斐波那契数列：二项式数的斐波那奇形式

目的
这是一个关于将斐波那契公式F（n）=F（n-1）+F（n-2）推广为类似关系的页面，但关于斐波那契数列的幂：F（n）²和F（n）^三等等。
背景
本页的材料假设您已经对斐波那契数有了一些了解从斐波那契数、黄金分割和黄金弦（其中包含对斐波那契数及其数学性质的更全面的处理），并且熟悉多项式和14-15岁学生的代数水平。
本页是这些网页的附录，涵盖了针对15-17岁学生水平的额外材料。

介绍

在本页上，我们将向您介绍斐波那契因子函数F！（n）和斐波诺米亚数字数组，之所以这么叫，是因为斐波函数类似于帕斯卡三角的二项式系数。
从连接三个连续斐波那契数的公式F（n）=F（n-1）+F（n-2）中，我们找到一个连接四个连续的F（n）²项，连续五个F（n）^三项，连续六个F（n）⁴术语等。这些被称为重复关系（或递归方程)因为它们不明确给出F（n）的公式²或F（n）^三用n表示，但用前面的一些术语表示F（n）^第页系列。最后，我们揭示了连接斐波那契数的任意p+2连续p次幂的公式。您还将发现强大的数学技术通过将级数中的数字代入x中多项式的系数来检验级数，称为Power系列序列的。
通常，我们可以找到一个简单的数学表达式，称为生成函数。这类似于关联（无限）序列3,7,0,3,7.0，。。。首先是（无限）小数0.370370370…然后是（有限）分数¹⁰/₂₇.

本页内容

重复关系

对于斐波那契数本身，如果我们知道任何两个连续的术语，然后我们可以将它们相加以获得下一个我们用数学符号表示为：

F（n）=F（n-1）+F（n-2）

我们也看到了有许多这样的级数，即广义斐波那契级数，我们需要说明两个起始项确定一个特定序列。对于这个斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，这两个起动条件可能是：-

F（0）=0，F（1）=1

对于卢卡斯数字: 2, 1, 3, 4, 7, 11, ..., 我们有

L（n）=L（n-1）+L（n-2）；L（0）=2，L（1）=1

一个级数的这样一个公式，它用以下的一些组合来定义其中的每个数以前的条款称为递推关系或递推公式.
对于级数S，这意味着根据前面的项S（n-1）、S（n-2）到S（0）的某些组合来定义S（n），尽管它可能并不总是使用前面的所有术语来定义下一个术语。

在这一页上，我们找到了F（n）的简单递推关系²系列，F（n）^三系列和其他斐波那契数的幂.我们最终的模式结果与二项式系数（帕斯卡三角形中的数字）有一些很好的相似之处并向我们介绍斐波尼亚语系.

让我们从斐波那契数的平方开始：

斐波那契数的幂

在本节中，我们先看斐波那契数列的平方，然后再看立方体和更高的幂。

斐波那契数的平方与递推关系

对于斐波那契数的平方，我们有：

n个	1	2	三	4	5	6	7	...
F（n）	1	1	2	三	5	8	13	...
F（n）²	1	1	4	9	25	64	169	...

F（n）的递推关系²不太容易被发现。然而，已经发现：

F（n）²=2华氏度（n–1）²+2 F（n–2）²–F（n–3）²

递归关系告诉我们如何找到F（n）²使用上一个三F（n）平方级数的项：F（n-1）²，F（n-2）²，F（n-3）²

将最新术语加倍：2华氏度（n-1）²
将前一个加倍：2华氏度（n-2）²和添加这些
最后减去最后一个之前的第二个术语：F（n-3）²

例如：要查找1、1、4、9之后的下一项：

将最新术语加倍：2华氏度（n-1）²= 2×9 = 18
将最新版本之前的版本加倍：2华氏度（n-2）²= 2×4 = 8和添加这些
最后减去最后一个之前的第二个术语：F（n-3）²= 1

25=2×9+2×4-1=25，这是正确的，因为它是F（5）²

现在重复该过程，找到以下1、1、4、9、25项：

64=2x25+2x9-4

现在我们有1、1、4、9、25：下一个是

2x64+2x25-9=128+50-9=169，这实际上是F（7）²=13²

使用电子表格很容易使用列表中的前3个单元格生成F（n）平方系列生成斐波那契数列的平方。

稍后，将所有斐波那契项放在一边看这个等式会很有用：

F（n）²–2 F（n–1）²-2华氏度（n–2）²+F（n–3）²= 0

接下来让我们看看斐波那契数的立方。

Fibonacci数的立方体及其递归关系

n个	1	2	三	4	5	6	7	...
F（n）	1	1	2	三	5	8	13	...
F（n）^三	1	1	8	27	125	512	2197	...

这里的规则是由Zeitlin和Parker发现的，并于1963年发表在《斐波那契季刊》上：

F（n）^三=3华氏度（n–1）^三+6华氏度（n–2）^三–3华氏度（n–3）^三–F（n–4）^三

亲自检查或再次使用电子表格。

再一次，我们将所有条款写在一边，就像我们为广场所做的那样：

F（n）^三–3华氏度（n–1）^三-6华氏度（n–2）^三+3华氏度（n–3）^三+F（n–4）^三= 0

我们的1到3次幂的递归关系列表如下所示：

F（n）–F（n–1）–F
F（n）²–2 F（n–1）²-2华氏度（n–2）²+F（n–3）²= 0
F（n）^三–3华氏度（n–1）^三-6华氏度（n–2）^三+3华氏度（n–3）^三+F（n–4）^三= 0

这种模式普遍吗？

第四权力

这种模式普遍吗？如果是这样的话，下一个看起来像

F（n）⁴+A类F（n–1）⁴+BF（n–2）⁴+C类F（n–3）⁴+D类F（n–4）⁴+E类F（n–5）⁴= 0

像前面的公式一样，我们希望这个公式成立对于所有n值.
我们有5个号码A、 B、C、D和E我们可以通过解一些联立方程来找到它们如果我们为n输入一些较小的值，因为我们的循环将持续全部的n的值，它还必须保持n=5的简单情况：

F（5）⁴+A类F（4）⁴+BF（3）⁴+C类F（2）⁴+D类F（1）⁴+E类F（0）⁴= 0使用数字Fib值：
5⁴+A类三⁴+B2⁴+C类1⁴+D类1⁴+E类0⁴= 0评估权力：
625 +A类81 +B16 +C类1 +D类1 +E类0 = 0
625 + 81A类+ 16B+C类+D类= 0

我们可以对n=6、7、8和9这样做，所以我们在5个变量中有5个方程A、 B、C、D和E类然后我们可以解决这些问题。
用手工和计算机代数包（如Derive、Maple或Mathematica）完成这项任务有点困难为我们节省了大量时间，而且，让我们面对现实吧，它可能比手工操作更准确！
无论采用哪种方法，我们都可以得到系数的以下值：

A类= –5,B=–15，C类= 15,D类= 5,E类= –1

如果我们将这5个数字放入上述建议的重复关系中，我们可以再评估几个项，发现它不仅适用于n=5、6、7、8和9但它看起来好像能容纳对于所有n值:

F（n）⁴-5华氏度（n–1）⁴–15华氏度（n–2）⁴+15华氏度（n–3）⁴+5华氏度（n–4）⁴–F（n–5）⁴= 0

我们稍后会证明这一点。

第五权力

同样的方法给出了F（n）的递推公式⁵:

F（n）⁵-8华氏度（n–1）⁵-40华氏度（n–2）⁵+60华氏度（n–3）⁵+40华氏度（n–4）⁵-8华氏度（n–5）⁵–F（n–6）⁵= 0

斐波那契幂的递推关系

在本节中，我们将展示如何找到F（n）递归关系的一般公式^第页使用第页为了权力。我们的列表如下所示：

F（n）–F（n–1）–F
F（n）²–2 F（n–1）²-2华氏度（n–2）²+F（n–3）²= 0
F（n）^三–3华氏度（n–1）^三-6华氏度（n–2）^三+3华氏度（n–3）^三+F（n–4）^三= 0
F（n）⁴-5华氏度（n–1）⁴-15华氏度（n–2）⁴+15华氏度（n–3）⁴+5华氏度（n–4）⁴–F（n–5）⁴= 0
F（n）⁵-8华氏度（n–1）⁵-40华氏度（n–2）⁵+60华氏度（n–3）⁵+40华氏度（n–4）⁵-8华氏度（n–5）⁵–F（n–6）⁵= 0

如果我们查看这些循环中的系数，我们可以得到：

1	-1	-1
1	-2	-2	1
1	-3	-6	三	1
1	-5	-15个	15	5	-1
1	-8个	-40个	60	40	-8个	-1

这些系数称为纤维数因为它们与二项式数（二项式系数）.让我们更详细地看一下二项式数。

二项式系数

也许这让你想起了帕斯卡三角，它通常以以下两种形式之一显示：

	科尔=		0	1	2	三	4	5	...
1	第页 o个 w个	0	1
1 1		1	1	1
1 2 1		2	1	2	1
1 3 3 1		三	1	三	三	1
1 4 6 4 1		4	1	4	6	4	1
1 5 10 10 5 1		5	1	5	10	10	5	1
...		...	...

在此网站的早期页面上我们看了下表中的模式，发现了斐波那契数列。
帕斯卡三角形的行是二项式项-包含两部分的术语，例如（1+x）：-

（1+x）⁰=	1
（1+x）¹=	1	+x个
（1+x）²=	1	+2x个	+1x个²
（1+x）^三=	1	+三x个	+三x个²	+1x个^三
（1+x）⁴=	1	+4x个	+6x个²	+4x个^三	+1x个⁴
（1+x）⁵=	...

这里的x是数字（任意数字），而不是递归关系所处理的级数中的项。我们新表中模式的公式与二项式数字的公式类似。
在帕斯卡三角形中二项式系数在第n行和第k列上，如下所示，并具有以下公式：

(	n个	)
	k个

不！	=	编号：。（n–1）。（n–2）。。。（n–k+1）

k！（n–k）！		k（k–1）。。。二点一

不！是n的阶乘（n是一个整数），它只是从n到1的所有数字的乘积。例如，

1! = 1
2! = 2×1=2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

你可能会认为，由于这个定义涉及一个分数，那么对于n和k的一些值，结果将是一个分数而不是整数–但确实如此总是一个整数！底部的数字将总是“取消”或成为高层的因素。
例如，

(	5	)
	三

5!	=	5 × 4 ×3 × 2 × 1	====================================================================	5 × 4	=	10

三！(5 – 3)!		(3 × 2 × 1) (2 × 1)		2 × 1

在帕斯卡三角形中，标有5的行和标有3的列上的数字是10。

注意，当n为0或n=k时，我们有一个特殊情况：我们必须让0！在二项式系数公式中取1，得到帕斯卡三角形中显示的数字。

有时，为了节省打印页面的空间二项式系数已写入作为_n个C类_k个或^n个C类_k个甚至作为二项式（n，k）.
它被读作“n选择k”，因为给定n不同对象是我们可以选择k个对象的方法的数量。

例如，给定5个对象A、 B、C、D和E类,我们可以从以下三个选项中选择一组₅C类_三=10种方式：
ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

F（n）递推关系系数表中的模式^P（P）首先需要两个想法：斐波那契因式和斐波那摩。

斐波那契因子

而不是不！它是从n到1的所有数字的乘积，我们现在引入斐波那契因子不！_F类哪个是斐波那契数从F（n），F（n-1）到F（1）的乘积.
斐波那契因式没有公认的符号。西蒙·普劳夫使用更好的符号：FF（n），但更好的是F！（n） ●●●●。由于后者更具可读性，我们将使用F！（n）在本页上。

不！_F类或F！（n）代表F（n）F（n-1）F（n-2）。。。F（2）F（1）

例如：

福！(1) = 1
福！（2） =F（2）F（1）=1×1=1
福！（3） =F（3）F（2）F（1）=2×1×1=2
福！（4） =F（4）F（3）F（2）F（1）=3×2×1×1=6
福！（5） =F（5）F（4）F（3）F（2）F（1）=5×3×2×1×1=30

下面是前20个斐波那契因子及其因子的表：注：如果我们让F！（0）为特殊情况，并且定义F！（0）为1而不是更符合逻辑的值0。

n个	福！（n）	福！（n）因素
0	1	1
1	1	1
2	1	1
三	2	2
4	6	2 3
5	30	2 3 5
6	240	2⁴3 5
7	3120	2⁴3 5 13
8	65520	2⁴三²5 7 13
9	2227680	2⁵三²5 7 13 17
10	122522400	2⁵三²5²7 11 13 17
11	10904493600	2⁵三²5²7 11 13 17 89
12	1570247078400	2⁹三⁴5²7 11 13 17 89
13	365867569267200	2⁹三⁴5²7 11 13 17 89 233
14	137932073613734400	2⁹三⁴5²7 11 13²17 29 89 233
15	84138564904377984000	2¹⁰三⁴5^三7 11 13²17 29 61 89 233
16	83044763560621070208000	2¹⁰三⁵5^三7²11 13²17 29 47 61 89 233
17	132622487406311849122176000	2¹⁰三⁵5^三7²11 13²17 29 47 61 89 233 1597
18	342696507457909818131702784000	2¹³三⁵5^三7²11 13²17²19 29 47 61 89 233 1597
19	1432814097681520949608649339904000	2¹³三⁵5^三7²11 13²17²19 29 37 47 61 89 113 233 1597
20	9692987370815489224102512784450560000	2¹³三⁶5⁴7²11²13²17²19 29 37 41 47 61 89 113 233 1597

这是A003266号在斯隆的整数序列在线百科全书中。

斐波函数的一个公式

现在我们定义了一种新形式的“二项式系数”，但使用了阶乘的定义。我们将在二项式括号后使用下标“F”将其与二项式系数本身区分开来：

(	n个	)_F类
	k个

福！（n）

福！（k）福！（n–k）

F（n）F（n–1）。。。F（n–k+1）F（n–k）F（n-k–1）。。。F（2）F（1）

F（k）F（k–1）。。。F（2）F（1）F（n–k）F（n-k–1）。。。F（2）F（1）

斐波函数没有通用的符号。 D Knuth和其他人使用双括号：	((	n个	))
		k个

一个简单的替代方法是写纤维（n，k）它的优点是在页面上使用较少的空间。下面是一个包含一些fibonomical值的表

		k个
		0	1	2	三	4	5	6	7
n个	1	1	1
	2	1	1	1
	三	1	2	2	1
	4	1	三	6	三	1
	5	1	5	15	15	5	1
	6	1	8	40	60	40	8	1
	7	1	13	104	260	260	104	13	1

上面显示为A010048号在斯隆的整数序列在线百科全书（OEIS）中。

获取有符号的斐波尼亚尔，所有数字相互之间第一列之后的一对列被否定：

		k个
		0	1	2	三	4	5	6	7
n个	1	1	–1
	2	1	–1	–1
	三	1	–2	–2	1
	4	1	–3	–6	三	1
	5	1	–5	–15	15	5	–1
	6	1	–8	–40	60	40	–8	–1
	7	1	–13	–104	260	260	–104	–13	1

签名表是A055870号在斯隆的OEIS中。

我们如何判断这个表中的斐波函数是否为负数？

负柱成对出现在两个正柱之间。我们如何将其纳入我们的公式中？我们可以使用舍入函数在这里，我们向您介绍其中的两个三个：圆形、地板、天花板.

舍入功能：圆形、地板和天花板

最常见的舍入函数可能是圆形（x）将实数值x“舍入”为最接近的整数。
还有两种其他类型的舍入：向上舍入或天花板（x）和四舍五入或地板（x）.

例如，当我们在商店购买商品时，我们必须综合价格赠送大量英镑硬币：
一件价值3.80英镑的物品可以用4磅硬币支付。即使一件价值3.01英镑的物品也必须四舍五入到4英镑硬币。
我们将其写成天花板（3.80）=天花板（3.01）=4

另一方面，在购买了一件物品并支付了费用后，进行更改需要四舍五入功能：
如果客户需要3.80英镑变化中，我们给3英镑硬币（和80便士）。
同样，价值变动为3.01英镑。
我们将其写成地板（3.80）=地板（3.01）=3

第三种常见情况是，一位朋友欣赏你的明智购买，问你花了多少钱。我们通常只是给出一个粗略的数字到最接近的整数磅）。

如果它的价格是3.80英镑，我们会说“大约4英镑”
如果是3.01英镑，那么“大约3英镑”。

我们已经四舍五入了到最近的磅的整数.
我们将其写成圆形（3.80）=4；圆形（3.01）=3如果成本为3.50英镑，那么我们必须决定是3英镑还是4英镑，因为3英镑和4英镑都接近3.50英镑。

舍入负值

当我们舍入负值时，我们必须注意地板和天花板值。我们通过了共同公约即：
地板（x）是下一个小于（大于）x的整数。
天花板（x）是下一个大于（大于）x的整数。
圆形（x）仍然是最接近的整数，我们必须决定如何处理3.5和-7.5这样的精确值介于两个整数值之间。
对于整数x，所有这些函数的结果都是x本身。
例如

结果->	2	1	0	-1	-2
地板	地板（2.9）地板（2.1）地板（2）	地板（1.9）地板（1.3）地板（1.1）地板（1）	地板（0.8）地板（0.4）楼层（0）	地板（-0.2）地板（-0.8）地板（-1）	地板（-1.2）地板（-1.9）地板（-2）
天花板	天花板（1.9）天花板（1.3）天花板（1.1）天花板（2）	上限（0.8）天花板（0.4）天花板（1）	天花板（-0.2）天花板（-0.9）上限（0）	天花板（-1.2）天花板（-1.9）天花板（-1）	天花板（-2.8）天花板（-2.4）天花板（-2）
圆	圆形（2.1）圆形（1.9）圆形（2）	圆形（1.3）圆形（0.8）圆形（1）	圆形（0.4）圆形（-0.2）圆形（0）	圆形（-0.8）圆形（-1.2）圆形（-1）	圆形（-1.9）圆形（-2.3）圆形（-2）

为什么调用这些函数地板和天花板?

因为我们可以将一个高度为n的物体放在竖直的数字线上，“楼层”位于整数层。
对于地板功能，对象很重，因此瀑布到下一个整数层如果行中还没有整数。
对于天花板函数，想象一个充氦气球从高度n上升到下一个整数，如果还没有达到整数高度。
Tis如上表一侧的图表所示。

地板还是Trunc？

对于x的正值floor（x）与“忘记小数点后的任何内容”相同，可以称为特朗克对于“truncate”在一些计算器上。注意将负值上的“trunc”按钮用作trunc（-2.8）可以通过截断小数点处的值来生成-2然而地板（-2.8）为-3。

Fibonomical符号的一个公式

我们希望当k增加时，一对值为正，然后在每一行中设置一对负值，以此类推。
带负号的列为k=1,2，（不是3或4）5,6，（不是7或8）9,10。。。。我们可以使用-1的权力值的配对是使用舍入函数完成的。

下面是我们在地板作为我们的力量（-1）：

k个	0	1	2	三	4	5	6	7	8
k/2	0	0.5	1	1.5	2	2.5	三	3.5	4
地板（k/2）	0	0	1	1	2	2	三	三	4
(-1)^{地板（k/2）}	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1

这不是我们想要的：我们可以

使用k+1代替k:（-1）^{地板（（k+1）/2）}
或使用天花板函数：（-1）^{天花板（k/2）}

k个	0	1	2	三	4	5	6	7	8
k/2	0	0.5	1	1.5	2	2.5	三	3.5	4
天花板（k/2）	0	1	1	2	2	三	三	4	4
(-1)^{天花板（k/2）}	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1

这给了我们一个公式（一种预测方法），即递推关系中系数的符号。现在我们看看系数本身，这个斐波尼亚语系.

Fibonomicals的递归关系

当每行居中时，可以通过使用上面的两个数字来找到每个二项式系数或者，当表格由垂直列组成时，上面的数字和左边的数字。
这两个数字，只是相加：

	科尔=		0	1	2	三	4	5	...
1	第页 o个 w个	0	1
1 1		1	1	1
1 2 1		2	1	2	1
1 3 3 1		三	1	三	三	1
1 4 6 4 1		4	1	4	6	4	1
1 5 10 10 5 1		5	1	5	10	10	5	1
...		...	...

有一种方法可以根据上面一行中的两个数来计算每个斐波那契数列，但它也涉及斐波那奇数：

第4行	1		三		6		三		1
	\| 1 \|	\ 5 \	\| 0 \|	\ 3 \	\| 1 \|	\ 2个 \	\| 1 \|	\ 1 \	\| 2 \|	\ 1 \
第5行	1倍1 =1	1倍5+3倍0 =5		3倍三+6倍1 =15		6倍2+3倍1 =15		3倍1+1倍2 =5		1倍1 =1

要从第4行中找出第5行中的斐波函数，使用的两个数字序列是1 0 1 1 2 ...和... 5 3 2 1 1
第二个系列（使用数字在上面)从第n行的F（n）开始向下。

行n=5：

k=0：	0	+ 1×F（-1）	= 1;
k=1：	1×F（5）	+ 3×F（0）	= 5;
k=2：	3×F（4）	+ 6×F（1）	= 15;
k=3：	6×F（3）	+ 3×F（2）	= 15;
k=4：	3×F（2）	+ 1×F（3）	= 5;
k=5：	1×F（1）	+ 0	= 1

D E Knuth公司(计算机程序设计的艺术，第1卷基本算法，第1.2.8节练习27）给出了该方法的公式

纤维（n，k）=F（n–k+1）腓肠肌（n–1，k–1）+F（k–1）纤维（n–1，k）

请注意，两个斐波那契乘数的指数之和总是为n，即（新的）斐波那奇乘数的行号。
将此与二项式系数的更简单公式进行比较，我们只需将这两个数字相加在上面的行中获取每个术语：

(	n个	)
	k个

(	n–1个	)
	k个

(	n–1个	)
	k–1个

一系列幂公式布鲁索兄弟斐波那契季刊第6卷（1968）第81-83页: 采用与上面所示基本相同的方法，并找到一种递归方法来生成幂公式，但没有显式给出递归。

在本页稍后的部分中，我们将找到与他们的二项式对应项，但首先，让我们把以上所有内容放在一起并给出斐波那契幂递推关系的完整公式。

斐波那契幂递推关系的一个公式

D E Knuth公司(同上。练习30）也给出了我们发现的斐波那契幂的递归的完整公式，我们这里的形式比他的形式稍微简单，但基本上是相同的形式：

第页

k=0

(	第页	)_F类
	k个

(-1)^{天花板（k/2）}F（n–k）^第1页

=0，如果p>0

关于斐波函数和二项式的更多信息

对称行

帕斯卡三角形的各行和我们的纤维三角中的各行是对称的。
用数学术语表示为：

二项式（n，k）=二项式
斐波函数（n，k）=斐波函数

与之前术语的关系

一行中的每个术语都可以直接从同一行中其前面的术语计算得出：

(	n个	)
	k个

n–k+1

k个

(	n个	)
	k–1个

，千

(	n个	)_F类
	k个

F（n–k+1）

F（k）

(	n个	)_F类
	k–1个

，千

与上述术语的关系

每个术语都可以从“上面”（在同一列中）中计算得出：

(	n个	)
	k个

n个

n–k

(	n–1个	)
	k个

，千

n个

(	n个	)_F类
	k个

F（n）

F（n–k）

(	n–1个	)_F类
	k个

，千

n个

斐波那契数幂的生成函数

有时，如果我们将系列到以级数为系数的x多项式此类系列称为幂级数，通常我们可以找到（无穷）幂级数的一个简单表达式。以下是一些示例：

斐波那契数的生成函数

斐波那契数列（省略0）：1,1,2,三,5, ...
作为一个Power系列:1+1x个+2x个²+三x个^三+5x个⁴+ ...

但是

1–x–x²

= 1+1x个+2x个²+三x个^三+5x个⁴+。。。

所以生成函数对于斐波那契数列

1–x–x²

在前面的页面上我们给出了一个简单的证明，并看到了我们如何能够用这个级数及其较短的生成函数来求斐波那契数的小数.
通过在生成函数中让x=0.1，我们得到了分数1/（1-0.1-0.01=100/（100-10-1）=100/89。
从幂级数的角度来看这个分数，我们有0.1+0.01+0.002+0.0003+…=0.11235。。。
让x=0.01和x=0.001得出小数0.101020305081321…和0.1001002003005008013021。。。等等。

失踪的第一学期发生了什么0?如果要恢复，则电源系列为0+1x个+1x个²+2x个^三+三x个⁴+ ...
我们所做的就是将序列乘以x个!

因此，在开始处有额外的0项，生成函数是
x个
1–x–x²

斐波那契数平方的一个生成函数

我们能找到一个生成函数对于系列F（n）²？是的-在这里：
系列F（n）²:1,1,2²= 4,三²= 9,5²= 25, ...

作为一个Power系列:1+1x个+4x个²+9x个^三+25x个⁴+ ...

生成函数为

1–x

1–2 x–2 x²+x个^三

斐波那契数幂的更多生成函数

以下是总结上述结果并加以扩展的表格

斐波那契项

生成函数

x个⁰

x个¹

x个²

x个^三

x个⁴

x个⁵

...

F（n）

三

...

1–x–x²

F（n）²

...

1–x

1–2 x–2 x²+x个^三

F（n）^三

125

512

...

1–2 x–x²

1–3 x–6 x²+3倍^三+x个⁴

F（n）⁴

625

4096

...

1–4 x–4 x²+x个^三

1–5 x–15 x²+15倍^三+5倍⁴–x⁵

F（n）⁵

243

3125

32768

...

1–7 x–16 x²+7倍^三+x个⁴

1–8 x–40 x²+60倍^三+40倍⁴–8倍⁵–x⁶

你注意到分母中的多项式都有系数，这些系数只是斐波函数表中的一行吗？

链接和参考

计算机编程的艺术D E Knuth、，第1卷：基本算法（现为1997年第三版）。
Knuth在练习的答案部分证明了我们的主要结果将结果归因于D.Jarden。
D Jarden论文的完整参考文献见具体数学参考194如下所示：

具有2阶通用线性递归公式的序列的乘积Dov Jarden、Theodor Motzkin、，莱马特马提卡河第3卷（1949年），页码25-27和38（希伯来语和英语摘要）；以及英文翻译：

斐波那契幂和迷人的三角形戴尔·海瑟薇（Dale K Hathaway）、斯蒂芬·布朗（Stephen L.Brown）《大学数学杂志》28（1997），第124-128页。

递归序列多夫·贾登，（1966年第二版），第30-33页，现已绝版，1958年第一版，第42-45页。

斐波那契数幂的生成函数作者：J.Riordan，杜克。数学。J。第29卷（1962年），第5-12页。

斐波那契-人与他的时代斐波那契主页
 卢卡斯数

现在去哪里？？？
广义斐波那契级数
斐波那契、菲和卢卡斯数公式
 链接和参考

n个	作为GF的Fibonomical行	因素
1	1–1倍	1–x
2	1–1x–1x²		1–x–x²
三	1–2x–2x²+1倍^三	1+x个		1–3倍+倍²
4	1–3倍–6倍²+3倍^三+1倍⁴		1+x–x²		1–4 x–x²
5	1–5倍–15倍²+15倍^三+5倍⁴–1倍⁵	1–x		1+3x+x²		1–7x+x²
6	1–8倍–40倍²+60倍^三+40倍⁴–8倍⁵–1倍⁶		1–x–x²		1+4x–x²		1–11倍–x²
7	1–3倍–104倍²+260倍^三+260倍⁴–104倍⁵–13倍⁶+1倍⁷	1+x个		1–3倍+倍²		1+7x+x²		1–18倍+倍²

–1–x+x²=（x–Phi）（x–（–Phi））	–1+x+x²=（x+功率因数）（x+（–功率因数））
1–3 x+x²=（x–功率因数²)（x–（–φ）²)	1+3 x+x²=（x+功率因数²)（x+（–φ）²)
–1–4 x+x²=（x–功率因数^三)（x–（–φ）^三)	–1+4 x+x²=（x+功率因数^三)（x+（–φ）^三)
1–7 x+x²=（x–功率因数⁴)（x–（–φ）⁴)	1+7 x+x²=（x+功率因数⁴)（x+（–φ）⁴)
...
（-1）^n个–L（n）+x²=（x–功率因数^n个)（x–（–φ）^n个)	(–1)^n个+L（n）x+x²=（x+功率因数^n个)（x+（–φ）^n个)

斐波那契数列：二项式数的斐波那奇形式

目的

背景

介绍

本页内容

重复关系

斐波那契数的幂

斐波那契数的平方与递推关系

Fibonacci数的立方体及其递归关系

第四权力

第五权力

斐波那契幂的递推关系

二项式系数

斐波那契因子

斐波函数的一个公式

我们如何判断这个表中的斐波函数是否为负数？

舍入功能：圆形、地板和天花板

舍入负值

为什么调用这些函数地板和天花板?

地板还是Trunc？

Fibonomical符号的一个公式

Fibonomicals的递归关系

斐波那契幂递推关系的一个公式

关于斐波函数和二项式的更多信息

对称行

与之前术语的关系

与上述术语的关系

斐波那契数幂的生成函数

斐波那契数的生成函数

斐波那契数平方的一个生成函数

斐波那契数幂的更多生成函数

更多的生成函数和斐波函数

Fibonomical行生成函数

行因子和功率因数

斐济列生成函数

二项式列的生成函数

斐济柱的生成函数

要做的事情

链接和参考