）循环显示所有数字，但每个数字都出现 十次； 第3列（百）是相同的，但每个数字出现100次； 等等。
斐波那契表示模式
斐波那契基数系统中的数字列是否有模式？
是的！ 它基于 兔子序列 它现在包括初始的0。 第一列（右栏）中的图案 源自兔子序列，其中 兔子序列中的每个“1”都被替换为“10” :- 兔子序列： 010110101101101011010... 变为： 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ... 0 10 0 10 10 0 10 0 10 10 0 10 10 0 10 0 10 10 0 10 0 ... 哪个是 第1列 上面，往下读。 [注意：这与我们在 兔子序列（没有初始零）！！ 然而，其他列中有一个模式 通过上述描述可以更好地看到。]
关于 第2列 斐波那契数列 陈述？
其推导类似： 兔子序列中的每个“1”都替换为“100” 每个“0”替换为“00”。 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 ... 兔子序列 00 100 00 100 100 00 100 00 100 100 00 100 100 00 ... 第2列 其中斐波那契表示表中的第2列向下读取。 对于第3列，用“000”替换“0”，用“11000”替换“1” 对于第4列，用“00000”替换“0”，用“11100000”代替“1” 对于第5列，用“00000000”替换“0”，用“11111 00000000”代替“1”
所有列都遵循相同的模式：
第i列是兔子序列 “0”替换为F（i）0s和 将“1”替换为F（i-1）1，后跟F（i）0。
十进制的 斐波那契 0 0 1 1 2 10 三 100 4 101 5 1000 6 1001 7 1010 8 10000 9 10001 10 10010 11 10100 12 10101 13 100000 14 100001 15 100010 16 100100 17 100101 18 101000 19 101001 20 101010
斐波那契表示中的1s数 与给定n相加的斐波那契数最少是多少？ 这是斐波那契表示法中的1s数，因为 上面给出的保证了斐波那契数最少，也称为 这个 最小斐波那契表示 . 这里我们重复了斐波纳契表示表 但现在包括每个表示中1的数量：
n个 n个 小谎 1个 1 1 1 2 10 1 三 100 1 4 101 2 5 1000 1 6 1001 2 7 1010 2 8 10000 1 9 10001 2 10 10010 2 11 10100 2 12 10101 三
从表中，我们可以看到用斐波那契表示的数字的数量 给定长度的是斐波那契数： 有1个长度为1， 有一个长度为2， 有2个长度为3， 有3个长度为4， 有5个长度为5，。。。 下面是（最小）斐波那契表示法中1s数的更紧凑列表 前几个整数中：
1 2 三 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 ... 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 三 1 2 2 2 三 2 三 三 1 2 2 2 三 2 三 三 2 三 三 三 4 ...
如果我们将这个列表拆分为对应于斐波那契不同长度的子列表 我们有以下陈述：
1=1 小谎 1, 2=10 小谎 1, 3=100 小谎 ,4=101 小谎 1,2 5=1000 小谎 , 6=1001 小谎 , 7=1010 小谎 1,2,2 8、9、10、11和12 1,2,2,2,3 13至20 1,2,2,2,3,2,3,3 21至33 1,2,2,2,3,2,3,3,2,3,3,3,4 34至54 1,2,2,2,3,2,3,3,2,3,3,3,4,2,3,3,3,4,3,4,4 ... ...
很容易看出这个模式的来源：每次我们在开头加1 然后复制前面的模式。 例如， 8、9、10、11和12是8+0、8+1、8+2、8+3和8+4。 你能在这些序列中看到任何模式吗？ 似乎每个序列都是从以下序列开始的。 你能发现每一个的剩余部分是如何形成的吗？也就是说， 前一序列之后的部分（副本）？ 这不是以前的顺序，但是， 一个添加到之前序列的所有项目 :
从1和1开始。 下一个序列是前一个序列，然后将一个序列添加到 前一个序列之前的序列。 由于上面列表中的每个序列都从以下序列开始，因此它定义了一个 独特的 无限序列 . A类 回文 是一个颠倒的单词或列表，例如。 雷达 或 1001 . 以下是斐波那契表示法中回文数字列表的开头：
N个 N的光纤代表 1 1 4 101 6 1001 9 10001 12 10101 14 100001 22 1000001 27 1001001 33 1010101 35 10000001 51 10100101 56 100000001 64 100010001 74 100101001 80 101000101 88 101010101 90 1000000001
假设，而不是仅查找 设置 和为N的斐波那契数列， 也就是说，每个斐波那契数在表示中最多包含一次，我们允许 倍数 任何斐波那契数。 然后我们将有一个 多组 或 袋 和为N的斐波那契数列，也称为 隔板 第个，共个。 这与使用上述斐波那契基数系统相同，但去掉了以下限制： 条目 列中必须只有0和1。 我们可以调用二进制斐波那契表示法之上的系统来区分它 并且，如果表示中没有两个连续的1，那么它就是Zeckendorf表示。 我们现在可以使用0和 任何 中的正整数 任何 列。 下表对值1到6进行了说明。 请注意，每个 表示只是n上的一个分区，只使用斐波那契数。 A类 隔板 是给定总数的整数之和，其中分区中组件的顺序无关紧要： 例如 1+1+2与1+2+1是4的相同分区
N个 和为N的Fib数 允许重复 计数 1 1 1 2 2 , 1+1 2 三 三 , 2+1 ，1+1+1 三 4 3+1 , 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 4 5 5 , 3+2 , 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1 6 6 5+1 , 3+3, 3+2+1 , 3+1+1+1, 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1 8
请注意此表的以下内容：
因为我们可以只使用一次斐波那契数（不重复） 在这个新系统中，我们上面看到的所有Zeckendorf表示也包括在内 在表中。 每个数字都有一个Zeckendorf表示 第一 . 还有更多 套 和为N的斐波那契数列（即不使用斐波那奇数列 不止一次）。 在Zeckendorf的陈述中没有 使用了两个连续的斐波那契数列。 我们可以有 任何 我们袋子里的斐波那契数 所以这次我们 做 允许在任何集合（包）中使用相邻的斐波那契数。 我们只对 收集 和为n的斐波那契数列， 我们允许重复使用任何斐波那契数。 例如5是2+2+1 这是一样的 收集 或 袋 作为1+2+2和2+1+2，因为每个都包括两个2和一个1。
斐波那契分区计算器
斐波那契分区表示 使用求和为n的斐波那契数的袋子和分区，以及存在至少一个袋子 每个数字n，意味着我们现在有了另一个表示数字的系统： 这个 斐波那契分区表示 . 正在收集 频率 特定袋子或隔板中的每个斐波那契数 给出了一个 斐波那契分区表示 那袋子或那笔钱。 这个系统中的列也是从1开始的斐波那契数列 （1只发生一次）。 列中的条目是斐波那契的频率 袋子里的数字和n。 这13是斐波那契袋5,2,2,2,1,1的总和，因此写为 从上表中，我们可以看到13个共有41个斐波那契分区表示。 下面是所有使用斐波那契数的6的分区以及相应的斐波那奇分区表示法6：
Fibonacci 5的分区表示 分区 光纤分区代表 5 三 2 1 1+1+1+1+1 5 2+1+1+1 1 三 2+2+1 2 1 3+1+1 1 0 2 3+2 1 1 0 5 1 0 0 0
N有多少个斐波那契分区表示法？ 任何数字n都是n1和F（2）=1的和，所以这是一袋Fibonacci的和，不 无论n是什么。 和为n的所有斐波那契数列也包含在 袋子，因为一套是一种特殊的袋子，里面没有重复的物品。 以下是总和为1到40的斐波那契分区表示数：
N个 1 2 三 4 5 6 7 8 9 10 第个，共个 代表 1 2 三 4 6 8 10 14 17 22 N个 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第个，共个 代表 27 33 41 49 59 71 83 99 115 134 N个 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 第个，共个 代表 157 180 208 239 272 312 353 400 453 509 N个 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 第个，共个 代表 573 642 717 803 892 993 1102 1219 1350 1489
系列1、2、3、4、6、8、10、14、17，。。。 是 A003107年 在里面 尼尔·斯隆的 整数序列在线百科全书 . 高级提示：本系列的生成函数为
∞ π 1 =1+x+2x 2 +3倍 三 +4倍 4 +6倍 5 + ... 1–x 纤维（i）
i=2
仅使用负指数斐波那契数列 上述斐波那契表示法的唯一限制是斐波那奇二进制和Zeckendorf以及 斐波那契隔断系统——它们 只表示正数。 但斐波那契数列也“向后”延伸，包括负数：
我 ... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 三 4 5 ... 纤维（i） ... 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 三 5 ...
令人惊讶的是，对于任何数字 n个 ，我们可以找到一组斐波那契数列 均为负斐波那契指数 ，其总和为 n个 这适用于 正面和负面 n个 . 我们不需要“0”列，因此我们使用的索引将从-1向下 斐波那契数列1、-1、2、-3、5、-8。 我们可以方便地写出指数向右递增的数字（向左递减） 与其他更传统的基数系统一样。 因为我们正在使用 设置 在负指数斐波那契数列中，列条目（“数字”）只有0和1， 所以我们又有了一个二进制系统。
例如5=Fib（-5），因此我们可以将其表示为
我 -6 -5 -4 -3 -2 -1 纤维（i） -8 5 -3 2 -1 1 5= 0 1 0 0 0 0
还有许多其他同样有效的全负指数斐波那契表示法。 例如： 请注意，自 Fib（n）=Fib（n-1）+Fib（n-2），则此表示中的“001”始终可以替换为“110” 和vice-versa。 但由于所有表示都以“1”开头，这与“001”相同，因此我们总是可以将最左边的1展开为 “110”，然后再次展开最左侧的一个。 这会导致任何数字都有很多表示形式。 一种停止这种情况并为每n个正和负给出唯一表示的方便方法， 是到 禁止在任何负指数斐波那契表示中使用“11” . 当邦德第一次描述这个系统时（见下面的参考资料），他指出我们可以找到这样的 代表 无连续1s ，所以它是Zeckendorf表示的变体。 现在我们有以下示例 负指数斐波那契表示 然后我们会写（-Fib） 一种表示法，用于将其与本页上的其他内容区分开来（当然也可以与真正的二进制文件区分开来）。
我 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 纤维（i） 13 -8 5 -3 2 -1 1 -1 . . . . 1 0 -2 . . 1 0 0 1 -3 . . 1 0 0 0 -4 . . 1 0 1 0 -5 1 0 0 1 0 1 -6 1 0 0 1 0 0 -7 1 0 0 0 0 1 -8 1 0 0 0 0 0 -9 1 0 0 0 1 0 -10 1 0 1 0 0 1 -11 1 0 1 0 0 0 -12 1 0 1 0 1 0
我 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 纤维（i） 13 -8 5 -3 2 -1 1 1 . . . . . . 1 2 . . . . 1 0 0 三 . . . . 1 0 1 4 . . 1 0 0 1 0 5 . . 1 0 0 0 0 6 . . 1 0 0 0 1 7 . . 1 0 1 0 0 8 . . 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 0 1 0 10 1 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 1 0 0 1 12 1 0 0 0 0 1 0
负指数斐波那契基变换器 斐波那契数列 2 基础系统 我们使用 正方形 将斐波那契数列作为基本斐波的列 2 整数的表示。
索引 我 : 1 2 三 4 5 6 7 8 光纤( 我 ): 1 1 2 三 5 8 13 21 光纤( 我 ) 2 : 1 1 4 9 25 64 169 441
换句话说，是否存在 收集 求和的斐波那契数的平方 到 n个 对于每个整数 n个 ？ 斐波那契数的平方列表中已经有两个1，我们可以将这两个1用于一个总数为2的集合， 但是有 不 这些平方和为3的集合。 然而，如果我们最多使用每个平方斐波那契数 两次 和 使用斐波那契数列中的两个1， 然后我们可以找到表示的方法 每一个 整数 n个 . 与往常一样，我们按从右到左的递增顺序列出列：
我 : ... 三 2 1 光纤( 我 ): ... 2 1 1 光纤( 我 ) 2 : ... 4 1 1 1 1 1 0
2 2 1 1
2 0
三 2 1 1 2
我 : ... 6 5 4 三 2 1 光纤( 我 ): ... 8 5 三 2 1 1 光纤( 我 ) 2 : ... 64 25 9 4 1 1 7 1 2 1 1 1 2
12 1 0 2 1 1 0 1 2
2 2 2
127 1 2 1 1 0 0 1 2 1 0 2 2
平衡斐波那契 2 代表 不用数字0、1和2，我们可以使用-1、0和1，称为 平衡表示法 . 所有数字都有一个平衡的表示 因为它们都有一个0,1,2表示，我们可以用它们来找到给定数字n的所有1,0，T表示。 我们采用0,1,2光纤 2 表示并从中减去相同长度的数字“11…111”。 这将转换0 →- 1, 1 → 0和2 → 1 我们只对以1开头的10T表示感兴趣（或者T是负值）。 因此，我们可以发现
长度为2的n+2的0,1,2表示，从“2”开始，从每个11开始 小谎 2 = 2 10 ； 长度为3的n+6从“2”开始的0,1,2表示，从每个111开始 小谎 2 = 6 10 ； n+15的任何0,1,2表示，长度为4，从“2”开始，从每个1111开始 小谎 2 = 15 10 ； n+40的任何0,1,2表示，长度为5，从“2”开始，取自每个11111 小谎 2 = 40 10 ； 等等 最终，这些表示将变得太长，无法使用任何指定长度和开头“2”的表示，我们可以停止。 例如： 3+2是5，在基本光纤中为110或101 2 这里没有长度为2的； 3+6是9，在基本光纤中为1000、210或201 2 这里有两个长度为3，从2开始； 这些给出了10T表示210-111= 10吨 和201-111= 1吨 ； 3+15=18，其中基础纤维 2 是2000、1210和1201，全部长度为4，但只有2000以2开头。 从2000中减去1111得出 1吨 . 3+40没有从“2”开始的长度5表示。 因此，3在基本平衡Fib中的表示 2 是 10吨、10吨 和 1塔特 .
我们还有一个额外的优势，现在我们也可以表示负数 用这个符号。 由于我们保留了以下两个“1”列 F（1） 2 =1=F（2） 2 . 此外，我们坚持每列使用一个符号（数字），所以我们对-1使用“bar 1”表示法，也就是说，我们将减号 在1上方签名以制作 1 或者，更方便的是，我们使用字母“T”。 例如，以下是平衡斐波那契平方系统中的一些数字及其表示：
9 4 1 1 价值 1 T型 0 1 9 -4 +1 = 5 1 T型 1 0 9 -4 +1 = 5 T型 1 1 1 -9 +4 +1 +1 = -3
下面是这两种表示法的比较
n个 小谎 2 代表 bal光纤 2 代表 0 0 0、1T、T1 1 10, 1 10, 1 2 20, 11, 2 1吨，11 三 21, 12 1TT、10T、1T0 4 100, 22 1T0T、1TT0、11T、100、1T1 5 110, 101 1T1T、1T00、1TT1、110、101 6 120, 111, 102 1T10、1T01、111 7 121、112 10TT，1T11型 8 200, 122 100吨、10吨 9 1000, 210, 201 101T、1000、10T1 10 1010、1001、220、211、202 1TTTT，1010，1001号 11 1020, 1011, 1002, 221, 212 1TT0T、1TT0、11TT、1011 12 1021, 1012, 222 1TT1T、1TT00、1TT1、110T、11T0
基本斐波那契 2 计算器 表示数分形 带0,1,2位数 有 2种方式表示1:1和10（Fib 2 ); 3种方式表示2:2、11和20（Fib 2 ); 2种方式表示3:21和12。 1,2,3,4,5,6,7,8的表示数为2,3,2,2,2,3,2,2和完整的计数序列 是 A147561型 . 表示数具有一些有趣的分形特性，如这些图所示：
这个 上一节中的计算器 将给出上图中显示的实际计数。 带1.0 T数字 有 2种方式表示1:1和10（平衡光纤 2 ); 2种方式表示2:1TT，11（平衡光纤 2 ); 3种方式表示3:1TTT、10T、1T0。 1到t0 20的表示数为2,2,3,5,5,3,2,3,3,4,5,4,4,3,2 和完整的计数顺序 是 ?? . 的数量 平衡> 小谎 2 表示还具有一些有趣的分形特性，如这些图所示：
这个 上一节中的计算器 将给出上图中显示的实际计数。 数字表示系统的Brown判据 一般来说，以1开头的任何一系列数字，其中的每个数字都不超过1加 所有早期数字的总和也具有作为 完成 系列，表示其值 可以用作 二进制基数系统中的列（使用数字0和1）表示 每一个 整数。 这叫做 布朗准则 . 但我们的斐波那契 2 系统有数字0、1和2！ 所以如果我们采取 二 复制斐波那契数列的平方，我们会发现布朗准则 确实适用，正如Honsberger所示 在下面的参考中。 这意味着列标题是Fibonacci数1，1，2，3，…的平方，。。。 和 列中的数字为0、1或2。
基本斐波那契 k个 系统 V Hoggatt Jr和Bob CHow证明了如果我们有 不仅有2个正方形副本，如上所述，还有4个立方体副本，8个四次方副本， 第五方中的16方，以此类推， 那是用2 k–1个 斐波那契数{1,1,2,3,5,8，…}的k次幂的副本
使用斐波那契数的更多表示 以下是一些关于其他类型藏品的更多研究课题和调查 斐波那契数列。 你做数学题。。。
我们也可以看看其他类型的斐波那契表示法。 无论是套装还是箱包 是集合中重要的项目（及其数量），以及它们的列出顺序 因为1,2,3和3,1,2是相同的集合（和包），所以开始时不重要。 如果 秩序 现在集合中有个元素（共个） 做 问题 我们会在学习 序列 和为N的斐波那契数列 成分 . 列出仅包含斐波那契数的n的组成数。 或者，我们可以看看 在 套 但没有Zeckendorf限制。 （独特项目的）此类集合 现在可以包含连续的斐波那契数。 在上 后一页 我们将调查如果 使用斐波那契数字作为我们使用的列标题 Phi的权力 （1.61803.），即。 基本功率因数。
工具书类
数论及其历史 《O Ore，Dover》（1988），388页，是一本优秀的 经典书籍，让你了解整数数学的各个方面（或 数论 ).
关于斐波那契表示的数量：
N作为特殊序列中不同元素之和的表示 D.A.Klarner， 斐波那契季刊 第4卷（1966年），第289-306和322页。
斐波那契表示 L Carlitz公司 斐波那契季刊 第6卷（1968年）， 第163-220页 是一篇关于R（n），一些递归公式和 R（n）特殊情况下的许多公式。
具有F的最小正整数 k个 表示为不同的和 斐波那契数 马乔里·比克内尔·约翰逊（Marjorie Bicknell-Johnson） 斐波那契数的应用第8卷 （第八届斐波那契数及其应用国际研究会议论文集， 美国罗切斯特，1998年6月，编辑F T Howard，Kluwer Academic，第47-52页 解决了R（n）的公式问题，即斐波那契数的集合数 它的总和是n，为此给出了一个递归定义。本文后面是另外两个，第二个是。。。
使用序列合成：。。。 但这是艺术吗？ 约翰·布利斯，年 斐波那契数的应用第8卷 （第八届斐波那契数及其应用国际研究会议论文集， 美国罗切斯特，1998年6月，编辑F T Howard，Kluwer Academic），第61-73页， 就是把R（n）直接变成音乐。
关于Zeckendorf表示
Voorstalling van natuurlijke getallen door een som van getallen van斐波纳契 C.G.Lekkerkerker， 西蒙·斯特文 第29卷（1952）第190-195页
斐波那契无名自然代表 卢卡斯的名字 、E Zeckendorf、， 列日皇家科学学会公报 第41卷（1972年）第179-182页。
广义斐波那契数列 E泽肯多夫 斐波那契季刊 第10卷（1972）第365-372页 勘误表 斐波那契季刊 第11卷（1973）第524页。
爱德华·泽肯多夫 C金伯利 斐波那契季刊 36（1998），第416-418页。
斐波那契表示的应用
具体数学 （第二版），作者：Graham、Knuth和Patashnik，Addison-Wesley，第6.6节。
关于斐波那契“想想数字”技巧
斐波那契魔术卡 阿尔弗雷德·布鲁索兄弟， 斐波那契季刊 10（1972），第197-198页 负指数斐波那契表示法首次描述于：
使用负斐波那契数的Zeckendorf表示 并购债券 斐波那契季刊 30（1992）第111-115页。
斐波那契 2 代表
整数表示为斐波那契平方和 、R O’Connell 在里面 斐波那契季刊 第10.1卷（1972年），第103-112页 ( ) 是对基本斐波那契结果的有用介绍 2 和上的 给定数字的此类表示数，但为 本科数学水平。
布朗准则
关于完整整数序列的注记 ，J L Brown Jr， Amer数学月刊 第68卷（1961年），第557-560页 关于用斐波那契数表示数字
关于完备性的几个定理 V E Hoggatt Jr、B Chow、， 四分纤维 10（1972）第551-554560页。
数学宝石III Ross Honsberger， 数学。 美国律师协会。 第8章第15节“再看斐波那契” 和卢卡斯数字”。
A非常有用 自由的 书
斐波那契数入门：第十二部分 、V E Hoggatt Jr、N Cox、M Bicknell 在里面 斐波那契季刊 第11卷（1973年），第317-331页 ( ) 是对这一领域的结果的有用介绍，但是在数学本科生水平。 他使用二进制表示法，因此 复制每个斐波那契方列，而这里我们只有两列，自Fib（1）以来标记为“1” 2 =纤维（2） 2 =1. 他也有很多关于n表示数的图的对称性和分形性质的结果，但请记住 他的表示是不同的，只使用1和0，并且每个列都重复，因此该方法有相当大的冗余。
©版权所有 1996-2016 罗恩·诺特博士 创建日期：1996年，
