模块化数学，单位组mod m

mod m单位组

让我们从p=2开始。只有一个mod 2单元，3是基元根mod 4，因此，假设r至少为3，因此n至少为8。

设x等于1模2^k个,对于某些k≥2。方形x，和逐步提高指数,从k到k+1到k+2等。从x=1 mod 4开始（但不是1 mod 8）。将这个r-3平方，然后找到一个1 mod 2的数字^r-1号机组,但不是1 mod 2^第页.这是1的重要平方根，±1以外的数值。我们必须再次平方才能得到1。我们也可以设置x=5，尽管任何值5 mod 8都可以。因此5是一个发电机。提高到奇数幂会产生其他5模8，我们仍然需要平方r-2倍才能达到1，所以2^r-2号机组实际上是5比1的最低指数。5的所有较低幂都是不同的。

该循环涵盖一半的装置，即1模块4的装置。我们需要另一个发电机为单位，是3模4。设g=2^r-1号机组-1.这是1的另一个重要平方根。乘以g可以置换单位，因此g乘以5的幂可以覆盖其余单位，所有3模块4。自g×5^j个乘以g×5^k个= 5^j+k,两个发电机g和5是独立的。一个是2循环，另一个开始长度为2的循环^r-2号机组.

p的推理类似^第页（奇数）。再次，将指数提高到p次方。设v是一个本原根mod p，设g=v+p。如果g^k个= 1,k必须是p-1的倍数，因为v是本原的。设h=g^第1页.

如果我们运气不好，h是1模p²,将p加到g上，得到v+2p。使用二项式定理展开（g+p）^第1页.这带来了p×（p-1）和p的更高幂，和h的新值，（v+2p）^第1页,现在是1 mod p。

对于任意指数k，评估h^k个从k中的p因子开始。如前所述，每次我们提高到p时，h是p的下一次幂的1模。如果k小于p^r-1号机组，我们没有达到1。提高到任何其他幂，不可被p整除，保持p的最低指数不变。因此，在指数为（p-1）×p之前，g的幂不会达到1^r-1号机组,g生成所有单位。再次，乘法单位组是循环的。

如果n是复合的，用中国剩余定理计算单位组。我们可以独立对待每一个主要力量，然后结合这些循环来描述乘法模n。模块49*16*71由四个并联运行的循环来描述，循环长度为42、4、2和70。