模数学,本原根

本原根

如果p是素数,v是非零模p,vp-1型=1由费马的小定理得出。除0以外的所有内容都是1的p-1根。

每k除以p-1,有最多kk1的根。例如,设置p=37。有2个平方根,1和-1,我们可以把它和36和18联系起来,分别是p-1和p-1的一半。显然18不是-1,不是1的平方根,我只是为了记账的目的把根和数字联系起来。最多有4个四次根,其中两个是平方根,已经说明了,所以把另外两个和p-1的9和27,¼和¾联系起来。最多有3个立方根,其中一个是1,所以把另外两个和12和24联系起来。有2个六次根不是平方根或立方根,把它们和6和30联系起来。对36的所有适当因子都这样做。当我们都做完了,没有任何与1或任何其他数互质到36的联系。至少有一个v不是1的平方根,不是1的立方根,不是1的第四个根,等等,但它是361的根。这是一个原始根mod p。

每个基元根生成mod p的所有非零值。设v为一个本原根,并不断地将其自身相乘。如果vj=vk,那么v是1的k-j根,我们知道直到指数达到p-1时才会发生。v的幂次穿过所有非零元素mod p,虽然这个顺序是不可能提前预测的。

如果p是1的逆,那么p是1的逆。当p为37,p-1为36时,s可能为7,t为31。当vs上升到t,结果又是v。v的力量s涵盖v的所有力量,包括v本身,因此vs是另一个原始根。有多少原始的根?对于与p-1互质的每个指数一个。有12个原始根mod37;最小的是2。

场论很容易证明这一切,而且证据比上面的更普遍,(适用于更多情况),但我不认为这里有任何领域的知识,你可能很感激。

阿丁猜想说每一个正整数,不是平方,是无穷多素数的本原。